Serie Divergente

En matemáticas , una serie divergente es una serie infinita que no converge , lo que significa que la secuencia infinita de las sumas parciales de la serie no tiene un límite finito .

Si una serie converge, los términos individuales de la serie deben tender a cero. Por lo tanto, cualquier serie en la que los términos individuales no tiendan a cero diverge. Sin embargo, la convergencia es una condición más fuerte: no todas las series cuyos términos tienden a cero convergen. Un contraejemplo es la serie armónica.

${\displaystyle 1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}+\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}.}$

La divergencia de la serie armónica fue demostrada por el matemático medieval Nicole Oresme .

En contextos matemáticos especializados, se pueden asignar valores objetivamente a ciertas series cuyas secuencias de sumas parciales divergen, para así dar sentido a la divergencia de la serie. Un método de sumabilidad o método de sumación es una función parcial que asigna valores al conjunto de series. Por ejemplo, la suma de Cesàro asigna valores a la serie divergente de Grandi.

${\displaystyle 1-1+1-1+\cdots }$

el valor ⁠ 1 / 2 ⁠ . La suma de Cesàro es un método de promediación , ya que se basa en la media aritmética de la secuencia de sumas parciales. Otros métodos implican continuaciones analíticas de series relacionadas. En física , existe una amplia variedad de métodos de sumabilidad; estos se discuten con mayor detalle en el artículo sobre regularización .

Antes del siglo XIX, Leonhard Euler y otros utilizaban ampliamente las series divergentes , pero a menudo conducían a resultados confusos y contradictorios. Un problema importante era la idea de Euler de que cualquier serie divergente debía tener una suma natural, sin definir primero qué se entendía por suma de una serie divergente. Augustin-Louis Cauchy finalmente dio una definición rigurosa de la suma de una serie (convergente), y durante algún tiempo después, las series divergentes fueron excluidas en gran medida de las matemáticas. Reaparecieron en 1886 con el trabajo de Henri Poincaré sobre series asintóticas. En 1890, Ernesto Cesàro se dio cuenta de que se podía dar una definición rigurosa de la suma de algunas series divergentes y definió la suma de Cesàro . (Este no fue el primer uso de la suma de Cesàro, que Ferdinand Georg Frobenius utilizó implícitamente en 1880; la contribución clave de Cesàro no fue el descubrimiento de este método, sino su idea de que se debe dar una definición explícita de la suma de una serie divergente). En los años posteriores al artículo de Cesàro, varios otros matemáticos dieron otras definiciones de la suma de una serie divergente, aunque estas no siempre son compatibles: diferentes definiciones pueden dar diferentes resultados para la suma de la misma serie divergente; por lo tanto, cuando se habla de la suma de una serie divergente, es necesario especificar qué método de suma se está utilizando.

• 1 − 1 + 1 − 1 + ⋯${\displaystyle {\text{ “ = ” }}{\frac {1}{2}}}$
• 1 − 2 + 3 − 4 + ⋯${\displaystyle {\text{ “ = ” }}{\frac {1}{4}}}$
• 1 − 1 + 2 − 6 + 24 − 120 + ⋯${\displaystyle {\text{ “ = ” }}\!\!\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-x}}{1+x}}\,dx\approx 0.596\,347\ldots }$
• 1 − 2 + 4 − 8 + ⋯${\displaystyle {\text{ “ = ” }}{\frac {1}{3}}}$
• 1 + 2 + 4 + 8 + ⋯${\displaystyle {\text{ “ = ” }}-1}$
• 1 + 1 + 1 + 1 + ⋯${\displaystyle {\text{ “ = ” }}-{\frac {1}{2}}}$
• 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯${\displaystyle {\text{ “ = ” }}-{\frac {1}{12}}}$
• 1 + 4 + 9 + 16 + ⋯${\displaystyle {\text{ “ = ” }}0}$

Un método de sumabilidad M es regular si coincide con el límite real de todas las series convergentes . Este resultado se denomina teorema abeliano para M , derivado del teorema prototípico de Abel . Más sutiles son los resultados recíprocos parciales, llamados teoremas tauberianos , derivados de un prototipo demostrado por Alfred Tauber . En este caso, recíproco parcial significa que si M suma la serie Σ y se cumple alguna condición adicional, entonces Σ era convergente desde el principio; sin ninguna condición adicional, tal resultado indicaría que M solo suma series convergentes (lo que lo haría inútil como método de suma para series divergentes).

La función que da la suma de una serie convergente es lineal , y del teorema de Hahn-Banach se deduce que puede extenderse a un método de suma que suma cualquier serie con sumas parciales acotadas. Esto se conoce como límite de Banach . Este hecho no es muy útil en la práctica, ya que existen muchas extensiones de este tipo, inconsistentes entre sí, y también porque demostrar la existencia de tales operadores requiere invocar el axioma de elección o sus equivalentes, como el lema de Zorn . Por lo tanto, no son constructivos.

El tema de las series divergentes, como ámbito del análisis matemático , se centra principalmente en técnicas explícitas y naturales como la suma de Abel , la suma de Cesàro y la suma de Borel , y sus relaciones. La aparición del teorema tauberiano de Wiener marcó un hito en este campo, introduciendo conexiones inesperadas con los métodos del álgebra de Banach en el análisis de Fourier .

La suma de series divergentes también está relacionada con los métodos de extrapolación y las transformaciones de secuencias como técnicas numéricas. Ejemplos de estas técnicas son las aproximaciones de Padé , las transformaciones de secuencias de tipo Levin y las aplicaciones dependientes del orden relacionadas con las técnicas de renormalización para la teoría de perturbaciones de alto orden en mecánica cuántica .

Los métodos de suma generalmente se centran en la secuencia de sumas parciales de la serie. Si bien esta secuencia no converge, a menudo observamos que al calcular el promedio de un número cada vez mayor de términos iniciales de la secuencia, el promedio converge, y podemos usar este promedio en lugar de un límite para evaluar la suma de la serie. Un método de suma puede considerarse como una función que asigna valores a un conjunto de secuencias de sumas parciales. Si A es un método de suma que asigna valores a un conjunto de secuencias, podemos traducirlo mecánicamente a un método de suma de series A ^Σ que asigna los mismos valores a la serie correspondiente. Existen ciertas propiedades deseables que estos métodos deben poseer para que puedan obtener valores que correspondan a límites y sumas, respectivamente.

• Regularidad . Un método de suma es regular si, siempre que la secuencia s converge a x , A ( s ) = x . De forma equivalente, el método de suma ^de series correspondiente evalúa AΣ ( a ) = x .
• Linealidad . A es lineal si es un funcional lineal en las secuencias donde está definido, de modo que A ( k r + s ) = k A ( r ) + A ( s ) para secuencias r , s y un escalar real o complejo k . Dado que los términos a _{n +1} = s _{n +1} − s _n de la serie a son funcionales lineales en la secuencia s y viceversa, esto es equivalente a que A ^Σ sea un funcional lineal en los términos de la serie.
• Estabilidad (también llamada translatividad ). Si s es una secuencia que comienza en s ₀ y s ′ es la secuencia obtenida al omitir el primer valor y restarlo del resto, de modo que s ′ _n = s _{n +1} − s ₀ , entonces A ( s ) está definida si y solo si A ( s ′) está definida, y A ( s ) = s ₀ + A ( s ′). Equivalentemente, siempre que a ′ _n = a _{n +1} para todo n , entonces A ^Σ ( a ) = a ₀ + A ^Σ ( a ′). ^{[ 1 ] [ 2 ]} Otra forma de enunciar esto es que la regla de desplazamiento debe ser válida para las series que se pueden sumar por este método.

La tercera condición es menos importante, y algunos métodos significativos, como la suma de Borel , no la poseen. ^{[ 3 ]}

También se puede ofrecer una alternativa más débil a la última condición.

• Reindexabilidad finita . Si a y a ′ son dos series tales que existe una biyección.${\displaystyle f:\mathbb {N} \rightarrow \mathbb {N} }$tal que a _i = a ′ _{f ( i )} para todo i , y si existe algún${\displaystyle N\in \mathbb {N} }$Si a _i = a ′ _i para todo i  > N , entonces A ^Σ ( a ) = A ^Σ ( a ′). (En otras palabras, a ′ es la misma serie que a , con solo un número finito de términos reindexados). Esta es una condición más débil que la estabilidad , porque cualquier método de suma que exhiba estabilidad también exhibe reindexabilidad finita , pero lo contrario no es cierto. 

Una propiedad deseable que deben compartir dos métodos de suma distintos A y B es la consistencia : A y B son consistentes si para cada secuencia s a la que ambos asignan un valor, A ( s ) = B ( s ). (En este lenguaje, un método de suma A es regular si y solo si es consistente con la suma estándar Σ ). Si dos métodos son consistentes y uno suma más series que el otro, el que suma más series es más fuerte .

Existen métodos de suma numérica potentes que no son ni regulares ni lineales, por ejemplo, transformaciones de secuencias no lineales como las transformaciones de secuencias de tipo Levin y los aproximantes de Padé , así como las aplicaciones dependientes del orden de series perturbativas basadas en técnicas de renormalización .

Tomando como axiomas la regularidad, la linealidad y la estabilidad, es posible sumar muchas series divergentes mediante manipulaciones algebraicas elementales. Esto explica en parte por qué muchos métodos de suma diferentes dan el mismo resultado para ciertas series.

Por ejemplo, siempre que r ≠ 1, la serie geométrica

${\displaystyle {\begin{aligned}G(r,c)&=\sum _{k=0}^{\infty }cr^{k}&&\\&=c+\sum _{k=0}^{\infty }cr^{k+1}&&{\text{ (stability) }}\\&=c+r\sum _{k=0}^{\infty }cr^{k}&&{\text{ (linearity) }}\\&=c+r\,G(r,c),&&{\text{ hence }}\\G(r,c)&={\frac {c}{1-r}},{\text{ unless it is infinite}}&&\\\end{aligned}}}$

Se puede evaluar independientemente de la convergencia. De forma más rigurosa, cualquier método de suma que posea estas propiedades y que asigne un valor finito a la serie geométrica debe asignar este valor. Sin embargo, cuando r es un número real mayor que 1, las sumas parciales aumentan sin límite y los métodos de promediado asignan un límite de infinito.

Los dos métodos clásicos de suma para series, la convergencia ordinaria y la convergencia absoluta , definen la suma como el límite de ciertas sumas parciales. Estos se incluyen únicamente para mayor exhaustividad; en rigor, no son verdaderos métodos de suma para series divergentes, ya que, por definición, una serie es divergente solo si estos métodos no funcionan. La mayoría, aunque no todos, de los métodos de suma para series divergentes extienden estos métodos a una clase más amplia de sucesiones.

Supongamos que p _n es una sucesión de términos positivos, comenzando desde p ₀ . Supongamos también que

${\displaystyle {\frac {p_{n}}{p_{0}+p_{1}+\cdots +p_{n}}}\rightarrow 0.}$

Si ahora transformamos una secuencia s usando p para obtener medias ponderadas, estableciendo

${\displaystyle t_{m}={\frac {p_{m}s_{0}+p_{m-1}s_{1}+\cdots +p_{0}s_{m}}{p_{0}+p_{1}+\cdots +p_{m}}}}$

entonces el límite de t _n cuando n tiende a infinito es un promedio llamado media de Nørlund N _p ( s ).

La media de Nørlund es regular, lineal y estable. Además, cualesquiera dos medias de Nørlund son consistentes.

Supongamos que λ = { λ ₀ , λ ₁ , λ ₂ ,... } es una sucesión estrictamente creciente que tiende al infinito, y que λ ₀ ≥ 0 . Supongamos que

${\displaystyle f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}e^{-\lambda _{n}x}}$

converge para todos los números reales x  >  0. Entonces, la media abeliana A _λ se define como

${\displaystyle A_{\lambda }(s)=\lim _{x\rightarrow 0^{+}}f(x).}$

En términos más generales, si la serie para f solo converge para x grande pero se puede continuar analíticamente para todo x real positivo , entonces aún se puede definir la suma de la serie divergente mediante el límite anterior.

Una serie de este tipo se conoce como serie de Dirichlet generalizada ; en aplicaciones a la física, esto se conoce como el método de regularización del núcleo de calor .

Las medias abelianas son regulares y lineales, pero no estables ni siempre consistentes entre diferentes elecciones de λ . Sin embargo, algunos casos especiales constituyen métodos de suma muy importantes.

Varios métodos de suma implican tomar el valor de una continuación analítica de una función.

Si J ( x )  =  Σ p _n x ⁿ es una función integral, entonces la suma J de la serie a ₀  +  ... se define como

${\displaystyle \lim _{x\rightarrow \infty }{\frac {\sum _{n}p_{n}(a_{0}+\cdots +a_{n})x^{n}}{\sum _{n}p_{n}x^{n}}},}$

si existe este límite.

Existe una variante de este método en la que la serie para J tiene un radio de convergencia finito r y diverge en x  = r . En este caso, la suma se define como se indicó anteriormente, excepto que se toma el límite cuando x tiende a r en lugar de a infinito. 

Supongamos que dμ es una medida en la recta real tal que todos los momentos

${\displaystyle \mu _{n}=\int x^{n}\,d\mu }$

son finitos. Si a ₀  + a ₁ + ... es una serie tal que   

${\displaystyle a(x)={\frac {a_{0}x^{0}}{\mu _{0}}}+{\frac {a_{1}x^{1}}{\mu _{1}}}+\cdots }$

Si converge para todo x en el soporte de μ , entonces la suma ( dμ ) de la serie se define como el valor de la integral.

${\displaystyle \int a(x)\,d\mu }$

si está definida. (Si los números μ _n aumentan demasiado rápido, entonces no determinan de forma única la medida μ .)

• Teorema de Silverman-Toeplitz
• Teorema de Abel-Dini-Pringsheim

• Arteca, GA; Fernández, FM; Castro, EA (1990), Teoría de perturbaciones de gran orden y métodos de suma en mecánica cuántica , Berlín: Springer-Verlag.
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