Progresión aritmética

Una progresión aritmética , sucesión aritmética o sucesión lineal ^{[ 1 ]} es una sucesión de números tal que la diferencia entre cualquier término sucesivo y el anterior permanece constante a lo largo de la sucesión. Esta diferencia constante se denomina diferencia común de dicha progresión aritmética. Por ejemplo, la sucesión 5, 7, 9, 11, 13, 15, ... es una progresión aritmética con una diferencia común de 2.

Si el término inicial de una progresión aritmética es y la diferencia común de términos sucesivos es , entonces el -ésimo término de la secuencia ( ) viene dado por ${\displaystyle a_{1}}$${\displaystyle d}$${\displaystyle n}$${\displaystyle a_{n}}$

${\displaystyle a_{n}=a_{1}+(n-1)d.}$

Una porción finita de una progresión aritmética se llama progresión aritmética finita y, a veces, simplemente progresión aritmética. La suma de una progresión aritmética finita se llama serie aritmética .

Según una anécdota de dudosa fiabilidad, ^{[ 2 ]} en la escuela primaria Carl Friedrich Gauss reinventó la fórmula para sumar los enteros del 1 al , para el caso , agrupando los números de ambos extremos de la secuencia en pares que suman 101 y multiplicando por el número de pares. Independientemente de la veracidad de esta historia, Gauss no fue el primero en descubrir esta fórmula. Reglas similares eran conocidas en la antigüedad por Arquímedes , Hipsicles y Diofanto ; ^{[ 3 ]} en China por Zhang Qiujian ; en India por Aryabhata , Brahmagupta y Bhaskara II ; ^{[ 4 ]} y en la Europa medieval por Alcuino , ^{[ 5 ]} Dicuil , ^{[ 6 ]} Fibonacci , ^{[ 7 ]} Sacrobosco , ^{[ 8 ]} y comentaristas anónimos del Talmud conocidos como Tosafistas . ^{[ 9 ]} Algunos consideran probable que su origen se remonte a los pitagóricos en el siglo V a. C. ^{[ 10 ]}${\displaystyle {\tfrac {n(n+1)}{2}}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n=100}$

La suma de los miembros de una progresión aritmética finita se llama serie aritmética . Por ejemplo, consideremos la suma:

${\displaystyle 2+5+8+11+14=40}$

Esta suma se puede encontrar rápidamente tomando el número n de términos que se están sumando (en este caso 5), multiplicándolo por la suma del primer y último número de la progresión (en este caso 2 + 14 = 16) y dividiendo por 2:

${\displaystyle {\frac {n(a_{1}+a_{n})}{2}}}$

En el caso anterior, esto da como resultado la ecuación:

${\displaystyle 2+5+8+11+14={\frac {5(2+14)}{2}}={\frac {5\times 16}{2}}=40.}$

Esta fórmula funciona para cualquier progresión aritmética de números reales que comience con y termine con . Por ejemplo, ${\displaystyle a_{1}}$${\displaystyle a_{n}}$

${\displaystyle \left(-{\frac {3}{2}}\right)+\left(-{\frac {1}{2}}\right)+{\frac {1}{2}}={\frac {3\left(-{\frac {3}{2}}+{\frac {1}{2}}\right)}{2}}=-{\frac {3}{2}}.}$

Para obtener la fórmula anterior, comience expresando la serie aritmética de dos maneras diferentes:

${\displaystyle S_{n}=a+a_{2}+a_{3}+\dots +a_{(n-1)}+a_{n}}$

${\displaystyle S_{n}=a+(a+d)+(a+2d)+\dots +(a+(n-2)d)+(a+(n-1)d).}$

Reescribiendo los términos en orden inverso:

${\displaystyle S_{n}=(a+(n-1)d)+(a+(n-2)d)+\dots +(a+2d)+(a+d)+a.}$

Sumando los términos correspondientes de ambos lados de las dos ecuaciones y dividiendo ambos lados por la mitad:

${\displaystyle S_{n}={\frac {n}{2}}[2a+(n-1)d].}$

Esta fórmula se puede simplificar como:

${\displaystyle {\begin{aligned}S_{n}&={\frac {n}{2}}[a+a+(n-1)d].\\&={\frac {n}{2}}(a+a_{n}).\\&={\frac {n}{2}}({\text{término inicial}}+{\text{último término}}).\end{aligned}}}$

Además, el valor medio de la serie se puede calcular mediante: : ${\displaystyle S_{n}/n}$

${\displaystyle {\overline {a}}={\frac {a_{1}+a_{n}}{2}}.}$

La fórmula es esencialmente la misma que la fórmula para la media de una distribución uniforme discreta , interpretando la progresión aritmética como un conjunto de resultados igualmente probables.

El producto de los miembros de una progresión aritmética finita con un elemento inicial a ₁ , diferencias comunes d , y n elementos en total se determina en una expresión cerrada.

${\displaystyle {\begin{aligned}a_{1}a_{2}a_{3}\cdots a_{n}&=a_{1}(a_{1}+d)(a_{1}+2d)\cdots (a_{1}+(n-1)d)\\[1ex]&=\prod _{k=0}^{n-1}(a_{1}+kd)=d^{n}{\frac {\Gamma {\left({\frac {a_{1}}{d}}+n\right)}}{\Gamma {\left({\frac {a_{1}}{d}}\right)}}}\end{aligned}}}$

donde denota la función Gamma . La fórmula no es válida cuando es negativa o cero. ${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle a_{1}/d}$

Esta es una generalización de los hechos de que el producto de la progresión está dado por el factorial y que el producto ${\displaystyle 1\times 2\times \cdots \times n}$${\displaystyle n!}$

${\displaystyle m\times (m+1)\times (m+2)\times \cdots \times (n-2)\times (n-1)\times n}$

para enteros positivos y viene dado por ${\displaystyle m}$${\displaystyle n}$

${\displaystyle {\frac {n!}{(m-1)!}}.}$

${\displaystyle {\begin{aligned}a_{1}a_{2}a_{3}\cdots a_{n}&=\prod _{k=0}^{n-1}(a_{1}+kd)\\[2pt]&=\prod _{k=0}^{n-1}d\left({\frac {a_{1}}{d}}+k\right)\\[2pt]&=d\left({\frac {a_{1}}{d}}\right)d\left({\frac {a_{1}}{d}}+1\right)d\left({\frac {a_{1}}{d}}+2\right)\cdots d\left({\frac {a_{1}}{d}}+(n-1)\right)\\[2pt]&=d^{n}\prod _{k=0}^{n-1}\left({\frac {a_{1}}{d}}+k\right)=d^{n}{\left({\frac {a_{1}}{d}}\right)}^{\overline {n}}\end{aligned}}}$

donde denota el factorial ascendente . ${\displaystyle x^{\overline {n}}}$

Por la fórmula de recurrencia , válida para un número complejo , ${\displaystyle \Gamma (z+1)=z\Gamma (z)}$${\displaystyle z>0}$

${\displaystyle \Gamma (z+2)=(z+1)\Gamma (z+1)=(z+1)z\Gamma (z)}$,

${\displaystyle \Gamma (z+3)=(z+2)\Gamma (z+2)=(z+2)(z+1)z\Gamma (z)}$,

de modo que

${\displaystyle {\frac {\Gamma (z+m)}{\Gamma (z)}}=\prod _{k=0}^{m-1}(z+k)}$

para un número entero positivo y un número complejo positivo. ${\displaystyle m}$${\displaystyle z}$

Por lo tanto, si , ${\displaystyle a_{1}/d>0}$

${\displaystyle \prod _{k=0}^{n-1}\left({\frac {a_{1}}{d}}+k\right)={\frac {\Gamma {\left({\frac {a_{1}}{d}}+n\right)}}{\Gamma {\left({\frac {a_{1}}{d}}\right)}}},}$

y, finalmente,

${\displaystyle a_{1}a_{2}a_{3}\cdots a_{n}=d^{n}\prod _{k=0}^{n-1}\left({\frac {a_{1}}{d}}+k\right)=d^{n}{\frac {\Gamma {\left({\frac {a_{1}}{d}}+n\right)}}{\Gamma {\left({\frac {a_{1}}{d}}\right)}}}}$

Ejemplo 1

Tomando el ejemplo , el producto de los términos de la progresión aritmética dada por hasta el término 50 es ${\displaystyle 3,8,13,18,23,28,\ldots }$${\displaystyle a_{n}=3+5(n-1)}$

${\displaystyle P_{50}=5^{50}\cdot {\frac {\Gamma \left(3/5+50\right)}{\Gamma \left(3/5\right)}}\approx 3.78438\times 10^{98}.}$

Ejemplo 2

El producto de los primeros 10 números impares viene dado por ${\displaystyle (1,3,5,7,9,11,13,15,17,19)}$

${\displaystyle 1\cdot 3\cdot 5\cdots 19=\prod _{k=0}^{9}(1+2k)=2^{10}\cdot {\frac {\Gamma \left({\frac {1}{2}}+10\right)}{\Gamma \left({\frac {1}{2}}\right)}}}$= 654.729.075

La desviación estándar de cualquier progresión aritmética es

${\displaystyle \sigma =|d|{\sqrt {\frac {(n-1)(n+1)}{12}}}}$

donde es el número de términos de la progresión y es la diferencia común entre los términos. La fórmula es esencialmente la misma que la fórmula para la desviación estándar de una distribución uniforme discreta , interpretando la progresión aritmética como un conjunto de resultados igualmente probables. ${\displaystyle n}$${\displaystyle d}$

La intersección de dos progresiones aritméticas doblemente infinitas cualesquiera es vacía o bien otra progresión aritmética, que se puede encontrar utilizando el teorema chino del resto . Si cada par de progresiones en una familia de progresiones aritméticas doblemente infinitas tiene una intersección no vacía, entonces existe un número común a todas ellas; es decir, las progresiones aritméticas infinitas forman una familia de Helly . ^{[ 11 ]} Sin embargo, la intersección de infinitas progresiones aritméticas infinitas podría ser un solo número en lugar de ser ella misma una progresión infinita.

Sea el número de subconjuntos aritméticos de longitud que se pueden formar a partir del conjunto y sea definido como: ${\displaystyle a(n,k)}$${\displaystyle k}$${\displaystyle \{1,\cdots ,n\}}$${\displaystyle \phi (\eta ,\kappa )}$

${\displaystyle \phi (\eta ,\kappa )={\begin{cases}0&{\text{if }}\kappa \mid \eta \\\left(\left[\eta \;({\text{mod }}\kappa )\right]-2\right)\left(\kappa -\left[\eta \;({\text{mod }}\kappa )\right]\right)&{\text{if }}\kappa \not \mid \eta \\\end{cases}}}$

Entonces:

${\displaystyle {\begin{aligned}a(n,k)&={\frac {1}{2(k-1)}}\left(n^{2}-(k-1)n+(k-2)+\phi (n+1,k-1)\right)\\&={\frac {1}{2(k-1)}}\left((n-1)(n-(k-2))+\phi (n+1,k-1)\right)\end{aligned}}}$

Como ejemplo, si , se esperan subconjuntos aritméticos y, contando directamente, se ve que hay 9; estos son${\textstyle (n,k)=(7,3)}$${\textstyle a(7,3)=9}$${\textstyle \{1,2,3\},\{2,3,4\},\{3,4,5\},\{4,5,6\},\{5,6,7\},\{1,3,5\},\{3,5,7\},\{2,4,6\},\{1,4,7\}.}$

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• "Series aritméticas" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Weisstein, Eric W. "Progresión aritmética" . MathWorld .
• Weisstein, Eric W. "Series aritméticas" . MathWorld .