Resumen de Lambert

En análisis matemático y teoría analítica de números , la suma de Lambert es un método de sumabilidad para sumar series infinitas relacionadas con las series de Lambert, especialmente relevante en la teoría analítica de números.

Defina el núcleo de Lambert mediante${\displaystyle L(x)=\log(1/x){\frac {x}{1-x}}}$con${\displaystyle L(1)=1}$. Tenga en cuenta que${\displaystyle L(x^{n})>0}$está disminuyendo en función de${\displaystyle n}$cuando${\displaystyle 0<x<1}$. Una suma${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}}$¿Es Lambert sumable a?${\displaystyle A}$si${\displaystyle \lim _{x\to 1^{-}}\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}L(x^{n})=A}$, escrito${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}=A\,\,(\mathrm {L} )}$.

Teorema abeliano : Si una serie es convergente a${\displaystyle A}$entonces es Lambert sumable a${\displaystyle A}$.

Teorema de Tauber : Supongamos que${\displaystyle \sum _ {n=1}^{\infty }a_ {n}}$¿Es Lambert sumable a?${\displaystyle A}$. Entonces es Abel sumable a${\displaystyle A}$. En particular, si${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}}$¿Es Lambert sumable a?${\displaystyle A}$y${\displaystyle na_{n}\geq -C}$entonces${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}}$converge a${\displaystyle A}$.

El teorema de Tauber fue demostrado por primera vez por G. H. Hardy y John Edensor Littlewood , pero no era independiente de la teoría de números; de hecho, utilizaron una estimación basada en la teoría de números que es algo más fuerte que el propio teorema de los números primos. La situación insatisfactoria en torno al teorema de Tauber de Lambert fue resuelta por Norbert Wiener .

• ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n}}=0\,(\mathrm {L} )}$donde μ es la función de Möbius . Por lo tanto, si esta serie converge, converge a cero. Nótese que la secuencia${\displaystyle {\frac {\mu (n)}{n}}}$satisface la condición de Tauber, por lo tanto el teorema de Tauber implica${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n}}=0}$en el sentido ordinario. Esto es equivalente al teorema de los números primos .
• ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\Lambda (n)-1}{n}}=-2\gamma \,\,(\mathrm {L} )}$dónde${\displaystyle \Lambda }$es la función de von Mangoldt y${\displaystyle \gamma }$es la constante de Euler . Por el teorema de Tauber, la suma ordinaria converge y, en particular, converge a${\displaystyle -2\gamma }$Esto es equivalente a${\displaystyle \psi (x)\sim x}$dónde${\displaystyle \psi }$es la segunda función de Chebyshev .

• Serie Lambert
• Fórmula de Abel-Plana
• Teoremas abelianos y tauberianos

• Jacob Korevaar (2004). Teoría Tauberiana. Un siglo de avances . Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften. vol.  329. Springer-Verlag . pag.  18.ISBN​ 3-540-21058-X.
• Hugh L. Montgomery ; Robert C. Vaughan (2007). Teoría multiplicativa de números I. Teoría clásica . Cambridge Tracts in Advanced Mathematics. Vol.  97. Cambridge: Cambridge Univ. Press. pp. 159–160 . ISBN  978-0-521-84903-6.
• Norbert Wiener (1932). "Teoremas tauberianos". Ann. of Math . 33 (1). The Annals of Mathematics, Vol. 33, No. 1: 1– 100. doi : 10.2307/1968102 . JSTOR 1968102 .