Análisis de sensibilidad

El primer enfoque intuitivo (especialmente útil en casos menos complejos) es analizar la relación entre cada entrada.${\displaystyle Z_{i}}$y la salida${\displaystyle Y}$utilizando diagramas de dispersión, y observe el comportamiento de estos pares. Los diagramas dan una idea inicial de la correlación y qué entrada tiene un impacto en la salida. La Figura 2 muestra un ejemplo donde dos entradas,${\displaystyle Z_{3}}$y${\displaystyle Z_{4}}$están altamente correlacionados con el resultado.

Uno de los enfoques más simples y comunes es el de cambiar un factor a la vez (OAT), para ver qué efecto produce esto en el resultado. ^{[ 17 ] [ 18 ] [ 19 ]} OAT habitualmente implica

• moviendo una variable de entrada, manteniendo las demás en sus valores de referencia (nominales), entonces,
• devolviendo la variable a su valor nominal, y luego repitiendo el mismo procedimiento para cada una de las demás entradas.

La sensibilidad puede medirse monitorizando los cambios en la salida, por ejemplo, mediante derivadas parciales o regresión lineal . Este enfoque resulta lógico, ya que cualquier cambio observado en la salida se atribuirá inequívocamente a la variable modificada. Además, al cambiar una variable a la vez, se pueden mantener todas las demás fijas en sus valores centrales o de referencia. Esto aumenta la comparabilidad de los resultados (todos los "efectos" se calculan con referencia al mismo punto central en el espacio) y minimiza la probabilidad de fallos en el programa informático, más probables cuando se modifican varios factores de entrada simultáneamente. Los modeladores suelen preferir el análisis OAT por razones prácticas. En caso de fallo del modelo bajo el análisis OAT, el modelador sabe inmediatamente cuál es el factor de entrada responsable del fallo.

A pesar de su simplicidad, este enfoque no explora completamente el espacio de entrada, ya que no considera la variación simultánea de las variables de entrada. Esto significa que el enfoque OAT no puede detectar la presencia de interacciones entre las variables de entrada y no es adecuado para modelos no lineales. ^{[ 20 ]}

La proporción del espacio de entrada que permanece inexplorado con un enfoque OAT crece de forma superexponencial con el número de entradas. Por ejemplo, un espacio de parámetros de 3 variables que se explora de una en una es equivalente a tomar puntos a lo largo de los ejes x, y, y z de un cubo centrado en el origen. La envoltura convexa que delimita todos estos puntos es un octaedro que tiene un volumen de solo 1/6 del espacio de parámetros total. De forma más general, la envoltura convexa de los ejes de un hiperrectángulo forma un hiperoctaedro que tiene una fracción de volumen de${\displaystyle 1/n!}$Con 5 entradas, el espacio explorado ya se reduce a menos del 1 % del espacio de parámetros total. E incluso esto es una sobreestimación, ya que el volumen fuera del eje en realidad no se está muestreando en absoluto. Compárese esto con el muestreo aleatorio del espacio, donde la envoltura convexa se aproxima a todo el volumen a medida que se agregan más puntos. ^{[ 21 ]} Si bien la escasez de OAT teóricamente no es una preocupación para los modelos lineales , la verdadera linealidad es rara en la naturaleza.

Este método, que recibe su nombre del estadístico Max D. Morris, es adecuado para analizar sistemas con muchos parámetros. También se le conoce como método de efectos elementales porque combina pasos repetidos a lo largo de los distintos ejes paramétricos. ^{[ 22 ]}

Los métodos basados ​​en derivadas locales implican tomar la derivada parcial de la salida. ${\displaystyle Y}$con respecto a un factor de entrada${\displaystyle X_{i}}$:

${\displaystyle \left|{\frac {\partial Y}{\partial X_{i}}}\right|_{{\textbf {x}}^{0}},}$

donde el subíndice x ⁰ indica que la derivada se toma en algún punto fijo en el espacio de la entrada (de ahí el término "local" en el nombre de la clase). El modelado adjunto ^{[ 23 ] [ 24 ]} y la diferenciación automatizada ^{[ 25 ]} son ​​métodos que permiten calcular todas las derivadas parciales a un costo como máximo de 4 a 6 veces mayor que el de evaluar la función original. De forma similar a OAT, los métodos locales no intentan explorar completamente el espacio de entrada, ya que examinan pequeñas perturbaciones, típicamente una variable a la vez. Es posible seleccionar muestras similares de la sensibilidad basada en derivadas a través de redes neuronales y realizar la cuantificación de la incertidumbre.

Una ventaja de los métodos locales es que es posible crear una matriz para representar todas las sensibilidades en un sistema, proporcionando así una visión general que no se puede lograr con métodos globales si hay un gran número de variables de entrada y salida. ^{[ 26 ]}

El análisis de regresión , en el contexto del análisis de sensibilidad, consiste en ajustar una regresión lineal a la respuesta del modelo y utilizar coeficientes de regresión estandarizados como medidas directas de sensibilidad. Es necesario que la regresión sea lineal con respecto a los datos (es decir, un hiperplano , sin términos cuadráticos, etc., como regresores), ya que de lo contrario resulta difícil interpretar los coeficientes estandarizados. Por lo tanto, este método es más adecuado cuando la respuesta del modelo es lineal; la linealidad se puede confirmar, por ejemplo, si el coeficiente de determinación es elevado. Las ventajas del análisis de regresión radican en su simplicidad y bajo coste computacional.

Los métodos basados ​​en la varianza ^{[ 27 ]} son ​​una clase de enfoques probabilísticos que cuantifican las incertidumbres de entrada y salida como variables aleatorias , representadas mediante sus distribuciones de probabilidad , y descomponen la varianza de la salida en partes atribuibles a las variables de entrada y a combinaciones de variables. Por lo tanto, la sensibilidad de la salida a una variable de entrada se mide por la cantidad de varianza en la salida causada por dicha entrada.

Esta cantidad se cuantifica y calcula utilizando los índices de Sobol : representan la proporción de la varianza explicada por una entrada o grupo de entradas. Esta expresión mide esencialmente la contribución de${\displaystyle X_{i}}$solo a la incertidumbre (varianza) en${\displaystyle Y}$(promediado sobre las variaciones en otras variables), y se conoce como índice de sensibilidad de primer orden o índice de efecto principal o índice principal de Sobol o índice principal de Sobol .

Para una entrada${\displaystyle X_{i}}$El índice de Sobol se define de la siguiente manera:

$${\displaystyle S_{i}={\frac {V(\mathbb {E} [Y\vert X_{i}])}{V(Y)}}}$$dónde${\displaystyle V(\cdot )}$y${\displaystyle \mathbb {E} [\cdot ]}$denotan los operadores de varianza y valor esperado respectivamente.

Es importante destacar el índice de sensibilidad de primer orden de${\displaystyle X_{i}}$no mide la incertidumbre causada por las interacciones${\displaystyle X_{i}}$tiene con otras variables. Una medida adicional, conocida como índice de efecto total , da la varianza total en${\displaystyle Y}$causado por${\displaystyle X_{i}}$y sus interacciones con cualquiera de las otras variables de entrada. El índice de efecto total se expresa de la siguiente manera:$${\displaystyle S_{i}^{T}=1-{\frac {V(\mathbb {E} [Y\vert X_{\sim i}])}{V(Y)}}}$$dónde${\displaystyle X_{\sim i}=(X_{1},...,X_{i-1},X_{i+1},...,X_{p})}$denota el conjunto de todas las variables de entrada excepto${\displaystyle X_{i}}$.

Los métodos basados ​​en la varianza permiten explorar completamente el espacio de entrada, teniendo en cuenta las interacciones y las respuestas no lineales. Por ello, se utilizan ampliamente cuando es factible calcularlos. Normalmente, este cálculo implica el uso de métodos de Monte Carlo , pero dado que esto puede requerir miles de ejecuciones del modelo, se pueden utilizar otros métodos (como los metamodelos) para reducir el coste computacional cuando sea necesario.

Los métodos independientes del momento extienden las técnicas basadas en la varianza al considerar la función de densidad de probabilidad o la función de distribución acumulativa de la salida del modelo.${\displaystyle Y}$Por lo tanto, no se refieren a ningún momento particular de ${\displaystyle Y}$, de ahí el nombre.

Las medidas de sensibilidad independientes del momento de${\displaystyle X_{i}}$, aquí denotado por${\displaystyle \xi _{i}}$, se puede definir mediante una ecuación similar a los índices basados ​​en la varianza, reemplazando la esperanza condicional con una distancia, como${\displaystyle \xi _{i}=E[d(P_{Y},P_{Y|X_{i}})]}$, dónde${\displaystyle d(\cdot ,\cdot )}$es una distancia estadística [métrica o divergencia] entre medidas de probabilidad,${\displaystyle P_{Y}}$y${\displaystyle P_{Y|X_{i}}}$son las medidas de probabilidad marginal y condicional de${\displaystyle Y}$. ^{[ 28 ]}

Si${\displaystyle d()\geq 0}$es una distancia , la medida de sensibilidad global independiente del momento satisface la independencia cero. Esta es una propiedad estadística relevante también conocida como el postulado D de Renyi. ^{[ 29 ]}

La clase de medidas de sensibilidad independientes del momento incluye indicadores como el${\displaystyle \delta }$-medida de importancia, ^{[ 30 ]} el nuevo coeficiente de correlación de Chatterjee, ^{[ 31 ]} la correlación de Wasserstein de Wiesel ^{[ 32 ]} y las medidas de sensibilidad basadas en el núcleo de Barr y Rabitz. ^{[ 33 ]}

Otra medida para el análisis de sensibilidad global, en la categoría de enfoques independientes del momento, es el índice PAWN. ^{[ 34 ]} Se basa en funciones de distribución acumulativa (CDF) para caracterizar la distancia máxima entre la distribución de salida incondicional y la distribución de salida condicional (obtenida al variar todos los parámetros de entrada y al establecer el${\displaystyle i}$-entrada -ésima, en consecuencia). La diferencia entre la distribución de salida incondicional y condicional se calcula habitualmente mediante la prueba de Kolmogorov-Smirnov (KS). El índice PAWN para un parámetro de entrada dado se obtiene calculando las estadísticas descriptivas sobre todos los valores de KS.

Una de las principales deficiencias de los métodos de análisis de sensibilidad anteriores es que ninguno de ellos considera la estructura espacialmente ordenada de la superficie de respuesta/salida del modelo.${\displaystyle Y=f(X)}$en el espacio de parámetros. Al utilizar los conceptos de variogramas direccionales y covariogramas, el análisis de variogramas de superficies de respuesta (VARS) aborda esta debilidad al reconocer una estructura de correlación espacialmente continua con los valores de${\displaystyle Y}$y por lo tanto también a los valores de${\displaystyle {\frac {\partial Y}{\partial x_{i}}}}$. ^{[ 35 ] [ 36 ]}

Básicamente, cuanto mayor es la variabilidad, más heterogénea es la superficie de respuesta a lo largo de una dirección/parámetro particular, en una escala de perturbación específica. En consecuencia, en el marco VARS, los valores de los variogramas direccionales para una escala de perturbación dada pueden considerarse como una ilustración integral de la información de sensibilidad, al vincular el análisis de variogramas con los conceptos de dirección y escala de perturbación. Como resultado, el marco VARS tiene en cuenta que la sensibilidad es un concepto dependiente de la escala y, por lo tanto, supera el problema de escala de los métodos tradicionales de análisis de sensibilidad. ^{[ 37 ]} Más importante aún, VARS es capaz de proporcionar estimaciones relativamente estables y estadísticamente robustas de la sensibilidad de los parámetros con un costo computacional mucho menor que otras estrategias (aproximadamente dos órdenes de magnitud más eficiente). ^{[ 38 ]} Cabe destacar que se ha demostrado que existe un vínculo teórico entre el marco VARS y los enfoques basados ​​en la varianza y en la derivada.

La prueba de sensibilidad de amplitud de Fourier (FAST) utiliza la serie de Fourier para representar una función multivariada (el modelo) en el dominio de la frecuencia , empleando una única variable de frecuencia. Por lo tanto, las integrales necesarias para calcular los índices de sensibilidad se vuelven univariadas, lo que resulta en un ahorro computacional.

Los efectos de Shapley se basan en los valores de Shapley y representan la contribución marginal promedio de un factor dado en todas las combinaciones posibles de factores. Estos valores están relacionados con los índices de Sobol, ya que su valor se sitúa entre el efecto Sobol de primer orden y el efecto de orden total . ^{[ 39 ]}

El principio consiste en proyectar la función de interés sobre una base de polinomios ortogonales. Los índices de Sobol se expresan entonces analíticamente en términos de los coeficientes de esta descomposición. ^{[ 40 ]}

Los metamodelos (también conocidos como emuladores, modelos sustitutos o superficies de respuesta) son enfoques de modelado de datos / aprendizaje automático que implican la construcción de una función matemática relativamente simple, conocida como metamodelo , que aproxima el comportamiento de entrada/salida del modelo en sí. ^{[ 41 ]} En otras palabras, es el concepto de "modelar un modelo" (de ahí el nombre "metamodelo"). La idea es que, aunque los modelos informáticos pueden ser una serie de ecuaciones muy complejas que pueden tardar mucho tiempo en resolverse, siempre pueden considerarse como una función de sus entradas.${\displaystyle Y=f(X)}$Al ejecutar el modelo en varios puntos del espacio de entrada, puede ser posible ajustar metamodelos mucho más simples.${\displaystyle {\hat {f}}(X)}$, de tal manera que${\displaystyle {\hat {f}}(X)\approx f(X)}$dentro de un margen de error aceptable. ^{[ 42 ]} Luego, las medidas de sensibilidad se pueden calcular a partir del metamodelo (ya sea con Monte Carlo o analíticamente), lo que tendrá un costo computacional adicional insignificante. Es importante destacar que el número de ejecuciones del modelo necesarias para ajustar el metamodelo puede ser órdenes de magnitud menor que el número de ejecuciones necesarias para estimar directamente las medidas de sensibilidad a partir del modelo. ^{[ 43 ]}

Claramente, el quid de la cuestión de un enfoque de metamodelo es encontrar un${\displaystyle {\hat {f}}(X)}$(metamodelo) que sea una aproximación suficientemente cercana al modelo${\displaystyle f(X)}$Esto requiere los siguientes pasos:

1. Muestreo (ejecución) del modelo en varios puntos de su espacio de entrada. Esto requiere un diseño de muestreo.
2. Seleccionar el tipo de emulador (función matemática) que se va a utilizar.
3. El "entrenamiento" del metamodelo mediante los datos de muestra del modelo generalmente implica ajustar los parámetros del metamodelo hasta que este imite al modelo real lo mejor posible.

El muestreo del modelo a menudo se puede realizar con secuencias de baja discrepancia , como la secuencia de Sobol (debido al matemático Ilya M. Sobol) o el muestreo de hipercubo latino , aunque también se pueden usar diseños aleatorios, con cierta pérdida de eficiencia. La selección del tipo de metamodelo y el entrenamiento están intrínsecamente ligados, ya que el método de entrenamiento dependerá de la clase de metamodelo. Algunos tipos de metamodelos que se han utilizado con éxito para el análisis de sensibilidad incluyen:

• Los procesos gaussianos ^{[ 43 ]} (también conocidos como kriging ) se caracterizan por la suposición de que cualquier combinación de puntos de salida se distribuye como una distribución gaussiana multivariada . Recientemente, se han utilizado procesos gaussianos "en forma de árbol" para abordar respuestas heterocedásticas y discontinuas. ^{[ 44 ] [ 45 ]}
• Bosques aleatorios , ^{[ 41 ]} en los que se entrena un gran número de árboles de decisión y se promedia el resultado.
• potenciación de gradiente , ^{[ 41 ]} donde se utiliza una sucesión de regresiones simples para ponderar los puntos de datos para reducir secuencialmente el error.
• expansiones de caos polinomial , ^{[ 46 ]} que utilizan polinomios ortogonales para aproximar la superficie de respuesta.
• Splines de suavizado , ^{[ 47 ]} normalmente se utilizan junto con truncamientos de representación de modelos de alta dimensión (HDMR) (véase más abajo).
• Redes bayesianas discretas , ^{[ 48 ]} en conjunto con modelos canónicos como los modelos ruidosos. Los modelos ruidosos explotan la información sobre la independencia condicional entre variables para reducir significativamente la dimensionalidad.

El uso de un emulador introduce un problema de aprendizaje automático , que puede resultar difícil si la respuesta del modelo es altamente no lineal . En todos los casos, es útil comprobar la precisión del emulador, por ejemplo, mediante validación cruzada .

Una representación de modelo de alta dimensión (HDMR) ^{[ 49 ] [ 50 ]} (el término se debe a H. Rabitz ^{[ 51 ]} ) es esencialmente un enfoque de emulación, que implica descomponer la salida de la función en una combinación lineal de términos de entrada e interacciones de dimensionalidad creciente. El enfoque HDMR aprovecha el hecho de que el modelo generalmente se puede aproximar bien al ignorar las interacciones de orden superior (de segundo o tercer orden y superiores). Los términos en la serie truncada se pueden aproximar, por ejemplo, mediante polinomios o splines (REFS), y la respuesta se expresa como la suma de los efectos principales y las interacciones hasta el orden de truncamiento. Desde esta perspectiva, las HDMR pueden verse como emuladores que ignoran las interacciones de orden superior; la ventaja es que pueden emular modelos con mayor dimensionalidad que los emuladores de orden completo.

El análisis de sensibilidad mediante filtrado de Monte Carlo ^{[ 52 ]} es también un enfoque basado en el muestreo, cuyo objetivo es identificar regiones en el espacio de los factores de entrada que corresponden a valores particulares (por ejemplo, altos o bajos) de la salida.