Elemento finito de intervalo

En análisis numérico , el método de elementos finitos de intervalo ( MEF de intervalo ) es un método de elementos finitos que utiliza parámetros de intervalo. El MEF de intervalo se puede aplicar en situaciones donde no es posible obtener características probabilísticas fiables de la estructura. Esto es importante en estructuras de hormigón, estructuras de madera, geomecánica, estructuras compuestas, biomecánica y en muchas otras áreas. ^{[ 1 ]} El objetivo del Elemento Finito de Intervalo es encontrar límites superiores e inferiores de diferentes características del modelo (por ejemplo , tensión , desplazamientos , superficie de fluencia , etc.) y utilizar estos resultados en el proceso de diseño. Esto se denomina diseño de peor caso, que está estrechamente relacionado con el diseño de estado límite .

El diseño del peor caso requiere menos información que el diseño probabilístico, sin embargo, los resultados son más conservadores [Köylüoglu y Elishakoff 1998].

Consideremos la siguiente ecuación: $${\displaystyle ax=b}$$ donde a y b son números reales y${\displaystyle x={\frac {b}{a}}}$.

Muy a menudo, se desconocen los valores exactos de los parámetros a y b .

Supongamos que${\displaystyle a\in [1,2]=\mathbf {a} }$y${\displaystyle b\in [1,4]=\mathbf {b} }$En este caso, es necesario resolver la siguiente ecuación. $${\displaystyle [1,2]x=[1,4]}$$

Existen varias definiciones del conjunto solución de esta ecuación con parámetros de intervalo.

Consideremos la ecuación diferencial parcial con parámetros de intervalo.

dónde${\displaystyle p=(p_{1},\dots ,p_{m})\in {\mathbf {p} }}$es un vector de parámetros que pertenecen a intervalos dados $${\displaystyle p_{i}\in [{\underline {p}}_{i},{\overline {p}}_{i}]={\mathbf {p} }_{i},}$$$${\displaystyle {\mathbf {p} }={\mathbf {p} }_{1}\times {\mathbf {p} }_{2}\times \cdots \times {\mathbf {p} }_{m}.}$$

Por ejemplo, la ecuación de transferencia de calor $${\displaystyle k_{x}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+k_{y}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}+q=0{\text{ para }}x\in \Omega }$$$${\displaystyle u(x)=u^{*}(x){\text{ para }}x\in \partial \Omega }$$ dónde${\displaystyle k_{x},k_{y}}$son los parámetros de intervalo (es decir,${\displaystyle k_{x}\in {\mathbf {k} }_{x},\ k_{y}\in {\mathbf {k} }_{y}}$).

La solución de la ecuación ( 1 ) se puede definir de la siguiente manera $${\displaystyle {\tilde {u}}(x):=\{u(x):G(x,u,p)=0,p\in {\mathbf {p} }\}}$$

Por ejemplo, en el caso de la ecuación de transferencia de calor $${\displaystyle {\tilde {u}}(x)=\left\{u(x):k_{x}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+k_{y}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}+q=0{\text{ para }}x\in \Omega ,u(x)=u^{*}(x){\text{ para }}x\in \partial \Omega ,k_{x}\in {\mathbf {k} }_{x},\ k_{y}\in {\mathbf {k} }_{y}\right\}}$$

Solución${\displaystyle {\tilde {u}}}$Es muy complicado, por eso en la práctica es más interesante encontrar el intervalo más pequeño posible que contenga el conjunto de soluciones exacto.${\displaystyle {\tilde {u}}}$.

$${\displaystyle {\mathbf {u} }(x)=\lozenge {\tilde {u}}(x)=\lozenge \{u(x):G(x,u,p)=0,p\in {\mathbf {p} }\}}$$

Por ejemplo, en el caso de la ecuación de transferencia de calor $${\displaystyle {\mathbf {u} }(x)=\lozenge \left\{u(x):k_{x}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+k_{y}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}+q=0{\text{ for }}x\in \Omega ,u(x)=u^{*}(x){\text{ for }}x\in \partial \Omega ,k_{x}\in {\mathbf {k} }_{x},\ k_{y}\in {\mathbf {k} }_{y}\right\}}$$

El método de elementos finitos conduce al siguiente sistema de ecuaciones algebraicas dependiente de parámetros: $${\displaystyle K(p)u=Q(p),\ \ \ p\in {\mathbf {p} }}$$ donde K es una matriz de rigidez y Q es el lado derecho.

La solución de intervalo puede definirse como una función multivaluada. $${\displaystyle {\mathbf {u} }=\lozenge \{u:K(p)u=Q(p),p\in {\mathbf {p} }\}}$$

En el caso más simple, el sistema anterior puede tratarse como un sistema de ecuaciones lineales de intervalo .

También es posible definir la solución de intervalo como una solución del siguiente problema de optimización. $${\displaystyle {\underline {u}}_{i}=\min\{u_{i}:K(p)u=Q(p),p\in {\mathbf {p} }\}}$$$${\displaystyle {\overline {u}}_{i}=\max\{u_{i}:K(p)u=Q(p),p\in {\mathbf {p} }\}}$$

En el caso multidimensional, la solución de intervalo se puede escribir como $${\displaystyle \mathbf {u} =\mathbf {u} _{1}\times \cdots \times \mathbf {u} _{n}=[{\underline {u}}_{1},{\overline {u}}_{1}]\times \cdots \times [{\underline {u}}_{n},{\overline {u}}_{n}]}$$

Es importante saber que los parámetros de intervalo generan resultados diferentes a los de las variables aleatorias distribuidas uniformemente .

Parámetro de intervalo${\displaystyle \mathbf {p} =[{\underline {p}},{\overline {p}}]}$tener en cuenta todas las posibles distribuciones de probabilidad (para${\displaystyle p\in [{\underline {p}},{\overline {p}}]}$).

Para definir el parámetro de intervalo, es necesario conocer únicamente el límite superior.${\displaystyle {\overline {p}}}$y límite inferior${\displaystyle {\underline {p}}}$.

Los cálculos de características probabilísticas requieren el conocimiento de muchos resultados experimentales.

Es posible demostrar que la suma de n números de intervalo es${\displaystyle {\sqrt {n}}}$veces más amplio que la suma de las variables aleatorias con distribución normal apropiadas.

Suma de n números de intervalo${\displaystyle \mathbf {p} =[{\underline {p}},{\overline {p}}]}$es igual a $${\displaystyle n\mathbf {p} =[n{\underline {p}},n{\overline {p}}]}$$

El ancho de ese intervalo es igual a $${\displaystyle n{\overline {p}}-n{\underline {p}}=n({\overline {p}}-{\underline {p}})=n\Delta p}$$

Consideremos una variable aleatoria X con distribución normal tal que $${\displaystyle m_{X}=E[X]={\frac {{\overline {p}}+{\underline {p}}}{2}},\sigma _{X}={\sqrt {\operatorname {Var} [X]}}={\frac {\Delta p}{6}}}$$

La suma de n variables aleatorias con distribución normal es una variable aleatoria con distribución normal con las siguientes características (ver Six Sigma ). $${\displaystyle E[nX]=n{\frac {{\overline {p}}+{\underline {p}}}{2}},\sigma _{nX}={\sqrt {n\operatorname {Var} [X]}}={\sqrt {n}}\sigma ={\sqrt {n}}{\frac {\Delta p}{6}}}$$

Podemos asumir que la amplitud del resultado probabilístico es igual a 6 sigma (comparar con Six Sigma ). $${\displaystyle 6\sigma _{nX}=6{\sqrt {n}}{\frac {\Delta p}{6}}={\sqrt {n}}\Delta p}$$

Ahora podemos comparar la amplitud del resultado del intervalo y el resultado probabilístico. $${\displaystyle {\frac {{\text{width of }}n{\text{ intervals}}}{{\text{width of }}n{\text{ random variables}}}}={\frac {n\Delta p}{{\sqrt {n}}\Delta p}}={\sqrt {n}}}$$

Por ello, los resultados del análisis de elementos finitos de intervalo (o, en general, del análisis del peor caso) pueden sobreestimarse en comparación con el análisis estocástico de elementos finitos (véase también propagación de la incertidumbre ). Sin embargo, en el caso de incertidumbre no probabilística, no es posible aplicar métodos puramente probabilísticos, ya que las características probabilísticas en ese caso no se conocen con exactitud ( Elishakoff 2000).

Es posible considerar variables aleatorias (y variables aleatorias difusas) con parámetros de intervalo (por ejemplo, con media, varianza, etc. de intervalo). Algunos investigadores utilizan mediciones de intervalo (difusas) en cálculos estadísticos (por ejemplo,Archivado el 16 de junio de 2010 en Wayback Machine ). Como resultado de tales cálculos obtendremos la llamada probabilidad imprecisa .

La probabilidad imprecisa se entiende en un sentido muy amplio. Se utiliza como término genérico para abarcar todos los modelos matemáticos que miden la probabilidad o la incertidumbre sin probabilidades numéricas exactas. Incluye tanto modelos cualitativos (probabilidad comparativa, ordenaciones de preferencia parciales, etc.) como cuantitativos (probabilidades de intervalo, funciones de creencia, previsiones superiores e inferiores, etc.). Los modelos de probabilidad imprecisa son necesarios en problemas de inferencia donde la información relevante es escasa, vaga o contradictoria, y en problemas de decisión donde las preferencias también pueden ser incompletas..

Es posible resolver la ecuación${\displaystyle K(p)u(p)=Q(p)}$para todas las combinaciones posibles de puntos finales del intervalo${\displaystyle {\hat {p}}}$. La lista de todos los vértices del intervalo${\displaystyle {\hat {p}}}$se puede escribir como${\displaystyle L=\{p_{1}^{*},...,p_{n}^{*}\}}$ Los límites superior e inferior de la solución se pueden calcular de la siguiente manera .

$${\displaystyle {\underline {u}}_{i}=\min\{u_{i}(p_{k}^{*}):K(p_{k}^{*})u(p_{k}^{*})=Q(p_{k}^{*}),p_{k}^{*}\in L\}}$$$${\displaystyle {\overline {u}}_{i}=\max\{u_{i}(p_{k}^{*}):K(p_{k}^{*})u(p_{k}^{*})=Q(p_{k}^{*}),p_{k}^{*}\in L\}}$$

El método de combinación de puntos extremos proporciona una solución que suele ser exacta; desafortunadamente, el método tiene una complejidad computacional exponencial y no se puede aplicar a problemas con muchos parámetros de intervalo. ^{[ 3 ]}

La función${\displaystyle u=u(p)}$se puede expandir usando series de Taylor . En el caso más simple, las series de Taylor usan solo aproximación lineal.

$${\displaystyle u_{i}(p)\approx u_{i}(p_{0})+\sum _{j}{\frac {\partial u(p_{0})}{\partial p_{j}}}\Delta p_{j}}$$

Los límites superior e inferior de la solución se pueden calcular utilizando la siguiente fórmula.

$${\displaystyle {\underline {u}}_{i}\approx u_{i}(p_{0})-\left|\sum _{j}{\frac {\partial u(p_{0})}{\partial p_{j}}}\right|\Delta p_{j}}$$

$${\displaystyle {\overline {u}}_{i}\approx u_{i}(p_{0})+\left|\sum _{j}{\frac {\partial u(p_{0})}{\partial p_{j}}}\right|\Delta p_{j}}$$

El método es muy eficiente, pero no muy preciso. Para mejorar la precisión, es posible aplicar una expansión de Taylor de orden superior [Pownuk 2004]. Este enfoque también se puede aplicar en el método de diferencias finitas por intervalos y en el método de elementos de contorno por intervalos .

Si el signo de las derivadas${\displaystyle {\frac {\partial u_{i}}{\partial p_{j}}}}$es constante entonces las funciones${\displaystyle u_{i}=u_{i}(p)}$es monótono y la solución exacta se puede calcular muy rápidamente.

si${\displaystyle {\frac {\partial u_{i}}{\partial p_{j}}}\geq 0}$entonces${\displaystyle p_{i}^{\min }={\underline {p}}_{i},\ p_{i}^{\max }={\overline {p}}_{i}}$

si${\displaystyle {\frac {\partial u_{i}}{\partial p_{j}}}<0}$entonces${\displaystyle p_{i}^{\min }={\overline {p}}_{i},\ p_{i}^{\max }={\underline {p}}_{i}}$

Los valores extremos de la solución se pueden calcular de la siguiente manera:

$${\displaystyle {\underline {u}}_{i}=u_{i}(p^{\min }),\ {\overline {u}}_{i}=u_{i}(p^{\max })}$$

En muchas aplicaciones de ingeniería estructural , el método proporciona una solución exacta. Si la solución no es monótona, generalmente es razonable. Para mejorar la precisión del método, es posible aplicar pruebas de monotonicidad y análisis de sensibilidad de orden superior. El método puede aplicarse a la solución de problemas lineales y no lineales de mecánica computacional [Pownuk 2004]. Las aplicaciones del método de análisis de sensibilidad a la solución de problemas de ingeniería civil se pueden encontrar en el siguiente artículo [MV Rama Rao, A. Pownuk e I. Skalna 2008]. Este enfoque también puede aplicarse en el método de diferencias finitas de intervalo y el método de elementos de contorno de intervalo .

Muhanna and Mullen applied element by element formulation to the solution of finite element equation with the interval parameters.^[4] Using that method it is possible to get the solution with guaranteed accuracy in the case of truss and frame structures.

The solution ${\displaystyle u=u(p)}$stiffness matrix${\displaystyle K=K(p)}$ and the load vector ${\displaystyle Q=Q(p)}$ can be expanded by using perturbation theory. Perturbation theory lead to the approximate value of the interval solution.^[5] The method is very efficient and can be applied to large problems of computational mechanics.

It is possible to approximate the solution ${\displaystyle u=u(p)}$ by using response surface. Then it is possible to use the response surface to the get the interval solution.^[6] Using response surface method it is possible to solve very complex problem of computational mechanics.^[7]

Several authors tried to apply pure interval methods to the solution of finite element problems with the interval parameters. In some cases it is possible to get very interesting results e.g. [Popova, Iankov, Bonev 2008]. However, in general the method generates very overestimated results.^[8]

Popova^[9] and Skalna^[10] introduced the methods for the solution of the system of linear equations in which the coefficients are linear combinations of interval parameters. In this case it is possible to get very accurate solution of the interval equations with guaranteed accuracy.

• Interval boundary element method
• Interval (mathematics)
• Interval arithmetic
• Imprecise probability
• Multivalued function
• Differential inclusion
• Observational error
• Random compact set
• Reliability (statistics)
• Confidence interval
• Best, worst and average case
• Probabilistic design
• Propagation of uncertainty
• Experimental uncertainty analysis
• Sensitivity analysis
• Perturbation theory
• Continuum mechanics
• Solid mechanics
• Truss
• Space frame
• Linear elasticity
• Strength of materials

• Dempster, AP (1967). "Probabilidades superiores e inferiores inducidas por una aplicación multivaluada". The Annals of Mathematical Statistics 38 (2): 325–339.Consultado el 23 de septiembre de 2009.
• Análisis de la incertidumbre en ingeniería civil, por W. Fellin, H. Lessmann, M. Oberguggenberger y R. Vieider (eds.), Springer-Verlag, Berlín, 2005.
• I. Elishakoff , Posibles limitaciones de los métodos probabilísticos en ingeniería. Applied Mechanics Reviews, vol. 53, n.º 2, págs.  19-25, 2000.
• Hlavácek, I., Chleboun, J., Babuška, I.: Problemas de datos de entrada inciertos y el método del peor escenario. Elsevier, Ámsterdam (2004)
• Köylüoglu, U., Isaac Elishakoff ; Comparación de elementos finitos estocásticos y de intervalo aplicados a pórticos de corte con propiedades de rigidez inciertas, Computers & Structures Volumen: 67, Número: 1–3, 1 de abril de 1998, pp.  91–98
• D. Moens y D. Vandepitte, Teoría de la sensibilidad de intervalos y su aplicación al análisis de la envolvente de respuesta en frecuencia de estructuras inciertas. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, vol. 196, n.º 21-24, 1 de abril de 2007, págs.  2486-2496.
• Möller, B., Beer, M., Aleatoriedad difusa: incertidumbre en ingeniería civil y mecánica computacional, Springer, Berlín, 2004.
• E. Popova, R. Iankov, Z. Bonev: Acotación de la respuesta de estructuras mecánicas con incertidumbres en todos los parámetros. En RLMuhannah, RLMullen (Eds): Actas del Taller de la NSF sobre Computación de Ingeniería Confiable (REC), Svannah, Georgia, EE. UU., 22-24 de febrero de 2006, 245-265.
• A. Pownuk, Soluciones numéricas de ecuaciones diferenciales parciales difusas y su aplicación en mecánica computacional, Ecuaciones diferenciales parciales difusas y ecuaciones relacionales: Caracterización y modelado de yacimientos (M. Nikravesh, L. Zadeh y V. Korotkikh, eds.), Estudios en lógica difusa y computación blanda, Physica-Verlag, 2004, pp.  308–347
• A. Pownuk, Método eficiente para la solución de problemas de ingeniería a gran escala con parámetros de intervalo basado en análisis de sensibilidad, Actas del taller de la NSF sobre computación confiable en ingeniería, 15-17 de septiembre de 2004, Savannah, Georgia, EE. UU., págs.  305-316
• MV Rama Rao, A. Pownuk e I. Skalna, Análisis de tensiones de una viga de hormigón armado simple con parámetros estructurales inciertos, Taller de la NSF sobre computación de ingeniería fiable, 20-22 de febrero de 2008, Savannah, Georgia, EE. UU., págs.  459-478 .
• Bernardini, Alberto, Tonon, Fulvio, Acotación de la incertidumbre en ingeniería civil, Springer 2010
• Ben-Haim Y., Elishakoff I. , 1990, Modelos convexos de incertidumbre en mecánica aplicada. Elsevier Science Publishers, Nueva York.
• Valliappan S., Pham TD, 1993, Análisis de elementos finitos difusos de una cimentación sobre un medio de suelo elástico. Revista internacional de métodos numéricos y analíticos en geomecánica, vol. 17, págs.  771–789 .
• Elishakoff I. , Li YW, Starnes JH, 1994, Un método determinista para predecir el efecto de módulos elásticos desconocidos pero acotados en el pandeo de estructuras compuestas. Métodos computacionales en mecánica aplicada e ingeniería, vol. 111, págs.  155-167.
• Valliappan S. Pham TD, 1995, Análisis de elementos finitos elastoplásticos con parámetros difusos. International Journal for Numerical Methods in Engineering, 38, pp.  531–548
• Rao SS, Sawyer JP, 1995, Enfoque de elementos finitos difusos para el análisis de sistemas definidos de forma imprecisa. AIAA Journal, vol. 33, n.º 12, págs.  2364–2370 .
• Köylüoglu HU, Cakmak A., Nielsen SRK, 1995, Mapeo de intervalos en mecánica estructural. En: Spanos, ed. Mecánica estocástica computacional. 125–133. Balkema, Rotterdam
• Muhanna, RL y RL Mullen (1995). "Desarrollo de métodos basados ​​en intervalos para la incertidumbre en la mecánica de medios continuos" en Actas del 3er Simposio Internacional sobre Modelado y Análisis de la Incertidumbre y Conferencia Anual de la Sociedad Norteamericana de Procesamiento de Información Difusa (ISUMA–NAFIPS '95), IEEE, 705–710.

• Computación de ingeniería confiable, Instituto Tecnológico de Georgia, Savannah, EE. UU.
• Cálculos de intervalos archivados el 20 de septiembre de 2008 en Wayback Machine.
• Computación confiable (Revista)
• Ecuaciones de intervalo (colecciones de referencias)
• Aplicaciones web de elementos finitos de intervalo
• E. Popova, Conjunto de soluciones paramétricas de sistemas lineales de intervalos
• La Sociedad para la Probabilidad Imprecisa: Teorías y Aplicaciones