Método de efectos elementales

Publicado en 1991 por Max Morris ^{[ 1 ]} el método de efectos elementales (EE) ^{[ 2 ]} es uno de los métodos de selección más utilizados ^{[ 3 ] [ 4 ] [ 5 ] [ 6 ]} en el análisis de sensibilidad .

El método EE se aplica para identificar variables de entrada no influyentes en modelos matemáticos computacionalmente costosos o con un gran número de variables de entrada, donde el costo de estimar otras medidas de análisis de sensibilidad, como las basadas en la varianza , resulta inasumible. Al igual que cualquier método de selección, el método EE proporciona medidas cualitativas de análisis de sensibilidad, es decir, medidas que permiten identificar variables de entrada no influyentes o clasificar los factores de entrada por orden de importancia, pero no cuantifican con exactitud la importancia relativa de las mismas.

Para ejemplificar el método EE, supongamos que consideramos un modelo matemático con${\displaystyle k}$factores de entrada. Deje${\displaystyle Y}$Sea el resultado de interés (un escalar para simplificar):

${\displaystyle Y=f(X_{1},X_{2},...X_{k}).}$

El método EE original de Morris ^{[ 2 ]} proporciona dos medidas de sensibilidad para cada factor de entrada:

• la medida${\displaystyle \mu }$evaluar la importancia general de un factor de entrada en la salida del modelo;
• la medida${\displaystyle \sigma }$, describiendo efectos e interacciones no lineales .

Estas dos medidas se obtienen a través de un diseño basado en la construcción de una serie de trayectorias en el espacio de las entradas, donde las entradas se mueven aleatoriamente una a una (OAT). En este diseño, se supone que cada entrada del modelo varía entre${\displaystyle p}$niveles seleccionados en el espacio de los factores de entrada. La región de experimentación${\displaystyle \Omega }$es por lo tanto un${\displaystyle k}$-dimensional${\displaystyle p}$cuadrícula de niveles.

Cada trayectoria está compuesta por${\displaystyle (k+1)}$puntos ya que los factores de entrada se mueven uno por uno un paso${\displaystyle \Delta }$en${\displaystyle \{0,1/(p-1),2/(p-1),...,1\}}$mientras que todos los demás permanecen fijos.

A lo largo de cada trayectoria, el denominado efecto elemental para cada factor de entrada se define como:

${\displaystyle d_{i}(X)={\frac {Y(X_{1},\ldots ,X_{i-1},X_{i}+\Delta ,X_{i+1},\ldots ,X_{k})-Y(\mathbf {X} )}{\Delta }}}$,

dónde${\displaystyle \mathbf {X} =(X_{1},X_{2},...X_{k})}$es cualquier valor seleccionado en${\displaystyle \Omega }$de tal manera que el punto transformado todavía esté en${\displaystyle \Omega }$para cada índice${\displaystyle i=1,\ldots ,k.}$

${\displaystyle r}$Los efectos elementales se estiman para cada entrada.${\displaystyle d_{i}\left(X^{(1)}\right),d_{i}\left(X^{(2)}\right),\ldots ,d_{i}\left(X^{(r)}\right)}$mediante muestreo aleatorio${\displaystyle r}$agujas${\displaystyle X^{(1)},X^{(2)},\ldots ,X^{(r)}}$.

Generalmente${\displaystyle r}$~ 4-10, dependiendo del número de factores de entrada, del coste computacional del modelo y de la elección del número de niveles.${\displaystyle p}$, ya que un gran número de niveles a explorar debe equilibrarse con un gran número de trayectorias para obtener una muestra exploratoria. Se demuestra que una elección conveniente para los parámetros${\displaystyle p}$y${\displaystyle \Delta }$es${\displaystyle p}$incluso y${\displaystyle \Delta }$igual a${\displaystyle p/[2(p-1)]}$, ya que esto garantiza una probabilidad igual de muestreo en el espacio de entrada.

En caso de que los factores de entrada no estén distribuidos uniformemente, la mejor práctica es muestrear en el espacio de los cuantiles y obtener los valores de entrada utilizando funciones de distribución acumulativa inversa. Tenga en cuenta que en este caso${\displaystyle \Delta }$es igual al paso dado por las entradas en el espacio de los cuantiles.

Las dos medidas${\displaystyle \mu }$y${\displaystyle \sigma }$se definen como la media y la desviación estándar de la distribución de los efectos elementales de cada insumo:

${\displaystyle \mu _{i}={\frac {1}{r}}\sum _{j=1}^{r}d_{i}\left(X^{(j)}\right)}$,

${\displaystyle \sigma _{i}={\sqrt {{\frac {1}{(r-1)}}\sum _{j=1}^{r}\left(d_{i}\left(X^{(j)}\right)-\mu _{i}\right)^{2}}}}$.

Estas dos medidas deben interpretarse conjuntamente (por ejemplo, en un gráfico bidimensional) para clasificar los factores de entrada por orden de importancia e identificar aquellos que no influyen en la variabilidad de la salida. Valores bajos de ambas${\displaystyle \mu }$y${\displaystyle \sigma }$corresponder a una entrada no influyente.

^{Campolongo et al. [ 7 ]} desarrollaron una mejora de este método, proponiendo una medida revisada.${\displaystyle \mu ^{*}}$, lo cual por sí solo es suficiente para proporcionar una clasificación fiable de los factores de entrada. La medida revisada es la media de la distribución de los valores absolutos de los efectos elementales de los factores de entrada:

${\displaystyle \mu _{i}^{*}={\frac {1}{r}}\sum _{j=1}^{r}\left|d_{i}\left(X^{(j)}\right)\right|}$.

El uso de${\displaystyle \mu ^{*}}$resuelve el problema de los efectos de signos opuestos que ocurre cuando el modelo no es monótono y que pueden cancelarse entre sí, lo que resulta en un valor bajo para${\displaystyle \mu }$.

En el artículo original, Morris presenta un esquema técnico eficiente para construir las trayectorias utilizadas en el método EE, mientras que Campolongo et al. proponen una estrategia de mejora destinada a explorar mejor el espacio de entrada.