Representación de modelos de alta dimensión

La representación de modelos de alta dimensión es una expansión finita para una función multivariable dada . La expansión fue descrita por primera vez por Ilya M. Sobol en su artículo "Estimaciones de sensibilidad para modelos matemáticos no lineales" ^{[ 1 ]} como

${\displaystyle f(\mathbf {x} )=f_{0}+\sum _{i=1}^{n}f_{i}(x_{i})+\sum _{i,j=1 \atop i<j}^{n}f_{ij}(x_{i},x_{j})+\cdots +f_{12\ldots n}(x_{1},\ldots ,x_{n}).}$

El método utilizado para determinar las funciones del lado derecho se presenta en el artículo de Sobol ^{[ 1 ]} . Puede encontrar una revisión aquí: Representación de modelos de alta dimensión (HDMR): conceptos y aplicaciones .

La lógica subyacente al HDMR consiste en expresar todas las interacciones de las variables en un sistema en un orden jerárquico. Por ejemplo${\displaystyle f_{0}}$representa la respuesta media del modelo${\displaystyle f}$Se puede considerar como una medida de lo que queda del modelo después de eliminar todos los efectos de las variables. Las funciones univariadas${\displaystyle f_{i}(x_{i})}$, sin embargo, representa las contribuciones "individuales" de las variables. Por ejemplo,${\displaystyle f_{1}(x_{1})}$es la parte del modelo que puede ser controlada únicamente por la variable${\displaystyle x_{1}}$. Por esta razón,${\displaystyle f_{1}(x_{1})}$no puede contener términos constantes, porque los términos constantes se expresan en ${\displaystyle f_{0}}$Adentrándonos en interacciones de mayor nivel, el siguiente paso son las funciones bivariadas.${\displaystyle f_{ij}(x_{i},x_{j})}$que representa el efecto cooperativo de las variables${\displaystyle x_{i}}$y${\displaystyle x_{j}}$En conjunto. Aquí se aplica una lógica similar: las funciones bivariadas no contienen funciones univariadas ni constantes, ya que esto viola la lógica de construcción de HDMR. A medida que avanzamos en interacciones de mayor orden, el número de interacciones aumenta y, finalmente, llegamos al término residual.${\displaystyle f_{12n}(x_{1},\ldots ,x_{n})}$representa la contribución solo si todas las variables actúan conjuntamente.

El modelo de representación jerárquica de HDMR ofrece ventajas al reemplazar un modelo existente por uno más simple, que generalmente contiene solo términos univariados o bivariados. Si el modelo objetivo no incluye interacciones entre variables de alto nivel, este enfoque puede proporcionar buenas aproximaciones, con la ventaja adicional de ofrecer una visión más clara de dichas interacciones.

• Análisis de sensibilidad basado en la varianza
• Serie Volterra