Teorema de los números primos

En matemáticas , el teorema de los números primos ( TNP ) describe la distribución asintótica de los números primos entre los enteros positivos. Formaliza la idea intuitiva de que los primos se vuelven menos comunes a medida que aumentan, cuantificando con precisión la tasa a la que esto ocurre. El teorema fue demostrado independientemente por Jacques Hadamard ^{[ 1 ]} y Charles Jean de la Vallée Poussin ^{[ 2 ]} en 1896, utilizando ideas introducidas por Bernhard Riemann (en particular, la función zeta de Riemann ).

La primera distribución encontrada es π ( N ) ~ ⁠ N / log( N ) ⁠ , donde π ( N ) es la función de conteo de primos (el número de primos menores o iguales a N ) y log( N ) es el logaritmo natural de N . Esto significa que para N suficientemente grande , la probabilidad de que un entero aleatorio no mayor que N sea primo es muy cercana a 1 / log( N ) . En otras palabras, la diferencia promedio entre números primos consecutivos entre los primeros N enteros es aproximadamente log( N ) . ^{[ 3 ]} En consecuencia, un entero aleatorio con como máximo 2 n dígitos (para n suficientemente grande ) tiene aproximadamente la mitad de probabilidades de ser primo que un entero aleatorio con como máximo n dígitos. Por ejemplo, entre los enteros positivos de como máximo 1000 dígitos, aproximadamente uno de cada 2300 es primo ( log(10 ¹⁰⁰⁰ ) ≈ 2302,6 ), mientras que entre los enteros positivos de como máximo 2000 dígitos, aproximadamente uno de cada 4600 es primo ( log(10 ²⁰⁰⁰ ) ≈ 4605,2 ).

Sea π ( x ) la función de conteo de primos definida como el número de primos menores o iguales a x , para cualquier número real x . Por ejemplo, π (10) = 4 porque hay cuatro números primos (2, 3, 5 y 7) menores o iguales a 10. El teorema de los números primos establece entonces que x / log x es una buena aproximación a π ( x ) (donde log aquí significa el logaritmo natural), en el sentido de que el límite del cociente de las dos funciones π ( x ) y x / log x cuando x aumenta sin límite es 1: 

${\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {\;\pi (x)\;}{\;\left[{\frac {x}{\log(x)}}\right]\;}}=1,}$

conocida como la ley asintótica de distribución de los números primos . Utilizando la notación asintótica, este resultado puede reformularse como

${\displaystyle \pi (x)\sim {\frac {x}{\log x}}.}$

Esta notación (y el teorema) no dice nada sobre el límite de la diferencia de las dos funciones cuando x aumenta indefinidamente. En cambio, el teorema establece que x / log x se aproxima a π ( x ) en el sentido de que el error relativo de esta aproximación tiende a cero cuando x aumenta indefinidamente.

El teorema de los números primos es equivalente a la afirmación de que el n -ésimo número primo p _n satisface

${\displaystyle p_{n}\sim n\log(n),}$

la notación asintótica significa, de nuevo, que el error relativo de esta aproximación se aproxima a 0 a medida que n aumenta sin límite. Por ejemplo, el2 × 10 ^17º número primo es8 512 677 386 048 191 063 , ^{[ 4 ]} y (2 × 10 ¹⁷ )log(2 × 10 ¹⁷ ) rondas a7 967 418 752 291 744 388 , un error relativo de aproximadamente el 6,4%.

Por otro lado, las siguientes relaciones asintóticas son lógicamente equivalentes: ^{[ 5 ] : 80–82}

${\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{x\rightarrow \infty }{\frac {\pi (x)\log x}{x}}&=1,{\text{ y}}\\\lim _{x\rightarrow \infty }{\frac {\pi (x)\log \pi (x)}{x}}\,&=1.\end{aligned}}}$

Como se describe a continuación , el teorema de los números primos también es equivalente a

${\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {\vartheta (x)}{x}}=\lim _{x\to \infty }{\frac {\psi (x)}{x}}=1,}$

donde ϑ y ψ son la primera y la segunda función de Chebyshev respectivamente, y para

${\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {M(x)}{x}}=0,}$^{[ 5 ] : 92–94}

dónde${\displaystyle M(x)=\sum _{n\leq x}\mu (n)}$es la función de Mertens .

Basándose en las tablas de Anton Felkel y Jurij Vega , Adrien-Marie Legendre conjeturó en 1797 o 1798 que π ( a ) se aproxima mediante la función a / ( A log a + B ) , donde A y B son constantes no especificadas. En la segunda edición de su libro sobre teoría de números (1808) formuló una conjetura más precisa , con A = 1 y B = −1,08366 . Carl Friedrich Gauss consideró la misma cuestión a los 15 o 16 años "en el año 1792 o 1793", según su propio recuerdo en 1849. ^{[ 6 ]} En 1838, Peter Gustav Lejeune Dirichlet propuso su propia función de aproximación, la integral logarítmica li( x ) (bajo una forma ligeramente diferente de serie, que comunicó a Gauss). Tanto la fórmula de Legendre como la de Dirichlet implican la misma equivalencia asintótica conjeturada de π ( x ) y x / log( x ) mencionada anteriormente, aunque resultó que la aproximación de Dirichlet es considerablemente mejor si se consideran las diferencias en lugar de los cocientes.

En dos artículos de 1848 y 1850, el matemático ruso Pafnuty Chebyshev intentó demostrar la ley asintótica de distribución de los números primos. Su trabajo es notable por el uso de la función zeta ζ ( s ) , para valores reales del argumento " s ", como en los trabajos de Leonhard Euler , ya en 1737. Los artículos de Chebyshev son anteriores a la célebre memoria de Riemann de 1859, y logró demostrar una forma ligeramente más débil de la ley asintótica, a saber, que si el límite cuando x tiende a infinito de π ( x ) / ( x / log( x )) existe, entonces es necesariamente igual a uno. ^{[ 7 ]} Pudo demostrar incondicionalmente que esta razón está acotada superior e inferiormente por 0,92129 y 1,10555, para todo x suficientemente grande . ^{[ 8 ] [ 9 ]} Aunque el artículo de Chebyshev no demostró el Teorema de los Números Primos, sus estimaciones para π ( x ) fueron lo suficientemente fuertes como para que pudiera demostrar el postulado de Bertrand de que existe un número primo entre n y 2 n para cualquier entero n ≥ 2 .

Un artículo importante sobre la distribución de los números primos fue la memoria de Riemann de 1859, " Sobre el número de primos menores que una magnitud dada ", el único artículo que escribió sobre el tema. Riemann introdujo nuevas ideas, principalmente que la distribución de los números primos está íntimamente relacionada con los ceros de la función zeta de Riemann, analíticamente extendida, de una variable compleja. En particular, es en este artículo donde surge la idea de aplicar métodos de análisis complejo al estudio de la función real π ( x ) . Ampliando las ideas de Riemann, Jacques Hadamard ^{[ 1 ]} y Charles Jean de la Vallée Poussin ^{[ 2 ]} hallaron independientemente dos demostraciones de la ley asintótica de la distribución de los números primos, que aparecieron el mismo año (1896). Ambas demostraciones utilizaron métodos del análisis complejo, estableciendo como paso principal de la demostración que la función zeta de Riemann ζ ( s ) es distinta de cero para todos los valores complejos de la variable s que tienen la forma s = 1 + it con t > 0 . ^{[ 10 ]}

Durante el siglo XX, el teorema de Hadamard y de la Vallée Poussin también se conoció como el Teorema de los Números Primos. Se encontraron varias demostraciones diferentes, incluidas las demostraciones "elementales" de Atle Selberg (1949) ^{[ 11 ]} y Paul Erdős (1949). ^{[ 12 ]} Las demostraciones originales de Hadamard y de la Vallée Poussin son largas y elaboradas; demostraciones posteriores introdujeron varias simplificaciones mediante el uso de teoremas tauberianos, pero seguían siendo difíciles de comprender. En 1980, el matemático estadounidense Donald J. Newman descubrió una demostración corta . ^{[ 13 ] [ 14 ]} La demostración de Newman es posiblemente la demostración más simple conocida del teorema, aunque no es "elemental" ya que utiliza el teorema integral de Cauchy del análisis complejo .

Aquí hay un esbozo de la demostración a la que se hace referencia en una de las conferencias de Terence Tao . ^{[ 15 ]} Como la mayoría de las demostraciones del PNT, comienza reformulando el problema en términos de una función de conteo de primos menos intuitiva, pero con mejor comportamiento. La idea es contar los primos (o un conjunto relacionado, como el conjunto de potencias de primos) con pesos para llegar a una función con un comportamiento asintótico más suave. La función de conteo generalizada más común es la función de Chebyshev ψ ( x ) , definida por

${\displaystyle \psi (x)=\sum _{k\geq 1}\sum _{\overset {p^{k}\leq x,}{\!\!\!\!p{\text{ es primo}}\!\!\!\!}}\log p\;.}$

Esto a veces se escribe como

${\displaystyle \psi (x)=\sum _{n\leq x}\Lambda (n)\;,}$

donde Λ ( n ) es la función de von Mangoldt , es decir

${\displaystyle \Lambda (n)={\begin{cases}\log p&{\text{ if }}n=p^{k}{\text{ for some prime }}p{\text{ and integer }}k\geq 1,\\0&{\text{otherwise.}}\end{cases}}}$

Ahora es relativamente fácil comprobar que el PNT es equivalente a la afirmación de que

${\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {\psi (x)}{x}}=1\;.}$

En efecto, esto se desprende de las estimaciones sencillas.

${\displaystyle \psi (x)=\sum _{\overset {p\leq x}{\!\!\!\!p{\text{ is prime}}\!\!\!\!}}\log p\left\lfloor {\frac {\log x}{\log p}}\right\rfloor \leq \sum _{\overset {p\leq x}{\!\!\!\!p{\text{ is prime}}\!\!\!\!}}\log x=\pi (x)\log x}$

y (usando la notación de la gran O ) para cualquier ε > 0 ,

${\displaystyle \psi (x)\geq \sum _{\!\!\!\!{\overset {x^{1-\varepsilon }\leq p\leq x}{p{\text{ is prime}}}}\!\!\!\!}\log p\geq \sum _{\!\!\!\!{\overset {x^{1-\varepsilon }\leq p\leq x}{p{\text{ is prime}}}}\!\!\!\!}(1-\varepsilon )\log x=(1-\varepsilon )\left(\pi (x)+O\left(x^{1-\varepsilon }\right)\right)\log x\;.}$

El siguiente paso es encontrar una representación útil para ψ ( x ) . Sea ζ ( s ) la función zeta de Riemann. Se puede demostrar que ζ ( s ) está relacionada con la función de von Mangoldt Λ ( n ) , y por lo tanto con ψ ( x ) , a través de la relación

${\displaystyle -{\frac {\zeta '(s)}{\zeta (s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }\Lambda (n)\,n^{-s}\;.}$

Un análisis delicado de esta ecuación y propiedades relacionadas de la función zeta, utilizando la transformada de Mellin y la fórmula de Perron , muestra que para x no entero la ecuación

${\displaystyle \psi (x)=x\;-\;\log(2\pi )\;-\!\!\!\!\sum \limits _{\rho$ :\,\zeta (\rho )=0}{\frac {x^{\rho }}{\rho }}}

se cumple, donde la suma se realiza sobre todos los ceros (triviales y no triviales) de la función zeta. Esta llamativa fórmula es una de las llamadas fórmulas explícitas de la teoría de números , y ya sugiere el resultado que deseamos demostrar, puesto que el término x (que se afirma que es el orden asintótico correcto de ψ ( x ) ) aparece en el lado derecho, seguido de términos asintóticos (presumiblemente) de orden inferior.

El siguiente paso en la demostración implica un estudio de los ceros de la función zeta. Los ceros triviales −2, −4, −6, −8, ... pueden tratarse por separado:

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2n\,x^{2n}}}=-{\frac {1}{2}}\log \left(1-{\frac {1}{x^{2}}}\right),}$

que se desvanece para valores grandes de x . Los ceros no triviales, es decir, aquellos en la franja crítica 0 ≤ Re( s ) ≤ 1 , pueden ser potencialmente de un orden asintótico comparable al término principal x si Re( ρ ) = 1 , por lo que necesitamos demostrar que todos los ceros tienen una parte real estrictamente menor que 1.

DJ Newman ofrece una demostración concisa del teorema de los números primos (TNP). La demostración no es elemental, ya que se basa en el análisis complejo, pero utiliza únicamente técnicas elementales propias de un curso introductorio sobre el tema: la fórmula integral de Cauchy , el teorema integral de Cauchy y estimaciones de integrales complejas. A continuación, se presenta un breve resumen de esta demostración. Para obtener más detalles, consulte ^{[ 14 ] .}

La demostración utiliza los mismos preliminares que en la sección anterior, excepto que en lugar de la función${\textstyle \ \psi \ ,}$la función de Chebyshev${\textstyle \ \vartheta (x)=\sum _{p\leq x}\log p\ }$se utiliza, que se obtiene eliminando algunos de los términos de la serie para${\textstyle \ \psi ~.}$De forma similar al argumento de la demostración anterior basada en la conferencia de Tao, podemos demostrar que ϑ ( x ) ≤ π ( x ) log x , y ϑ ( x ) ≥ ( 1 − ɛ ) ( π ( x ) + O( x ^{1 − ɛ} ) ) log x para cualquier 0 < ɛ < 1 . Por lo tanto, el PNT es equivalente a${\displaystyle \ \lim _{x\to \infty }{\tfrac {\ \vartheta (x)\ }{x}}=1~.}$ Asimismo, en lugar de${\displaystyle \ -{\tfrac {\ \zeta '(s)\ }{\zeta (s)}}\ }$la función${\displaystyle \ \Phi (s)=\sum _{p\leq x}{\tfrac {\ \log p\ }{\;p^{s}\ }}\ }$se utiliza, que se obtiene eliminando algunos términos en la serie para${\displaystyle \ -{\tfrac {\ \zeta '(s)\ }{\zeta (s)}}~.}$Las funciones${\displaystyle \ \Phi (s)\ }$ y${\displaystyle \ -{\tfrac {\ \zeta '(s)\ }{\zeta (s)}}\ }$difieren por una función holomorfa en${\displaystyle \ \Re (s)=1~.}$Puesto que, como se mostró en la sección anterior,${\displaystyle \ \zeta (s)\ }$ no tiene ceros en la línea${\displaystyle \ \Re =1\ ,}$y${\displaystyle \ \Phi (s)-{\tfrac {1}{\ s-1\ }}\ }$no tiene singularidades en${\displaystyle \ \Re (s)=1~.}$

Un dato adicional necesario en la demostración de Newman, y que es clave para las estimaciones en su método simple, es que${\displaystyle \ {\tfrac {\ \vartheta (x)\ }{x}}\ }$está acotada. Esto se demuestra utilizando un método ingenioso y sencillo de Chebyshev.

La integración por partes muestra cómo${\displaystyle \ \vartheta (x)\ }$y${\displaystyle \ \Phi (s)\ }$están relacionados: Para${\displaystyle \ \Re (s)>1\ ,}$

${\displaystyle \Phi (s)~=~\int _{1}^{\infty }{\frac {\operatorname {d} \vartheta (x)}{\;x^{s}\ }}~=~s\int _{1}^{\infty }{\frac {\vartheta (x)}{\ x^{s+1}\ }}\operatorname {d} x~=~s\int _{0}^{\infty }{\frac {\;\vartheta (e^{t})\ }{\;e^{st}\ }}\operatorname {d} t~.}$

El método de Newman demuestra el PNT mostrando la integral

${\displaystyle I\equiv \int _{0}^{\infty }\left({\frac {\ \vartheta (e^{t})\ }{e^{t}}}-1\right)\operatorname {d} t~.}$

converge, y por lo tanto el integrando tiende a cero cuando${\displaystyle \ t\to \infty \ ,}$que es el PNT. En general, la convergencia de la integral impropia no implica que el integrando tienda a cero en el infinito, puesto que puede oscilar, sino que${\displaystyle \ \vartheta \ }$está aumentando, es fácil demostrarlo en este caso.

Para mostrar la convergencia de${\displaystyle \ I\ ,}$para${\displaystyle \ \Re (z)>0\ }$ dejar

${\displaystyle g_{T}(z)\equiv \int _{0}^{T}f(t)\ e^{-zt}\operatorname {d} t\quad }$y${\displaystyle \quad g(z)\equiv \int _{0}^{\infty }f(t)\ e^{-zt}\operatorname {d} t\quad }$dónde${\displaystyle \quad f(t)\equiv {\frac {\ \vartheta (e^{t})\ }{e^{t}}}-1\ }$

entonces

${\displaystyle \lim _{T\to \infty }g_{T}(z)~=~g(z)~=~{\frac {\ \Phi (s)\ }{s}}-{\frac {1}{\ s-1\ }}\qquad {\text{where}}\quad z\equiv s-1\ }$

que es igual a una función holomorfa en la línea${\displaystyle \ \Re (z)=0~.}$

La convergencia de la integral${\displaystyle \ I\ ,}$y por lo tanto, el PNT se demuestra mostrando que${\displaystyle \ \lim _{T\to \infty }g_{T}(0)~=~g(0)~.}$Esto implica un cambio de orden de límites ya que se puede escribir${\textstyle \ \lim _{T\to \infty }\ \lim _{z\to 0}g_{T}(z)~=~\lim _{z\to 0}\ \lim _{T\to \infty }g_{T}(z)\ }$y por lo tanto se clasifica como un teorema de Tauber.

La diferencia${\displaystyle \ g(0)-g_{T}(0)\ }$se expresa utilizando la fórmula integral de Cauchy y luego se demuestra que es pequeño para valores grandes${\displaystyle \ T\ }$estimando el integrando: Fijar${\displaystyle \ R>0\ }$y${\displaystyle \ \delta >0\ }$de modo que${\displaystyle \ g(z)\ }$es holomorfa en la región donde${\displaystyle \ |z|\leq R~}$y${\displaystyle ~\Re (z)\geq -\delta \ ,}$y dejar${\displaystyle \ C\ }$Sea el límite de esa región. Dado que 0 está en el interior de la región, la fórmula integral de Cauchy da

${\displaystyle g(0)-g_{T}(0)~=~{\frac {1}{\ 2\pi i\ }}\int _{C}{\bigl (}\ g(z)-g_{T}(z)\ {\bigr )}\ {\frac {\ \operatorname {d} z\ }{z}}~=~{\frac {1}{2\pi i}}\int _{C}{\bigl (}\ g(z)-g_{T}(z)\ {\bigr )}\ F(z)\ {\frac {\ \operatorname {d} z\ }{z}}\ }$

dónde${\displaystyle \ F(z)\equiv e^{zT}\left(1+{\frac {\;z^{2}\ }{\;R^{2}\ }}\right)\ }$es el factor introducido por Newman, que no cambia la integral ya que${\displaystyle \ F\ }$es entero y${\displaystyle \ F(0)=1~.}$

Para estimar la integral, rompa el contorno.${\displaystyle \ C\ }$en dos partes,${\displaystyle \ C=C_{+}+C_{-}\ }$dónde${\displaystyle \ C_{+}\equiv C\cap \left\{z\ \vert \ \Re (z)>0\right\}\ }$y${\displaystyle \ C_{-}\equiv C\cap \left\{z\ \vert \ \Re (z)\leq 0\right\}~.}$Entonces

${\displaystyle \ g(0)-g_{T}(0)~~=~~\int _{C_{+}}\int _{T}^{\infty }H(t,z)\operatorname {d} t\ \operatorname {d} z~~-~\int _{C_{-}}\int _{0}^{T}H(t,z)\operatorname {d} t\operatorname {d} z~~+~\int _{C_{-}}g(z)\ F(z){\frac {\operatorname {d} z}{\ 2\pi iz\ }}\ ,}$

dónde${\displaystyle \ H(t,z)\equiv f(t)\ e^{-tz}{\frac {F(z)}{\ 2\pi i\ }}~.}$Tenga en cuenta que${\displaystyle \ {\frac {\ \vartheta (x)\ }{x}}\ ,}$y por lo tanto${\displaystyle \ f(t)\ ,}$están limitados; así que${\displaystyle \ B\ }$sea ​​algún límite superior:${\displaystyle \ B\geq {\bigl |}f(t){\bigr |}~.}$

Este límite, combinado con la estimación${\displaystyle \ \left|F\right|\ \leq \ 2\ \exp \!{\Bigl (}T\ \Re (z){\Bigr )}{\frac {\ \left|\Re (z)\right|\ }{R}}\ }$para${\displaystyle \ |z|=R\ ,}$juntos dan que el valor absoluto de la primera integral debe ser${\displaystyle \ \leq {\frac {\ B\ }{R}}~.}$El integrando sobre${\displaystyle \ C_{-}\ }$en la segunda integral es entera , por lo que por el teorema integral de Cauchy , el contorno${\displaystyle \ C_{-}\ }$puede modificarse a un semicírculo de radio${\displaystyle \ R\ }$en el semiplano izquierdo sin cambiar la integral, y el mismo argumento que para la primera integral da el valor absoluto de la segunda integral debe ser${\displaystyle \ \leq {\frac {\ B\ }{R}}~.}$Finalmente, dejar${\displaystyle \ T\to \infty \ ,}$la tercera integral tiende a cero ya que${\displaystyle \ e^{zT}\ }$y por lo tanto${\displaystyle \ F\ }$llega a cero en el contorno. Combinando las dos estimaciones y el límite se obtiene

${\displaystyle \limsup _{T\to \infty }\ {\bigl |}\ g(0)-g_{T}(0)\ {\bigr |}\ \leq \ {\frac {\ 2B\ }{R}}\ ~.}$

Esto se aplica a cualquier${\displaystyle \ R\ }$entonces${\displaystyle \ \lim _{T\to \infty }g_{T}(0)=g(0)\ ,}$y le sigue el PNT.

En una nota manuscrita en una reimpresión de su artículo de 1838 " Sur l'usage des séries infinies dans la théorie des nombres ", que envió por correo a Gauss, Dirichlet conjeturó (bajo una forma ligeramente diferente que apelaba a una serie en lugar de una integral) que una aproximación aún mejor a π ( x ) viene dada por la función integral logarítmica desplazada Li( x ) , definida por

${\displaystyle \operatorname {Li} (x)=\int _{2}^{x}{\frac {dt}{\log t}}=\operatorname {li} (x)-\operatorname {li} (2).}$

De hecho, esta integral sugiere fuertemente la noción de que la "densidad" de primos alrededor de t debería ser 1 / log t . Esta función está relacionada con el logaritmo mediante la expansión asintótica.

${\displaystyle \operatorname {Li} (x)\sim {\frac {x}{\log x}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {k!}{(\log x)^{k}}}={\frac {x}{\log x}}+{\frac {x}{(\log x)^{2}}}+{\frac {2x}{(\log x)^{3}}}+\cdots }$

Así pues, el teorema de los números primos también puede escribirse como π ( x ) ~ Li( x ) . De hecho, en otro artículo ^{[ 17 ]} de 1899 de la Vallée Poussin demostró que

${\displaystyle \pi (x)=\operatorname {Li} (x)+O\left(xe^{-a{\sqrt {\log x}}}\right)\quad {\text{as }}x\to \infty }$

para alguna constante positiva a , donde O (...) es la notación de la gran O. Esto se ha mejorado a

${\displaystyle \pi (x)=\operatorname {li} (x)+O\left(x\exp \left(-{\frac {A(\log x)^{\frac {3}{5}}}{(\log \log x)^{\frac {1}{5}}}}\right)\right)}$dónde${\displaystyle A=0.2098}$. ^{[ 18 ]}

En 2016, Timothy Trudgian demostró un límite superior explícito para la diferencia entre${\displaystyle \pi (x)}$y${\displaystyle \operatorname {li} (x)}$:

${\displaystyle {\big |}\pi (x)-\operatorname {li} (x){\big |}\leq 0.2795{\frac {x}{(\log x)^{3/4}}}\exp \left(-{\sqrt {\frac {\log x}{6.455}}}\right)}$

para${\displaystyle x\geq 229}$. ^{[ 19 ]}

La conexión entre la función zeta de Riemann y π ( x ) es una de las razones por las que la hipótesis de Riemann tiene una importancia considerable en la teoría de números: si se confirma, proporcionaría una estimación mucho mejor del error involucrado en el teorema de los números primos que la disponible actualmente. Más específicamente, Helge von Koch demostró en 1901 ^{[ 20 ]} que si la hipótesis de Riemann es verdadera, el término de error en la relación anterior puede mejorarse a

${\displaystyle \pi (x)=\operatorname {Li} (x)+O\left({\sqrt {x}}\log x\right)}$

(esta última estimación es de hecho equivalente a la hipótesis de Riemann). La constante involucrada en la notación O grande fue estimada en 1976 por Lowell Schoenfeld , ^{[ 21 ]} asumiendo la hipótesis de Riemann:

${\displaystyle {\big |}\pi (x)-\operatorname {li} (x){\big |}<{\frac {{\sqrt {x}}\log x}{8\pi }}}$

para todo x ≥ 2657. También derivó una cota similar para la función de conteo de primos de Chebyshev ψ :

${\displaystyle {\big |}\psi (x)-x{\big |}<{\frac {{\sqrt {x}}(\log x)^{2}}{8\pi }}}$

para todo x ≥ 73,2  . Se ha demostrado que este último límite expresa una ley de potencia de varianza a media (cuando se considera como una función aleatoria sobre los enteros) y ruido 1 / f , y que también corresponde a la distribución de Poisson compuesta de Tweedie . (Las distribuciones de Tweedie representan una familia de distribuciones invariantes de escala que sirven como focos de convergencia para una generalización del teorema del límite central . ^{[ 22 ]} ) También se deriva un límite inferior por JE Littlewood , asumiendo la hipótesis de Riemann: ^{[ 23 ] [ 24 ] [ 25 ]} 

${\displaystyle {\big |}\pi (x)-\operatorname {li} (x){\big |}=\Omega \left({\sqrt {x}}{\frac {\log \log \log x}{\log x}}\right)}$

La integral logarítmica li( x ) es mayor que π ( x ) para valores "pequeños" de x . Esto se debe a que (en cierto sentido) no cuenta números primos, sino potencias de primos, donde una potencia pⁿ de un primo p se cuenta como 1/ n de un primo . Esto sugiere que li ( x ) debería ser generalmente mayor que ^π ( x ) por aproximadamente${\displaystyle \ {\tfrac {1}{2}}\operatorname {li} ({\sqrt {x}})\ ,}$y en particular siempre debe ser mayor que π ( x ) . Sin embargo, en 1914, Littlewood demostró que${\displaystyle \ \pi (x)-\operatorname {li} (x)\ }$cambia de signo infinitas veces. ^{[ 23 ]} El primer valor de x donde π ( x ) excede li( x ) es probablemente alrededor de x ~ 10³¹⁶ ; consulte el artículo sobreel número de Skewespara obtener más detalles. (Por otro lado, laintegral logarítmica desplazadaLi( x )es menor que π ( x )ya para x = 2; de hecho,Li(2) = 0, mientras que π (2) = 1).

En la primera mitad del siglo XX, algunos matemáticos (en particular G. H. Hardy ) creían que existe una jerarquía de métodos de demostración en matemáticas que depende del tipo de números ( enteros , reales , complejos ) que requiere una demostración, y que el teorema de los números primos (TNP) es un teorema "profundo" por requerir análisis complejo . ^{[ 9 ]} Esta creencia se vio algo cuestionada por una demostración del TNP basada en el teorema tauberiano de Wiener , aunque la demostración de Wiener se basa en última instancia en propiedades de la función zeta de Riemann en la línea${\displaystyle Re(s)=1}$donde debe utilizarse un análisis complejo.

En marzo de 1948, Atle Selberg estableció, por medios "elementales", la fórmula asintótica.

${\displaystyle \vartheta (x)\log(x)+\sum \limits _{p\leq x}{\log(p)}\ \vartheta \left({\frac {x}{p}}\right)=2x\log(x)+O(x)}$

dónde

${\displaystyle \vartheta (x)=\sum \limits _{p\leq x}{\log(p)}}$

para primos p . ^{[ 11 ]} En julio de ese año, Selberg y Paul Erdős ^{[ 12 ]} habían obtenido cada uno pruebas elementales del PNT, ambos utilizando la fórmula asintótica de Selberg como punto de partida. ^{[ 9 ] [ 26 ]} Estas pruebas efectivamente pusieron fin a la noción de que el PNT era "profundo" en ese sentido, y mostraron que los métodos técnicamente "elementales" eran más poderosos de lo que se había creído. Sobre la historia de las pruebas elementales del PNT, incluyendo la disputa de prioridad Erdős–Selberg , véase un artículo de Dorian Goldfeld . ^{[ 9 ]}

Existe cierto debate sobre la importancia del resultado de Erdős y Selberg. No existe una definición rigurosa y ampliamente aceptada de la noción de demostración elemental en teoría de números, por lo que no está claro exactamente en qué sentido su demostración es "elemental". Aunque no utiliza análisis complejo, de hecho es mucho más técnica que la demostración estándar de PNT. Una posible definición de una demostración "elemental" es "aquella que puede llevarse a cabo en aritmética de Peano de primer orden ". Hay enunciados de teoría de números (por ejemplo, el teorema de Paris-Harrington ) demostrables utilizando métodos de segundo orden pero no de primer orden , pero tales teoremas son raros hasta la fecha. La demostración de Erdős y Selberg ciertamente puede formalizarse en aritmética de Peano, y en 1994, Charalambos Cornaros y Costas Dimitracopoulos demostraron que su demostración puede formalizarse en un fragmento muy débil de PA, a saber, I Δ ₀ + exp . ^{[ 27 ]} Sin embargo, esto no aborda la cuestión de si la prueba estándar de PNT se puede formalizar o no en PA.

Una demostración "elemental" más reciente del teorema de los números primos utiliza la teoría ergódica , debida a Florian Richter. ^{[ 28 ]} Allí se obtiene el teorema de los números primos en una forma equivalente a que la suma de Cesàro de los valores de la función de Liouville sea cero. La función de Liouville es${\displaystyle (-1)^{\omega (n)}}$dónde${\displaystyle \omega (n)}$es el número de factores primos, con multiplicidad, del entero${\displaystyle n}$Bergelson y Richter (2022) obtienen entonces esta forma del teorema de los números primos a partir de un teorema ergódico que demuestran:

Dejar${\displaystyle X}$sea ​​un espacio métrico compacto ,${\displaystyle T}$un automapa continuo de${\displaystyle X}$, y${\displaystyle \mu }$a${\displaystyle T}$-medida de probabilidad de Borel invariante para la cual${\displaystyle T}$es singularmente ergódico . Entonces, para cada${\displaystyle f\in C(X)}$,

$${\displaystyle {\tfrac {1}{N}}\sum _{n=1}^{N}f(T^{\omega (n)}x)\to \int _{X}f\,d\mu ,\quad \forall x\in X.}$$

Este teorema ergódico también puede utilizarse para dar demostraciones "suaves" de resultados relacionados con el teorema de los números primos, como el teorema de Pillai-Selberg y el teorema de Erdős-Delange .

En 2005, Avigad et al. emplearon el demostrador de teoremas Isabelle para idear una variante verificada por computadora de la prueba de Erdős-Selberg del PNT. ^{[ 29 ]} Esta fue la primera prueba del PNT verificada por máquina. Avigad optó por formalizar la prueba de Erdős-Selberg en lugar de una analítica porque, si bien la biblioteca de Isabelle en ese momento podía implementar las nociones de límite, derivada y función trascendental , prácticamente carecía de teoría de la integración. ^{[ 29 ] : 19}

En 2009, John Harrison empleó a HOL Light para formalizar una demostración que utilizaba análisis complejo . ^{[ 30 ]} Al desarrollar la maquinaria analítica necesaria, incluida la fórmula integral de Cauchy , Harrison pudo formalizar "una demostración directa, moderna y elegante en lugar del argumento 'elemental' de Erdős-Selberg, que es más complejo".

Sea π _{d , a} ( x ) el número de primos en la progresión aritmética a , a + d , a + 2 d , a + 3 d , ... que son menores que x . Dirichlet y Legendre conjeturaron, y de la Vallée Poussin demostró, que si a y d son coprimos , entonces

${\displaystyle \pi _{d,a}(x)\sim {\frac {\operatorname {Li} (x)}{\varphi (d)}}\ ,}$

donde φ es la función totiente de Euler . En otras palabras, los primos se distribuyen uniformemente entre las clases de residuos [ a ] módulo d con mcd( a , d ) = 1.  Esto es más fuerte que el teorema de Dirichlet sobre progresiones aritméticas (que solo afirma que hay una infinidad de primos en cada clase) y puede demostrarse utilizando métodos similares a los empleados por Newman para su demostración del teorema de los números primos. ^{[ 31 ]}

El teorema de Siegel-Walfisz proporciona una buena estimación de la distribución de los números primos en las clases de residuos.

Bennett et al. ^{[ 32 ]} demostraron la siguiente estimación que tiene constantes explícitas A y B (Teorema 1.3): Sea d${\displaystyle \geq 3}$Sea d un número entero y sea a un número entero coprimo con d . Entonces existen constantes positivas A y B tales que

${\displaystyle \left|\pi _{d,a}(x)-{\frac {\ \operatorname {Li} (x)\ }{\ \varphi (d)\ }}\right|<{\frac {A\ x}{\ (\log x)^{2}\ }}\quad {\text{ for all }}\quad x\geq B\ ,}$

dónde

${\displaystyle A={\frac {1}{\ 840\ }}\quad {\text{ if }}\quad 3\leq d\leq 10^{4}\quad {\text{ and }}\quad A={\frac {1}{\ 160\ }}\quad {\text{ if }}\quad d>10^{4}~,}$

y

${\displaystyle B=8\cdot 10^{9}\quad {\text{ if }}\quad 3\leq d\leq 10^{5}\quad {\text{ and }}\quad B=\exp(\ 0.03\ {\sqrt {d\ }}\ (\log {d})^{3}\ )\quad {\text{ if }}\quad d>10^{5}\ .}$

carrera de números primos

Aunque tenemos en particular

${\displaystyle \pi _{4,1}(x)\sim \pi _{4,3}(x)\ ,}$

Empíricamente, los primos congruentes con 3 son más numerosos y casi siempre van por delante en esta "carrera de números primos" ; la primera inversión ocurre en x = 26861. ^{[ 33 ] : 1–2} Sin embargo, Littlewood demostró en 1914 ^{[ 33 ] : 2} que hay infinitos cambios de signo para la función

${\displaystyle \pi _{4,1}(x)-\pi _{4,3}(x)~,}$

Así, el liderazgo en la carrera cambia infinitas veces. El fenómeno de que π _4,3 ( x ) esté por delante la mayor parte del tiempo se denomina sesgo de Chebyshev . La carrera de los números primos se generaliza a otros módulos y es objeto de mucha investigación; Pál Turán preguntó si siempre es cierto que π _{c , a} ( x ) y π _{c , b} ( x ) intercambian posiciones cuando a y b son coprimos con c . ^{[ 34 ]} Granville y Martin ofrecen una exposición y un análisis exhaustivos. ^{[ 33 ]}

Otro ejemplo es la distribución del último dígito de los números primos. Excepto el 2 y el 5, todos los números primos terminan en 1, 3, 7 o 9. El teorema de Dirichlet establece que, asintóticamente, el 25% de todos los primos terminan en cada uno de estos cuatro dígitos. Sin embargo, la evidencia empírica muestra que, para un límite dado, tiende a haber ligeramente más primos que terminan en 3 o 7 que en 1 o 9 (una generación del sesgo de Chebyshev). ^{[ 35 ]} Esto implica que 1 y 9 son residuos cuadráticos módulo 10, y 3 y 7 son no residuos cuadráticos módulo 10.

El teorema de los números primos es un resultado asintótico . Da una cota ineficaz para π ( x ) como consecuencia directa de la definición del límite: para todo ε > 0 , existe un S tal que para todo x > S ,

${\displaystyle (1-\varepsilon ){\frac {x}{\log x}}\;<\;\pi (x)\;<\;(1+\varepsilon ){\frac {x}{\log x}}\;.}$

Sin embargo, se conocen mejores límites para π ( x ) , por ejemplo, los de Pierre Dusart .

${\displaystyle {\frac {x}{\log x}}\left(1+{\frac {1}{\log x}}\right)\;<\;\pi (x)\;<\;{\frac {x}{\log x}}\left(1+{\frac {1}{\log x}}+{\frac {2.51}{(\log x)^{2}}}\right)\;.}$

La primera desigualdad se cumple para todo ^x ≥ 599 y la segunda para x ≥ 355991. ^[ 36 ^]

La demostración de de la Vallée Poussin implica la siguiente cota: Para cada ε > 0 , existe un S tal que para todo x > S ,

${\displaystyle {\frac {x}{\log x-(1-\varepsilon )}}\;<\;\pi (x)\;<\;{\frac {x}{\log x-(1+\varepsilon )}}\;.}$

El valor ε = 3 proporciona una cota débil pero a veces útil para x ≥ 55 : ^{[ 37 ]}

${\displaystyle {\frac {x}{\log x+2}}\;<\;\pi (x)\;<\;{\frac {x}{\log x-4}}\;.}$

En la tesis de Pierre Dusart hay versiones más fuertes de este tipo de desigualdad que son válidas para valores mayores de x . Más tarde, en 2010, Dusart demostró: ^{[ 38 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {x}{\log x-1}}\;&<\;\pi (x)&&{\text{ for }}x\geq 5393\;,{\text{ and }}\\\pi (x)&<\;{\frac {x}{\log x-1.1}}&&{\text{ for }}x\geq 60184\;.\end{aligned}}}$

Nótese que la primera de estas condiciones deja obsoleta la condición ε > 0 en el límite inferior.

Como consecuencia del teorema de los números primos, se obtiene una expresión asintótica para el n -ésimo número primo, denotada por p _n :

${\displaystyle p_{n}\sim n\log n.}$^{[ 39 ]}

Una mejor aproximación es la de Cesàro (1894): ^{[ 40 ]}

${\displaystyle p_{n}=nB_{2}(\log n),{\text{ where}}}$

${\displaystyle B_{2}(x)=x+\log x-1+{\frac {\log x-2}{x}}-{\frac {(\log x)^{2}-6\log x+11}{2x^{2}}}+o\left({\frac {1}{x^{2}}}\right).}$

Nuevamente considerando el2 × 10 ^17.º número primo8 512 677 386 048 191 063 , suponiendo que el término de error transitorio es cero, da una estimación de8 512 681 315 554 715 386 ; los primeros 5 dígitos coinciden y el error relativo es de aproximadamente 0,46 partes por millón .

Cipolla (1902) ^{[ 41 ] [ 42 ]} demostró que estos son los términos principales de una serie infinita que puede truncarse en grado arbitrario, con

${\displaystyle B_{k}(x)=x+\log x-1-\sum _{i=1}^{k}(-1)^{i}{\frac {P_{i}(\log x)}{ix^{i}}}+O\left({\frac {(\log x)^{k+1}}{x^{k+1}}}\right),}$

donde cada P _i es un polinomio mónico de grado i . ( P ₁ ( y ) = y − 2 , P ₂ ( y ) = y ² − 6 y + 11 , P ₃ ( y ) = y ³ − ⁠ 21 / 2 ⁠ y ² + 42 y + ⁠ 131 / 2 ⁠ , y así sucesivamente. ^{[ 42 ]} )

El teorema de Rosser ^{[ 37 ]} establece que

${\displaystyle p_{n}>n\log n.}$

Dusart (1999). ^{[ 43 ]} encontró límites más ajustados utilizando la forma de las aproximaciones de Cesàro/Cipolla pero variando el término constante de orden más bajo . B _k ( x ; C ) es la misma función que la anterior, pero con el término constante de orden más bajo reemplazado por un parámetro C :

${\displaystyle {\begin{aligned}p_{n}\;&>\;nB_{0}(\log n;1)&&{\text{for }}n\geq 2,{\text{ and}}\\p_{n}\;&<\;nB_{0}(\log n;0.9484)&&{\text{for }}n\geq 39017,{\text{ where}}\\B_{0}(x;C)\;&=\;x+\log x-C.\\p_{n}\;&>\;nB_{1}(\log n;2.25)&&{\text{for }}n\geq 2,{\text{ and}}\\p_{n}\;&<\;nB_{1}(\log n;1.8)&&{\text{for }}n\geq 27076,{\text{ where}}\\B_{1}(x;C)\;&=\;x+\log x-1+{\frac {\log x-C}{x}}.\end{aligned}}}$

Los límites superiores pueden extenderse a valores más pequeños de n relajando el parámetro. Por ejemplo, p _n < n B ₁ (log n ; 0,5) para todo n ≥ 20 . ^{[ 44 ]}

Axler (2019) ^{[ 44 ]} extendió esto a un orden superior, mostrando:

${\displaystyle {\begin{aligned}p_{n}\;&>\;nB_{2}(\log n;11.321)\quad {\text{for }}n\geq 2,{\text{ and }}\\p_{n}\;&<\;nB_{2}(\log n;10.667)\quad {\text{for }}n\geq 46\,254\,381,{\text{ where}}\\B_{2}(x;C)\;&=\;x+\log x-1+{\frac {\log x-2}{x}}-{\frac {(\log x)^{2}-6\log x+C}{2x^{2}}}.\end{aligned}}}$

Nuevamente, el límite de n puede disminuirse relajando el parámetro. Por ejemplo, p _n < n B ₂ (log n ; 0) para n ≥ 3468 .

La tabla compara los valores exactos de π ( x ) con las dos aproximaciones x /log x y li( x ) . Las columnas de diferencia de aproximación se redondean al entero más cercano, pero las columnas de "% de error" se calculan en función de las aproximaciones sin redondear. La última columna, x / π ( x ) , es la brecha prima promedio por debajo de x . 

El valor de π (10 ²⁴ ) se calculó originalmente asumiendo la hipótesis de Riemann ; ^{[ 45 ]} desde entonces se ha verificado incondicionalmente. ^{[ 46 ]}

Existe un análogo del teorema de los números primos que describe la "distribución" de polinomios irreducibles sobre un cuerpo finito ; la forma que adopta es sorprendentemente similar al caso del teorema clásico de los números primos.

Para expresarlo con precisión, sea F = GF( q ) el cuerpo finito con q elementos, para algún q fijo , y sea _Nn el número de polinomios mónicos irreducibles sobre F cuyo grado es igual a n . Es decir, estamos considerando polinomios con coeficientes elegidos de F , que no pueden escribirse como productos de polinomios de menor grado. En este contexto, estos polinomios desempeñan el papel de los números primos, ya que todos los demás polinomios mónicos se construyen a partir de productos de ellos. Entonces se puede demostrar que

${\displaystyle N_{n}\sim {\frac {q^{n}}{n}}.}$

Si hacemos la sustitución x = q ⁿ , entonces el lado derecho es simplemente

${\displaystyle {\frac {x}{\log _{q}x}},}$

lo que aclara la analogía. Dado que hay precisamente q ⁿ polinomios mónicos de grado n (incluidos los reducibles), esto se puede reformular de la siguiente manera: si se selecciona aleatoriamente un polinomio mónico de grado n , entonces la probabilidad de que sea irreducible es aproximadamente 1 / n . 

Incluso se puede demostrar un análogo de la hipótesis de Riemann, a saber, que

${\displaystyle N_{n}={\frac {q^{n}}{n}}+O\left({\frac {q^{\frac {n}{2}}}{n}}\right).}$

Las demostraciones de estas afirmaciones son mucho más sencillas que en el caso clásico. Implican un breve argumento combinatorio , ^{[ 47 ]} resumido de la siguiente manera: cada elemento de la extensión de grado n de F es una raíz de algún polinomio irreducible cuyo grado d divide a n ; al contar estas raíces de dos maneras diferentes se establece que

${\displaystyle q^{n}=\sum _{d\mid n}dN_{d},}$

donde la suma se realiza sobre todos los divisores d de n . La inversión de Möbius produce entonces

${\displaystyle N_{n}={\frac {1}{n}}\sum _{d\mid n}\mu \left({\frac {n}{d}}\right)q^{d},}$

donde μ ( k ) es la función de Möbius . (Esta fórmula era conocida por Gauss ). El término principal aparece para d = n , y no es difícil acotar los términos restantes. El enunciado de la "hipótesis de Riemann" depende del hecho de que el mayor divisor propio de n no puede ser mayor que n / 2 .

• Teoría analítica abstracta de números para obtener información sobre generalizaciones del teorema.
• Teorema de Landau sobre los ideales primos para una generalización a ideales primos en cuerpos de números algebraicos.
• hipótesis de Riemann