Prueba elemental

En matemáticas , una demostración elemental es aquella que utiliza únicamente técnicas básicas. Más específicamente, en teoría de números, el término se emplea para referirse a demostraciones que no requieren análisis complejo . Históricamente, se creía que ciertos teoremas , como el teorema de los números primos , solo podían demostrarse mediante teoremas o técnicas matemáticas más avanzadas. Sin embargo, con el tiempo, muchos de estos resultados también se han demostrado posteriormente utilizando únicamente técnicas elementales.

Aunque generalmente no existe consenso sobre qué se considera elemental, el término es, sin embargo, una parte común de la jerga matemática . Una demostración elemental no es necesariamente simple, en el sentido de ser fácil de entender o trivial. De hecho, algunas demostraciones elementales pueden ser bastante complicadas, y esto es especialmente cierto cuando se trata de una afirmación de notable importancia. ^{[ 1 ]}

La distinción entre demostraciones elementales y no elementales se ha considerado especialmente importante en relación con el teorema de los números primos . Este teorema fue demostrado por primera vez en 1896 por Jacques Hadamard y Charles Jean de la Vallée-Poussin utilizando análisis complejo. ^{[ 2 ]} Muchos matemáticos intentaron entonces construir demostraciones elementales del teorema, sin éxito. GH Hardy expresó fuertes reservas; consideró que la " profundidad " esencial del resultado descartaba las demostraciones elementales:

No se conoce ninguna demostración elemental del teorema de los números primos, y cabe preguntarse si es razonable esperar una. Sabemos que el teorema es aproximadamente equivalente a un teorema sobre una función analítica , el teorema que establece que la función zeta de Riemann no tiene raíces en una determinada recta . Una demostración de tal teorema, que no dependa fundamentalmente de la teoría de funciones, me parece extraordinariamente improbable. Es temerario afirmar que un teorema matemático no puede demostrarse de una manera particular; pero una cosa parece bastante clara. Tenemos ciertas ideas sobre la lógica de la teoría; pensamos que algunos teoremas, como decimos, "yacen en lo profundo" y otros más en la superficie. Si alguien presenta una demostración elemental del teorema de los números primos, demostrará que estas ideas son erróneas, que el tema no se sostiene como hemos supuesto y que es hora de dejar de lado los libros y reescribir la teoría.

Sin embargo, en 1948, Atle Selberg desarrolló nuevos métodos que lo llevaron, junto con Paul Erdős, a encontrar demostraciones elementales del teorema de los números primos. ^{[ 3 ]}

Harvey Friedman conjeturó : «Todo teorema publicado en los Anales de Matemáticas cuya formulación involucra únicamente objetos matemáticos finitos (es decir, lo que los lógicos denominan una formulación aritmética) puede demostrarse en aritmética elemental». ^{[ 4 ]} La forma de aritmética elemental a la que se refiere esta conjetura puede formalizarse mediante un pequeño conjunto de axiomas relativos a la aritmética de enteros y la inducción matemática . Por ejemplo, según esta conjetura, el Último Teorema de Fermat debería tener una demostración elemental; la demostración de Wiles del Último Teorema de Fermat no lo es. Sin embargo, existen otras afirmaciones sencillas sobre aritmética, como la existencia de funciones exponenciales iteradas , que no pueden demostrarse en esta teoría.