Sistema de coordenadas polares

Agregar cualquier número de vueltas completas (360°) a la coordenada angular no cambia la dirección correspondiente. De manera similar, cualquier coordenada polar es idéntica a la coordenada con la componente radial negativa y la dirección opuesta (sumando 180° al ángulo polar). Por lo tanto, el mismo punto${\displaystyle (r,\varphi )}$puede expresarse con un número infinito de coordenadas polares diferentes${\displaystyle (r,\varphi +n\times 360^{\circ })}$y${\displaystyle (-r,\varphi +180^{\circ }+n\times 360^{\circ })=(-r,\varphi +(2n+1)\times 180^{\circ })}$, dónde${\displaystyle n}$es un entero arbitrario . ^{[ 13 ]} Además, el polo mismo puede expresarse como${\displaystyle (0,\varphi )}$para cualquier ángulo${\displaystyle \varphi }$. ^{[ 14 ]}

Cuando se necesita una representación única para cualquier punto que no sea el polo, es habitual limitar${\displaystyle r}$a números positivos (${\displaystyle r>0}$) y${\displaystyle \varphi }$a cualquiera de los intervalos${\displaystyle [0,360^{\circ })}$o el intervalo${\displaystyle (-180^{\circ },180^{\circ }]}$, que en radianes son${\displaystyle [0,2\pi )}$o${\displaystyle (-\pi ,\pi ]}$. ^{[ 15 ]} Otra convención, en referencia al codominio usual de la función arcotangente , es permitir valores reales no nulos arbitrarios de la componente radial y restringir el ángulo polar a${\displaystyle (-90^{\circ },90^{\circ }]}$En todos los casos, un acimut único para el polo.${\displaystyle r=0}$debe elegirse, por ejemplo,${\displaystyle \varphi =0}$.

Ilustración de un número complejo z representado en el plano complejo.

Ilustración de un número complejo representado en el plano complejo mediante la fórmula de Euler.

Un número complejo consta de números reales.${\displaystyle x}$y${\displaystyle y}$, así como un número imaginario${\displaystyle i^{2}=-1}$, que se puede escribir como${\displaystyle z=x+iy}$Todo número complejo representa un punto en el plano complejo , por lo que puede expresarse especificando las coordenadas cartesianas del punto (denominadas forma rectangular o cartesiana) o las coordenadas polares del punto (denominadas forma polar). ^{[ 17 ]}

En forma polar, la distancia${\displaystyle r}$y coordenada angular${\displaystyle \varphi }$A menudo se hace referencia a la magnitud del módulo y al argumento del número , respectivamente. Esto se puede obtener a partir de un número complejo.${\displaystyle z=x+iy}$, representada en forma rectangular como, en forma polar, sustituyendo${\displaystyle x=r\cos \varphi }$y${\displaystyle y=r\sin \varphi }$: ^{[ 17 ]}$${\displaystyle z=r(\cos \varphi +i\sin \varphi )=re^{i\varphi }.}$$ La última expresión se deriva de la fórmula de Euler , donde${\displaystyle e}$es el número de Euler aproximadamente 2,718, y${\displaystyle \varphi }$— expresado en radianes — es el valor principal de la función de número complejo arg aplicada a${\displaystyle z=x+iy}$. ^{[ 18 ]} Para convertir entre las formas rectangular y polar de un número complejo, se pueden utilizar las fórmulas de conversión dadas anteriormente. Equivalentes son las funciones cis : una función denota${\displaystyle \cos \varphi +i\sin \varphi }$— y notaciones de ángulos : $${\displaystyle z=r\operatorname {\mathrm {cis} } \varphi =r\angle \varphi .}$$

Para las operaciones de multiplicación , división , potenciación y extracción de raíces de números complejos, generalmente es mucho más sencillo trabajar con números complejos expresados ​​en forma polar que en forma rectangular. De las leyes de la potenciación:

• Multiplicación:${\displaystyle r_{0}e^{i\varphi _{0}}\,r_{1}e^{i\varphi _{1}}=r_{0}r_{1}e^{i\left(\varphi _{0}+\varphi _{1}\right)}}$
• División:${\displaystyle {\frac {r_{0}e^{i\varphi _{0}}}{r_{1}e^{i\varphi _{1}}}}={\frac {r_{0}}{r_{1}}}e^{i(\varphi _{0}-\varphi _{1})}}$
• Exponenciación o fórmula de Moivre :${\displaystyle \left(re^{i\varphi }\right)^{n}=r^{n}e^{in\varphi }}$
• Extracción de raíz o raíz principal:${\displaystyle {\sqrt[{n}]{re^{i\varphi }}}={\sqrt[{n}]{r}}e^{i\varphi \over n}}$

La ecuación general para un círculo con centro en${\displaystyle (r_{0},\gamma )}$y el radio a es $${\displaystyle r^{2}-2rr_{0}\cos(\varphi -\gamma )+r_{0}^{2}=a^{2}.}$$

Esto se puede simplificar de varias maneras para ajustarse a casos más específicos, como la ecuación $${\displaystyle r(\varphi )=a}$$ para un círculo con centro en el polo y radio a . ^{[ 19 ]}

Cuando r ₀ = a o el origen se encuentra en el círculo, la ecuación se convierte en $${\displaystyle r=2a\cos(\varphi -\gamma ).}$$

En el caso general, la ecuación se puede resolver para r , obteniendo: $${\displaystyle r=r_{0}\cos(\varphi -\gamma )+{\sqrt {a^{2}-r_{0}^{2}\sin ^{2}(\varphi -\gamma )}}}$$ La solución con un signo menos delante de la raíz cuadrada da la misma curva.

Una sección cónica con un foco en el polo y el otro en algún punto del rayo de 0° (de modo que el eje mayor de la cónica se encuentra a lo largo del eje polar) viene dada por: $${\displaystyle r={\ell \over {1-\epsilon \cos \varphi }}}$$ dónde${\displaystyle \epsilon }$es la excentricidad y${\displaystyle \ell }$es el semi-lato recto (la distancia perpendicular en un foco desde el eje mayor hasta la curva). Si${\displaystyle \epsilon >1}$, esta ecuación define una hipérbola ; si${\displaystyle \epsilon =1}$, define una parábola ; y si${\displaystyle \epsilon <1}$, define una elipse . El caso especial${\displaystyle \epsilon =0}$de este último resulta en un círculo del radio${\displaystyle \ell }$.

Las líneas radiales (las que pasan por el polo) están representadas por la ecuación $${\displaystyle \varphi =\gamma ,}$$ dónde${\displaystyle \gamma }$es el ángulo de elevación de la línea; es decir,${\displaystyle \varphi =\arctan m}$, dónde${\displaystyle m}$es la pendiente de la línea en el sistema de coordenadas cartesianas. La línea no radial que cruza la línea radial${\displaystyle \varphi =\gamma }$perpendicularmente en el punto${\displaystyle (r_{0},\gamma )}$tiene la ecuación $${\displaystyle r(\varphi )=r_{0}\sec(\varphi -\gamma ).}$$

En contrario se indica${\displaystyle (r_{0},\gamma )}$es el punto en el que la tangente interseca el círculo imaginario de radio${\displaystyle r_{0}}$

Una rosa polar es una curva matemática que se parece a una flor con pétalos y que puede expresarse como una de dos ecuaciones polares distintas: ^{[ 20 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}r(\varphi )&=a\sin \left(k\varphi \right),\\r(\varphi )&=a\cos \left(k\varphi \right).\end{aligned}}}$$ Las formas coseno y seno no son equivalentes, pero la diferencia es solo una rotación de la curva resultante. Ambas son casos especiales de r ( φ ) = a cos( kφ + γ ) , donde γ determina la fase y, equivalentemente, la rotación. Si k es un entero, estas ecuaciones producirán una rosa de k pétalos si k es impar , o una rosa de 2 k pétalos si k es par. ^{[ 21 ]} Si k es racional, pero no un entero, puede formarse una forma similar a una rosa, pero con pétalos superpuestos. Nótese que estas ecuaciones nunca definen una rosa con 2, 6, 10, 14, etc. pétalos. La variable a representa directamente la longitud o amplitud de los pétalos de la rosa, mientras que k se relaciona con su frecuencia espacial .

La espiral de Arquímedes es una espiral descubierta por Arquímedes , que también puede expresarse como una ecuación polar simple. Está representada por la ecuación $${\displaystyle r(\varphi )=a+b\varphi .}$$ Al cambiar el parámetro a, se gira la espiral, mientras que b controla la distancia entre los brazos, que para una espiral dada siempre es constante. La espiral de Arquímedes tiene dos brazos, uno para φ > 0 y otro para φ < 0. Ambos brazos se unen suavemente en el polo. Si a = 0 , al tomar la imagen especular de un brazo sobre la línea de 90°/270° se obtiene el otro brazo. Esta curva destaca por ser una de las primeras, después de las secciones cónicas , en ser descrita en un tratado matemático, y como un ejemplo paradigmático de una curva que se define mejor mediante una ecuación polar.

Una cuadratriz en el primer cuadrante${\displaystyle (x,y)}$es una curva con${\displaystyle y=\rho \sin \theta }$igual a la fracción del cuarto de círculo con radio${\displaystyle r}$determinado por el radio que pasa por el punto de la curva. Dado que esta fracción es: ^{[ 22 ]}${\textstyle {\frac {2r\theta }{\pi }}}$, la curva viene dada por$${\displaystyle \rho (\theta )={\frac {2r\theta }{\pi \sin \theta }}.}$$

Las gráficas de dos funciones polares${\displaystyle r=f(\theta )}$y${\displaystyle r=g(\theta )}$pueden tener intersecciones de tres tipos:

1. En el origen, si las ecuaciones${\displaystyle f(\theta )=0}$y${\displaystyle g(\theta )=0}$Cada uno debe tener al menos una solución.
2. Todos los puntos${\displaystyle [g(\theta _{i}),\theta _{i}]}$dónde${\displaystyle \theta _{i}}$son soluciones de la ecuación${\displaystyle f(\theta +2k\pi )=g(\theta )}$dónde${\displaystyle k}$es un número entero.
3. Todos los puntos${\displaystyle [g(\theta _{i}),\theta _{i}]}$dónde${\displaystyle \theta _{i}}$son soluciones de la ecuación${\displaystyle f(\theta +(2k+1)\pi )=-g(\theta )}$dónde${\displaystyle k}$es un número entero.

Utilizando x = r cos φ e y = r sin φ , se puede derivar una relación entre derivadas en coordenadas cartesianas y polares. Para una función dada, u ( x , y ), se deduce que (calculando sus derivadas totales ) o $${\displaystyle {\begin{aligned}r{\frac {du}{dr}}&=r{\frac {\partial u}{\partial x}}\cos \varphi +r{\frac {\partial u}{\partial y}}\sin \varphi =x{\frac {\partial u}{\partial x}}+y{\frac {\partial u}{\partial y}},\\[2pt]{\frac {du}{d\varphi }}&=-{\frac {\partial u}{\partial x}}r\sin \varphi +{\frac {\partial u}{\partial y}}r\cos \varphi =-y{\frac {\partial u}{\partial x}}+x{\frac {\partial u}{\partial y}}.\end{aligned}}}$$

Por lo tanto, tenemos la siguiente fórmula: $${\displaystyle {\begin{aligned}r{\frac {d}{dr}}&=x{\frac {\partial }{\partial x}}+y{\frac {\partial }{\partial y}}\\[2pt]{\frac {d}{d\varphi }}&=-y{\frac {\partial }{\partial x}}+x{\frac {\partial }{\partial y}}.\end{aligned}}}$$

Utilizando la transformación de coordenadas inversas, se puede derivar una relación recíproca análoga entre las derivadas. Dada una función u ( r , φ ), se deduce que $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {du}{dx}}&={\frac {\partial u}{\partial r}}{\frac {\partial r}{\partial x}}+{\frac {\partial u}{\partial \varphi }}{\frac {\partial \varphi }{\partial x}},\\[2pt]{\frac {du}{dy}}&={\frac {\partial u}{\partial r}}{\frac {\partial r}{\partial y}}+{\frac {\partial u}{\partial \varphi }}{\frac {\partial \varphi }{\partial y}},\end{aligned}}}$$ o $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {du}{dx}}&={\frac {\partial u}{\partial r}}{\frac {x}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}-{\frac {\partial u}{\partial \varphi }}{\frac {y}{x^{2}+y^{2}}}\\[2pt]&=\cos \varphi {\frac {\partial u}{\partial r}}-{\frac {1}{r}}\sin \varphi {\frac {\partial u}{\partial \varphi }},\\[2pt]{\frac {du}{dy}}&={\frac {\partial u}{\partial r}}{\frac {y}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}+{\frac {\partial u}{\partial \varphi }}{\frac {x}{x^{2}+y^{2}}}\\[2pt]&=\sin \varphi {\frac {\partial u}{\partial r}}+{\frac {1}{r}}\cos \varphi {\frac {\partial u}{\partial \varphi }}.\end{aligned}}}$$

Por lo tanto, tenemos las siguientes fórmulas: $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}&=\cos \varphi {\frac {\partial }{\partial r}}-{\frac {1}{r}}\sin \varphi {\frac {\partial }{\partial \varphi }}\\[2pt]{\frac {d}{dy}}&=\sin \varphi {\frac {\partial }{\partial r}}+{\frac {1}{r}}\cos \varphi {\frac {\partial }{\partial \varphi }}.\end{aligned}}}$$

Para hallar la pendiente cartesiana de la línea tangente a una curva polar r ( φ ) en cualquier punto dado, la curva se expresa primero como un sistema de ecuaciones paramétricas . $${\displaystyle {\begin{aligned}x&=r(\varphi )\cos \varphi \\y&=r(\varphi )\sin \varphi \end{aligned}}}$$

Al diferenciar ambas ecuaciones con respecto a φ se obtiene $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dx}{d\varphi }}&=r'(\varphi )\cos \varphi -r(\varphi )\sin \varphi \\[2pt]{\frac {dy}{d\varphi }}&=r'(\varphi )\sin \varphi +r(\varphi )\cos \varphi .\end{aligned}}}$$

Dividiendo la segunda ecuación por la primera se obtiene la pendiente cartesiana de la recta tangente a la curva en el punto${\displaystyle (r(\varphi ),\varphi )}$: ^{[ 25 ]}$${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {r'(\varphi )\sin \varphi +r(\varphi )\cos \varphi }{r'(\varphi )\cos \varphi -r(\varphi )\sin \varphi }}.}$$

Para otras fórmulas útiles, incluidas la divergencia, el gradiente y el laplaciano en coordenadas polares, consulte coordenadas curvilíneas .

El cálculo vectorial también se puede aplicar a coordenadas polares. Para un movimiento planar, sea${\displaystyle \mathbf {r} }$Sea el vector de posición ( r cos( φ ), r sin( φ )) , con r y φ dependiendo del tiempo t .

Definimos una base ortonormal con tres vectores unitarios: direcciones radial, transversal y normal . La dirección radial se define normalizando${\displaystyle \mathbf {r} }$: $${\displaystyle {\hat {\mathbf {r} }}=(\cos(\varphi ),\sin(\varphi ))}$$Las direcciones radial y de velocidad abarcan el plano de movimiento , cuya dirección normal se denota${\displaystyle {\hat {\mathbf {k} }}}$: $${\displaystyle {\hat {\mathbf {k} }}={\hat {\mathbf {v} }}\times {\hat {\mathbf {r} }}.}$$ La dirección transversal es perpendicular tanto a la dirección radial como a la dirección normal: $${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {\varphi }}}=(-\sin(\varphi ),\cos(\varphi ))={\hat {\mathbf {k} }}\times {\hat {\mathbf {r} }}\ ,}$$

Entonces, la posición y la velocidad se pueden expresar de la siguiente manera: $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {r} &=(x,\ y)=r(\cos \varphi ,\ \sin \varphi )=r{\hat {\mathbf {r} }}\ ,\\[1.5ex]{\dot {\mathbf {r} }}&=\left({\dot {x}},\ {\dot {y}}\right)={\dot {r}}(\cos \varphi ,\ \sin \varphi )+r{\dot {\varphi }}(-\sin \varphi ,\ \cos \varphi )={\dot {r}}{\hat {\mathbf {r} }}+r{\dot {\varphi }}{\hat {\boldsymbol {\varphi }}}\ ,\\[1.5ex]\end{aligned}}}$$ con la velocidad angular${\displaystyle {\dot {\varphi }}}$necesariamente en radianes por segundo (o múltiplos de estos), no en grados por segundo. La aceleración se puede expresar como: $${\displaystyle {\begin{aligned}{\ddot {\mathbf {r} }}&=\left({\ddot {x}},\ {\ddot {y}}\right)\\[1ex]&={\ddot {r}}(\cos \varphi ,\ \sin \varphi )+2{\dot {r}}{\dot {\varphi }}(-\sin \varphi ,\ \cos \varphi )+r{\ddot {\varphi }}(-\sin \varphi ,\ \cos \varphi )-r{\dot {\varphi }}^{2}(\cos \varphi ,\ \sin \varphi )\\[1ex]&=\left({\ddot {r}}-r{\dot {\varphi }}^{2}\right){\hat {\mathbf {r} }}+\left(r{\ddot {\varphi }}+2{\dot {r}}{\dot {\varphi }}\right){\hat {\boldsymbol {\varphi }}}\\[1ex]&=\left({\ddot {r}}-r{\dot {\varphi }}^{2}\right){\hat {\mathbf {r} }}+{\frac {1}{r}}\;{\frac {d}{dt}}\left(r^{2}{\dot {\varphi }}\right){\hat {\boldsymbol {\varphi }}}.\end{aligned}}}$$ Esta ecuación se puede obtener tomando la derivada de la función y las derivadas de los vectores base unitarios.

Para una curva en 2D donde el parámetro es${\displaystyle \theta }$Las ecuaciones anteriores se simplifican a: $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {r} &=r(\theta ){\hat {\mathbf {e} }}_{r}\\[1ex]{\frac {d\mathbf {r} }{d\theta }}&={\frac {dr}{d\theta }}{\hat {\mathbf {e} }}_{r}+r{\hat {\mathbf {e} }}_{\theta }\\[1ex]{\frac {d^{2}\mathbf {r} }{d\theta ^{2}}}&=\left({\frac {d^{2}r}{d\theta ^{2}}}-r\right){\hat {\mathbf {e} }}_{r}+2{\frac {dr}{d\theta }}{\hat {\mathbf {e} }}_{\theta }\end{aligned}}}$$

Términos centrífugos y de Coriolis

El término${\displaystyle r{\dot {\varphi }}^{2}}$a veces se la denomina aceleración centrípeta , y el término${\displaystyle 2{\dot {r}}{\dot {\varphi }}}$como la aceleración de Coriolis . Por ejemplo, véase Shankar. ^{[ 26 ]} Estos términos, que aparecen cuando la aceleración se expresa en coordenadas polares, son una consecuencia matemática de la diferenciación; aparecen siempre que se utilizan coordenadas polares. En la dinámica de partículas planas, estas aceleraciones aparecen al establecer la segunda ley del movimiento de Newton en un sistema de referencia giratorio. Aquí, estos términos adicionales se denominan a menudo fuerzas ficticias ; ficticias porque son simplemente el resultado de un cambio en el sistema de coordenadas. Esto no significa que no existan; más bien, existen solo en el sistema de referencia giratorio.

El vector de posición r siempre apunta radialmente desde el origen.

Vector de velocidad v , siempre tangente a la trayectoria del movimiento.

Vector de aceleración a , no paralelo al movimiento radial sino desplazado por las aceleraciones angular y de Coriolis, ni tangente a la trayectoria sino desplazado por las aceleraciones centrípeta y radial.

Vectores cinemáticos en coordenadas polares planas. Nótese que la configuración no se limita al espacio bidimensional, sino que puede aplicarse a un plano en cualquier dimensión superior.

Marco de rotación conjunta

Para una partícula en movimiento planar, un enfoque para atribuir significado físico a estos términos se basa en el concepto de un marco de referencia corrotante instantáneo . ^{[ 27 ]} Para definir un marco de referencia corrotante , primero se selecciona un origen desde el cual se define la distancia r ( t ) a la partícula. Se establece un eje de rotación que es perpendicular al plano de movimiento de la partícula y pasa por este origen. Luego, en el instante seleccionado t , la velocidad angular del marco corrotante Ω se hace coincidir con la velocidad de rotación de la partícula alrededor de este eje, dφ / dt . A continuación, los términos en la aceleración en el marco inercial se relacionan con aquellos en el marco corrotante.

Sea la posición de la partícula en el sistema de referencia inercial ( r ( t ), φ ( t )), y en el sistema de referencia corrotante ( r ′ (t), φ ′ (t)). Dado que el sistema de referencia corrotante gira a la misma velocidad que la partícula, dφ ′/ dt = 0. La fuerza centrífuga ficticia en el sistema de referencia corrotante es mr Ω² , radialmente hacia afuera. La velocidad de la partícula en el sistema de referencia corrotante también es radialmente hacia afuera, porque dφ ′/ dt = 0. Por lo tanto ^, la fuerza de Coriolis ficticia tiene un valor de −2 m ( dr / dt )Ω, apuntando únicamente en la dirección de φ creciente . Así, utilizando estas fuerzas en la segunda ley de Newton, encontramos: $${\displaystyle \mathbf {F} +\mathbf {F} _{\text{cf}}+\mathbf {F} _{\text{Cor}}=m{\ddot {\mathbf {r} }}\,,}$$ donde los puntos suspensivos representan derivadas con respecto al tiempo, y F es la fuerza real neta (en contraposición a las fuerzas ficticias). En términos de componentes, esta ecuación vectorial se convierte en: $${\displaystyle {\begin{aligned}F_{r}+mr\Omega ^{2}&=m{\ddot {r}}\\F_{\varphi }-2m{\dot {r}}\Omega &=mr{\ddot {\varphi }}\ ,\end{aligned}}}$$ que pueden compararse con las ecuaciones para el sistema de referencia inercial: $${\displaystyle {\begin{aligned}F_{r}&=m{\ddot {r}}-mr{\dot {\varphi }}^{2}\\F_{\varphi }&=mr{\ddot {\varphi }}+2m{\dot {r}}{\dot {\varphi }}\ .\end{aligned}}}$$

Esta comparación, más el reconocimiento de que por definición el marco corrotante en el tiempo t tiene una velocidad de rotación Ω = dφ / dt , muestra que podemos interpretar los términos en la aceleración (multiplicada por la masa de la partícula) tal como se encuentran en el marco inercial como el negativo de las fuerzas centrífuga y de Coriolis que se verían en el marco corrotante instantáneo no inercial.

Para el movimiento general de una partícula (a diferencia del movimiento circular simple), las fuerzas centrífuga y de Coriolis en el sistema de referencia de la partícula se suelen referir al círculo osculador instantáneo de su movimiento, no a un centro fijo de coordenadas polares. Para más detalles, véase fuerza centrípeta .

El sistema de coordenadas cilíndricas es un sistema de coordenadas que esencialmente extiende el sistema de coordenadas polares bidimensional añadiendo una tercera coordenada que mide la altura de un punto sobre el plano, de forma similar a como el sistema de coordenadas cartesianas se extiende a tres dimensiones. La tercera coordenada se denota${\displaystyle z}$, haciendo las tres coordenadas cilíndricas${\displaystyle (r,\theta ,z)}$Por lo tanto, las tres coordenadas cilíndricas se pueden convertir a coordenadas cartesianas mediante $${\displaystyle {\begin{aligned}x&=r\,\cos \theta \\y&=r\,\sin \theta \\z&=z.\end{aligned}}}$$

Las coordenadas polares también pueden extenderse a tres dimensiones utilizando las coordenadas (ρ, φ, θ), donde ρ es la distancia al polo, φ es el ángulo con respecto al eje z (llamado colatitud o cenit y medido de 0 a 180°), y θ es el ángulo con respecto al eje x (como en las coordenadas polares). Este sistema de coordenadas, llamado sistema de coordenadas esféricas , es similar al sistema de latitud y longitud utilizado para la Tierra, donde la latitud δ es el complemento de φ, determinado por δ = 90° − φ, y la longitud l se mide por l = θ − 180°. ^{[ 28 ]}

Las tres coordenadas esféricas se convierten a coordenadas cartesianas mediante

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=\rho \,\sin \varphi \,\cos \theta \\y&=\rho \,\sin \varphi \,\sin \theta \\z&=\rho \,\cos \varphi .\end{aligned}}}$

Las coordenadas polares se utilizan con frecuencia en navegación , ya que el destino o la dirección de viaje se pueden expresar como un ángulo y una distancia desde el objeto en cuestión. Por ejemplo, las aeronaves utilizan una versión ligeramente modificada de las coordenadas polares para la navegación. En este sistema, el que se usa generalmente para cualquier tipo de navegación, el rayo de 0° se denomina generalmente rumbo 360, y los ángulos continúan en sentido horario, en lugar de antihorario, como en el sistema matemático. El rumbo 360 corresponde al norte magnético , mientras que los rumbos 90, 180 y 270 corresponden al este, sur y oeste magnéticos, respectivamente. ^{[ 29 ]} Por lo tanto, una aeronave que viaja 5 millas náuticas hacia el este viajará 5 unidades con rumbo 90 (leído como cero-nueve-cero por el control de tráfico aéreo ). ^{[ 30 ]}

Los sistemas que presentan simetría radial constituyen un entorno natural para el sistema de coordenadas polares, donde el punto central actúa como polo. Un ejemplo paradigmático de este uso es la ecuación del flujo de agua subterránea aplicada a pozos con simetría radial. Los sistemas con una fuerza radial también son buenos candidatos para el uso del sistema de coordenadas polares. Estos sistemas incluyen campos gravitatorios , que obedecen la ley del inverso del cuadrado , así como sistemas con fuentes puntuales , como las antenas de radio .

Los sistemas radialmente asimétricos también pueden modelarse con coordenadas polares. Por ejemplo, el patrón de captación de un micrófono ilustra su respuesta proporcional a un sonido incidente desde una dirección determinada, y estos patrones pueden representarse como curvas polares. La curva para un micrófono cardioide estándar, el micrófono unidireccional más común, puede representarse como r = 0,5 + 0,5sin( ϕ ) en su frecuencia de diseño objetivo. ^{[ 31 ]} El patrón se desplaza hacia la omnidireccionalidad a frecuencias más bajas.

• Adams, Robert; Christopher Essex (2013). Cálculo: un curso completo (Octava  ed.). Pearson Canada Inc. ISBN 978-0-321-78107-9.
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