Aproximaciones de pi

1. En agosto de 2009, una supercomputadora japonesa llamada T2K Open Supercomputer duplicó con creces el récord anterior al calcular π con aproximadamente 2,6 billones de dígitos en aproximadamente 73 horas y 36 minutos.
2. En diciembre de 2009, Fabrice Bellard utilizó un ordenador doméstico para calcular 2,7 billones de dígitos decimales de π . Los cálculos se realizaron en base 2 (binario) y, posteriormente, el resultado se convirtió a base 10 (decimal). Los pasos de cálculo, conversión y verificación duraron un total de 131 días. ^{[ 42 ]}
3. En agosto de 2010, Shigeru Kondo utilizó el y-cruncher de Alexander Yee para calcular 5 billones de dígitos de π . Este fue el récord mundial para cualquier tipo de cálculo, pero significativamente se realizó en una computadora doméstica construida por Kondo. ^{[ 43 ]} El cálculo se realizó entre el 4 de mayo y el 3 de agosto, y las verificaciones primaria y secundaria tomaron 64 y 66 horas respectivamente. ^{[ 44 ]}
4. En octubre de 2011, Shigeru Kondo batió su propio récord al calcular diez billones (10¹³ ⁾ y cincuenta dígitos utilizando el mismo método pero con un hardware mejor. ^{[ 45 ] [ 46 ]}
5. En diciembre de 2013, Kondo batió su propio récord por segunda vez al calcular 12,1 billones de dígitos de π . ^{[ 47 ]}
6. En octubre de 2014, Sandon Van Ness, bajo el seudónimo de "houkouonchi", utilizó y-cruncher para calcular 13,3 billones de dígitos de π . ^{[ 48 ]}
7. ^{En noviembre de} 2016, Peter Trueb y sus patrocinadores calcularon en y-cruncher y verificaron completamente 22,4 billones de dígitos de π (22.459.157.718.361 ( π ^e  ×  10¹² )). ^{[ 49 ]} El cálculo tardó (con tres interrupciones) 105 días en completarse, ^{[ 48 ]} siendo la limitación para una mayor expansión principalmente el espacio de almacenamiento. ^{[ 47 ]}
8. En marzo de 2019, Emma Haruka Iwao , empleada de Google , calculó 31,4 billones de dígitos de pi (aproximadamente 10 π ) utilizando y-cruncher y máquinas de Google Cloud . Esto le llevó 121 días. ^{[ 50 ]}
9. En enero de 2020, Timothy Mullican anunció el cálculo de 50 billones de dígitos en 303 días. ^{[ 51 ] [ 52 ]}
10. El 14 de agosto de 2021, un equipo (DAViS) de la Universidad de Ciencias Aplicadas de los Grisones anunció la finalización del cálculo de π hasta 62,8 (aproximadamente 20 π ) billones de dígitos. ^{[ 53 ] [ 54 ]}
11. El 8 de junio de 2022, Emma Haruka Iwao anunció en el blog de Google Cloud el cálculo de 100 billones (10¹⁴ ⁾ de dígitos de π durante 158 días utilizando el y-cruncher de Alexander Yee . ^{[ 55 ]}
12. El 14 de marzo de 2024, Jordan Ranous, Kevin O'Brien y Brian Beeler calcularon π con 105 billones de dígitos, también utilizando y-cruncher. ^{[ 56 ]}
13. El 28 de junio de 2024, el equipo de StorageReview calculó π con 202 billones de dígitos, también utilizando y-cruncher. ^{[ 57 ]}
14. El 2 de abril de 2025, Linus Media Group y Kioxia calcularon π con 300 billones de dígitos, también utilizando y-cruncher. ^{[ 58 ]}
15. El 11 de diciembre de 2025, el registro fue devuelto al equipo de StorageReview , después de que calcularan π con 314 billones de dígitos, nuevamente usando y-cruncher. ^{[ 2 ]}

El llamado "Proyecto de Ley Pi de Indiana" de 1897 se ha caracterizado a menudo como un intento de "legislar el valor de Pi". En realidad, el proyecto de ley trataba una supuesta solución al problema de " cuadrar el círculo " geométricamente. ^{[ 62 ]}

El proyecto de ley estuvo a punto de ser aprobado por la Asamblea General de Indiana en los EE. UU., y se ha afirmado que implica varios valores diferentes para π , aunque lo más cerca que llega a afirmar explícitamente uno es la redacción "la relación del diámetro y la circunferencia es como cinco cuartos a cuatro", lo que haría que π = 16 / 5 = 3,2 , una discrepancia de casi el 2 por ciento. Un profesor de matemáticas que casualmente estaba presente el día en que el proyecto de ley fue presentado para su consideración en el Senado, después de que hubiera sido aprobado en la Cámara, ayudó a detener la aprobación del proyecto de ley en su segunda lectura, luego de lo cual la asamblea lo ridiculizó completamente antes de posponerlo indefinidamente .

A veces se afirma que la Biblia hebrea implica que " π es igual a tres", basándose en un pasaje de 1 Reyes 7:23 y 2 Crónicas 4:2 que da medidas para la pila redonda ubicada frente al Templo en Jerusalén , la cual tiene un diámetro de 10 codos y una circunferencia de 30 codos.

El tema se discute en el Talmud y en la literatura rabínica . ^{[ 63 ]} Entre las muchas explicaciones y comentarios se encuentran los siguientes:

• El rabino Nehemías explicó esto en su Mishnat ha-Middot (el texto hebreo más antiguo conocido sobre geometría , ca. 150 d. C.) diciendo que el diámetro se medía desde el borde exterior mientras que la circunferencia se medía a lo largo del borde interior . Esta interpretación implica un borde de aproximadamente 0,225 codos (o, suponiendo un "codo" de 18 pulgadas, unas 4  pulgadas), o un " abrazo y un tercio " de espesor (cf. NRSV y NRSV ).
• Maimónides afirma (hacia 1168 d. C.) que π solo puede conocerse de forma aproximada, por lo que el valor 3 se consideró suficientemente preciso para fines religiosos. Algunos ^{[ 64 ]} consideran esto como la primera afirmación de que π es irracional.

Todavía existe cierto debate sobre este pasaje en la erudición bíblica. ^{[ 65 ] [ 66 ]} Muchas reconstrucciones de la palangana muestran un borde más ancho (o labio acampanado) que se extiende hacia afuera del propio cuenco por varias pulgadas para coincidir con la descripción dada en la NRSV ^{[ 67 ]} En los versículos siguientes, el borde se describe como "de un palmo de grosor; y su borde estaba labrado como el borde de una copa, como la flor de un lirio: recibía y contenía tres mil batos" NRSV , lo que sugiere una forma que puede ser rodeada por una cuerda más corta que la longitud total del borde, por ejemplo, una flor de Lilium o una taza de té .

Arquímedes, en su obra Medición de un círculo , creó el primer algoritmo para el cálculo de π basado en la idea de que el perímetro de cualquier polígono (convexo) inscrito en un círculo es menor que la circunferencia del círculo, que, a su vez, es menor que el perímetro de cualquier polígono circunscrito. Comenzó con hexágonos regulares inscritos y circunscritos, cuyos perímetros se determinan fácilmente. Luego muestra cómo calcular los perímetros de polígonos regulares con el doble de lados que están inscritos y circunscritos alrededor del mismo círculo. Este es un procedimiento recursivo que hoy se describiría de la siguiente manera: Sean p _k y P _k los perímetros de polígonos regulares de k lados que están inscritos y circunscritos alrededor del mismo círculo, respectivamente. Entonces,

${\displaystyle P_{2n}={\frac {2p_{n}P_{n}}{p_{n}+P_{n}}},\quad \quad p_{2n}={\sqrt {p_{n}P_{2n}}}.}$

Arquímedes utiliza esto para calcular sucesivamente P ₁₂ , p ₁₂ , P ₂₄ , p ₂₄ , P ₄₈ , p ₄₈ , P ₉₆ y p ₉₆ . ^{[ 68 ]} Usando estos últimos valores obtiene

${\displaystyle 3{\frac {10}{71}}<\pi <3{\frac {1}{7}}.}$

Se desconoce por qué Arquímedes se detuvo en un polígono de 96 lados; basta con tener paciencia para extender los cálculos. Herón relata en su Métrica (alrededor del año 60 d. C.) que Arquímedes continuó el cálculo en un libro ahora perdido, pero luego le atribuye un valor incorrecto. ^{[ 69 ]}

Arquímedes no utiliza trigonometría en este cálculo, y la dificultad de aplicar el método radica en obtener buenas aproximaciones para las raíces cuadradas involucradas. Probablemente, Claudio Ptolomeo de Alejandría utilizó trigonometría, en forma de tabla de longitudes de cuerdas en un círculo, para obtener el valor de π que aparece en el Almagesto (alrededor del año 150 d. C.). ^{[ 70 ]}

Los avances en la aproximación de π (cuando se conocen los métodos) se lograron aumentando el número de lados de los polígonos utilizados en el cálculo. Una mejora trigonométrica de Willebrord Snell (1621) obtiene mejores cotas a partir de un par de cotas obtenidas mediante el método del polígono. De este modo, se obtuvieron resultados más precisos a partir de polígonos con menos lados. ^{[ 71 ]} La fórmula de Viète , publicada por François Viète en 1593, fue derivada por Viète utilizando un método poligonal estrechamente relacionado, pero con áreas en lugar de perímetros de polígonos cuyos números de lados son potencias de dos. ^{[ 72 ]}

El último intento importante de calcular π mediante este método fue realizado por Grienberger en 1630, quien calculó 39 cifras decimales de π utilizando el refinamiento de Snell. ^{[ 71 ]}

Para cálculos rápidos, se pueden utilizar fórmulas como la de Machin :

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=4\arctan {\frac {1}{5}}-\arctan {\frac {1}{239}}}$

junto con el desarrollo en serie de Taylor de la función arctan ( x ). Esta fórmula se verifica más fácilmente utilizando coordenadas polares de números complejos , lo que produce:

${\displaystyle (5+i)^{4}\cdot (239-i)=2^{2}\cdot 13^{4}(1+i).}$

((x ),( y) = {239, 13 ² } es una solución a la ecuación de Pell x ²  −  2 y ² =  −1.)

Las fórmulas de este tipo se conocen como fórmulas tipo Machin . La fórmula particular de Machin se utilizó hasta bien entrada la era de la informática para calcular números récord de dígitos de π , ^{[ 40 ]} pero más recientemente también se han utilizado otras fórmulas similares.

Por ejemplo, Shanks y su equipo utilizaron la siguiente fórmula tipo Machin en 1961 para calcular los primeros 100.000 dígitos de π : ^{[ 40 ]}

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=6\arctan {\frac {1}{8}}+2\arctan {\frac {1}{57}}+\arctan {\frac {1}{239}}}$

y utilizaron otra fórmula similar a la de Machin,

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=12\arctan {\frac {1}{18}}+8\arctan {\frac {1}{57}}-5\arctan {\frac {1}{239}}}$

como cheque.

El récord alcanzado en diciembre de 2002 por Yasumasa Kanada de la Universidad de Tokio era de 1.241.100.000.000 dígitos. Para ello se utilizaron las siguientes fórmulas tipo Machin:

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=12\arctan {\frac {1}{49}}+32\arctan {\frac {1}{57}}-5\arctan {\frac {1}{239}}+12\arctan {\frac {1}{110443}}}$

K. Takano (1982).

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=44\arctan {\frac {1}{57}}+7\arctan {\frac {1}{239}}-12\arctan {\frac {1}{682}}+24\arctan {\frac {1}{12943}}}$

FCM Størmer (1896).

Otras fórmulas que se han utilizado para calcular estimaciones de π incluyen:

Liu Hui (véase también la fórmula de Viète ):

${\displaystyle {\begin{aligned}\pi &\approx 768{\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+1}}}}}}}}}}}}}}}}}}\\&\approx 3.14159046323.\end{aligned}}}$

Madhava :

${\displaystyle \pi ={\sqrt {12}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-3)^{-k}}{2k+1}}={\sqrt {12}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-{\frac {1}{3}})^{k}}{2k+1}}={\sqrt {12}}\left({1 \over 1\cdot 3^{0}}-{1 \over 3\cdot 3^{1}}+{1 \over 5\cdot 3^{2}}-{1 \over 7\cdot 3^{3}}+\cdots \right)}$

Transformación de convergencia de Newton /Euler: ^{[ 73 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}\arctan x&={\frac {x}{1+x^{2}}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(2k)!!\,x^{2k}}{(2k+1)!!\,(1+x^{2})^{k}}}={\frac {x}{1+x^{2}}}+{\frac {2}{3}}{\frac {x^{3}}{(1+x^{2})^{2}}}+{\frac {2\cdot 4}{3\cdot 5}}{\frac {x^{5}}{(1+x^{2})^{3}}}+\cdots \\[10mu]{\frac {\pi }{2}}&=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {k!}{(2k+1)!!}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\cfrac {2^{k}k!^{2}}{(2k+1)!}}=1+{\frac {1}{3}}\left(1+{\frac {2}{5}}\left(1+{\frac {3}{7}}\left(1+\cdots \right)\right)\right)\end{aligned}}}$

donde m!! es el doble factorial , el producto de los enteros positivos hasta m con la misma paridad .

Euler :

${\displaystyle {\pi }=20\arctan {\frac {1}{7}}+8\arctan {\frac {3}{79}}}$

(Evaluado utilizando la serie anterior para la función arcotangente ) .

Ramanujan :

${\displaystyle {\frac {1}{\pi }}={\frac {2{\sqrt {2}}}{9801}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(4k)!(1103+26390k)}{(k!)^{4}396^{4k}}}}$

David Chudnovsky y Grigory Chudnovsky :

${\displaystyle {\frac {1}{\pi }}=12\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}(6k)!(13591409+545140134k)}{(3k)!(k!)^{3}640320^{3k+3/2}}}}$

El trabajo de Ramanujan es la base del algoritmo de Chudnovsky , uno de los algoritmos más rápidos utilizados, desde principios de siglo, para calcular π .

Las expansiones decimales extremadamente largas de π se calculan típicamente con fórmulas iterativas como el algoritmo de Gauss-Legendre y el algoritmo de Borwein . Este último, descubierto en 1985 por Jonathan y Peter Borwein , converge extremadamente rápido:

Para${\displaystyle y_{0}={\sqrt {2}}-1,\ a_{0}=6-4{\sqrt {2}}}$y

${\displaystyle y_{k+1}=(1-f(y_{k}))/(1+f(y_{k}))~,~a_{k+1}=a_{k}(1+y_{k+1})^{4}-2^{2k+3}y_{k+1}(1+y_{k+1}+y_{k+1}^{2})}$

dónde${\displaystyle f(y)=(1-y^{4})^{1/4}}$, la secuencia${\displaystyle 1/a_{k}}$Converge cuárticamente a π , dando aproximadamente 100 dígitos en tres pasos y más de un billón de dígitos después de 20 pasos. Aunque la serie de Chudnovsky solo converge linealmente, el algoritmo de Chudnovsky podría ser más rápido que los algoritmos iterativos en la práctica; eso depende de factores tecnológicos como el tamaño de la memoria y los tiempos de acceso . ^{[ 74 ]} Para batir récords mundiales, los algoritmos iterativos se utilizan con menos frecuencia que el algoritmo de Chudnovsky, ya que requieren mucha memoria.

Los primeros un millón de dígitos de π y 1 / π están disponibles en el Proyecto Gutenberg . ^{[ 75 ] [ 76 ]} Un récord de cálculo anterior (diciembre de 2002) realizado por Yasumasa Kanada de la Universidad de Tokio fue de 1,24 billones de dígitos, calculados en septiembre de 2002 en una supercomputadora Hitachi de 64 nodos con 1 terabyte de memoria principal, que realiza 2 billones de operaciones por segundo, casi el doble que la computadora utilizada para el récord anterior (206 mil millones de dígitos). Para ello se utilizaron las siguientes fórmulas tipo Machin:

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=12\arctan {\frac {1}{49}}+32\arctan {\frac {1}{57}}-5\arctan {\frac {1}{239}}+12\arctan {\frac {1}{110443}}}$ ( Kikuo  Takano  (1982))

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=44\arctan {\frac {1}{57}}+7\arctan {\frac {1}{239}}-12\arctan {\frac {1}{682}}+24\arctan {\frac {1}{12943}}}$ ( F.  C.  M.  Størmer  (1896)).

Estas aproximaciones tienen tantos dígitos que ya no son de utilidad práctica, excepto para probar nuevas supercomputadoras. ^{[ 77 ]} Propiedades como la normalidad potencial de π siempre dependerán de la cadena infinita de dígitos al final, no de ningún cálculo finito.

Además de las fórmulas y aproximaciones como${\displaystyle {\tfrac {22}{7}}}$y${\displaystyle {\tfrac {355}{113}}}$Como se comenta en otra parte de este artículo, se han utilizado las siguientes expresiones para estimar π :

• Precisión de tres dígitos:$${\displaystyle {\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}=3.146^{+}.}$$Karl Popper conjeturó que Platón conocía esta expresión, que creía que era exactamente π , y que esto explica en parte la confianza de Platón en el poder universal de la geometría y su reiterada discusión sobre triángulos rectángulos especiales que son isósceles o mitades de triángulos equiláteros . ^{[ 78 ]}
• Precisión de cuatro dígitos:$${\displaystyle 1+e-\gamma =3.1410^{+},}$$dónde${\displaystyle e}$es la base del logaritmo natural y${\displaystyle \gamma }$es la constante de Euler y ^{[ 79 ]}$${\displaystyle {\sqrt[{3}]{31}}=3.1413^{+}.}$$
• Precisión de cuatro dígitos (o cinco cifras significativas ): ^{[ 80 ]}$${\displaystyle {\sqrt {7+{\sqrt {6+{\sqrt {5}}}}}}=3.1416^{+}.}$$
• Una aproximación de Ramanujan , precisa a 4 dígitos (o cinco cifras significativas): ^{[ 81 ]}$${\displaystyle {\frac {9}{5}}+{\sqrt {\frac {9}{5}}}=3.1416^{+}.}$$
• Precisión de cinco dígitos:$${\displaystyle {\frac {7^{7}}{4^{9}}}=3.14156^{+},}$$$${\displaystyle {\sqrt[{5}]{306}}=3.14155^{+},}$$y (por Kochański )$${\displaystyle {\sqrt {{40 \over 3}-2{\sqrt {3}}\ }}=3.14153^{+}.}$$
• con una precisión de seis dígitos: ^{[ 82 ]}$${\displaystyle \left(2-{\frac {\sqrt {2{\sqrt {2}}-2}}{2^{2}}}\right)^{2}=3.14159\ 6^{+}.}$$
• Precisión de ocho dígitos:

${\displaystyle \left({\frac {\sqrt {58}}{4}}-{\frac {37{\sqrt {2}}}{33}}\right)^{-1}={\frac {66{\sqrt {2}}}{33{\sqrt {29}}-148}}=3.14159\ 263^{+}}$^{[ 83 ]}

Este es el caso que no se puede obtener de la aproximación de Ramanujan (22). ^{[ 81 ]}

• con una precisión de nueve dígitos:

${\displaystyle {\sqrt[{4}]{3^{4}+2^{4}+{\frac {1}{2+({\frac {2}{3}})^{2}}}}}={\sqrt[{4}]{\frac {2143}{22}}}=3.14159\ 2652^{+}}$

Esto proviene de Ramanujan , quien supuestamente afirmó que la diosa de Namagiri se le apareció en un sueño y le reveló el verdadero valor de π . Por otro lado, también describe un método para obtener esta aproximación mediante una ingeniosa construcción geométrica. ^{[ 81 ]}

• con una precisión de diez dígitos (o once cifras significativas):$${\displaystyle {\sqrt[{193}]{\frac {10^{100}}{11222.11122}}}=3.14159\ 26536^{+}}$$Esta aproximación sigue la observación de que la potencia 193 de 1/ π produce la secuencia 1122211125... Reemplazar 5 por 2 completa la simetría sin reducir los dígitos correctos de π , mientras que insertar un punto decimal central fija notablemente la magnitud correspondiente en ^10¹⁰⁰ . ^{[ 84 ]}
• Con una precisión de 12 decimales:

${\displaystyle \left({\frac {\sqrt {163}}{6}}-{\frac {181}{\sqrt {10005}}}\right)^{-1}=3.14159\ 26535\ 89^{+}}$

Esto se obtiene de la serie de Chudnovsky (truncando la serie (1.4) ^{[ 85 ]} en el primer término y sea E ₆ ( τ ₁₆₃ ) ² / E ₄ ( τ ₁₆₃ ) ³ = 151931373056001/151931373056000 ≈ 1).

• Precisión de 16 dígitos:

${\displaystyle {\frac {2510613731736{\sqrt {2}}}{1130173253125}}=3.14159\ 26535\ 89793\ 9^{+}}$- Inverso de la suma de los dos primeros términos de la serie de Ramanujan.

${\displaystyle {\frac {165707065}{52746197}}=3.14159\ 26535\ 89793\ 4^{+}}$

• Precisión de 18 dígitos:

${\displaystyle \left({\frac {\sqrt {253}}{4}}-{\frac {643{\sqrt {11}}}{903}}-{\frac {223}{172}}\right)^{-1}=3.14159\ 26535\ 89793\ 2387^{+}}$

Esta es la aproximación (22) en el artículo de Ramanujan ^{[ 81 ]} con n = 253.

• Precisión de 19 dígitos:

${\displaystyle {\frac {3949122332{\sqrt {2}}}{1777729635}}=3.14159\ 26535\ 89793\ 2382^{+}}$- Inverso mejorado de la suma de los dos primeros términos de la serie de Ramanujan.

• Precisión de 24 dígitos:

${\displaystyle {\frac {2286635172367940241408{\sqrt {2}}}{1029347477390786609545}}=3.14159\ 26535\ 89793\ 23846\ 2649^{+}}$- Inverso de la suma de los tres primeros términos de la serie de Ramanujan.

• Con una precisión de 25 decimales:

${\displaystyle {\frac {1}{10}}\ln \left({\frac {2^{21}}{({\sqrt[{4}]{5}}-1)^{24}}}+24\right)=3.14159\ 26535\ 89793\ 23846\ 26433\ 9^{+}}$

Esto se deriva del invariante de clase de Ramanujan g ₁₀₀ = 2 ^5/8 /(5 ^1/4  −  1) . ^{[ 81 ]}

• Con una precisión de 31 decimales:

${\displaystyle 1.8656436928143307\times 1.6839188885261840=3.14159\ 26535\ 89793\ 23846\ 26433\ 83279^{+}}$

El multiplicador y el multiplicando se ajustan a números de coma flotante de doble precisión IEEE 754 , para su uso con funciones FMA .

• Con una precisión de 32 decimales:

${\displaystyle {\frac {24111373508318876}{7674888557167847}}=3.14159\ 26535\ 89793\ 23846\ 26433\ 83279\ 5^{+}}$

El numerador y el denominador se ajustan a los números de coma flotante de doble precisión IEEE 754 .

• Con una precisión de 30 decimales:

${\displaystyle {\frac {\ln(640320^{3}+744)}{\sqrt {163}}}=3.14159\ 26535\ 89793\ 23846\ 26433\ 83279^{+}}$

Derivado de la proximidad de la constante de Ramanujan al entero 640320 ³ +744. Esto no admite generalizaciones obvias en los enteros, porque solo hay un número finito de números de Heegner y discriminantes negativos d con número de clase h (− d ) = 1, y d = 163 es el mayor en valor absoluto .

• segundo armónico del superior, con una precisión de 42 decimales:

${\displaystyle {\frac {\ln((640320^{3}+744)^{2}-393768)}{2{\sqrt {163}}}}=3.14159\ 26535\ 89793\ 23846\ 26433\ 83279\ 50288\ 41971\ 69^{+}}$

• Con una precisión de 52 decimales:

${\displaystyle {\frac {\ln(5280^{3}(236674+30303{\sqrt {61}})^{3}+744)}{\sqrt {427}}}}$

Al igual que el anterior, es consecuencia del invariante j . Entre los discriminantes negativos con número de clase 2, este d es el mayor en valor absoluto.

• Con una precisión de 52 decimales:

${\displaystyle {\frac {\ln(2^{-30}((3+{\sqrt {5}})({\sqrt {5}}+{\sqrt {7}})({\sqrt {7}}+{\sqrt {11}})({\sqrt {11}}+3))^{12}-24)}{{\sqrt {5}}{\sqrt {7}}{\sqrt {11}}}}}$

Esto se deriva del invariante de clase G ₃₈₅ de Ramanujan . ^{[ 81 ]}

• Tercer armónico de la constante de Ramanujan, con una precisión de 60 decimales:

${\displaystyle {\frac {\ln((640320^{3}+744)^{3}-206777679108482908708720251060018649)}{3{\sqrt {163}}}}=}$

${\displaystyle 3.1415\ 9265\ 3589\ 7932\ 3846\ 2643\ 3832\ 7950\ 2884\ 1971\ 6939\ 9375\ 1058\ 2097\ 4944\ 6^{+}}$

• con una precisión de 161 decimales:

${\displaystyle {\frac {\ln {\big (}(2u)^{6}+24{\big )}}{\sqrt {3502}}}}$

donde u es un producto de cuatro unidades cuárticas simples,

${\displaystyle u=(a+{\sqrt {a^{2}-1}})^{2}(b+{\sqrt {b^{2}-1}})^{2}(c+{\sqrt {c^{2}-1}})(d+{\sqrt {d^{2}-1}})}$

y,

${\displaystyle {\begin{aligned}a&={\tfrac {1}{2}}(23+4{\sqrt {34}})\\b&={\tfrac {1}{2}}(19{\sqrt {2}}+7{\sqrt {17}})\\c&=(429+304{\sqrt {2}})\\d&={\tfrac {1}{2}}(627+442{\sqrt {2}})\end{aligned}}}$

Basado en uno encontrado por Daniel Shanks . Similar a los dos anteriores, pero esta vez es un cociente de una forma modular , concretamente la función eta de Dedekind , y donde el argumento involucra${\displaystyle \tau ={\sqrt {-3502}}}$. El discriminante d = 3502 tiene h (− d ) = 16.

• Precisión de 256 dígitos:

${\displaystyle {\frac {15261343909396942111177730086852826352374060766771618308167575028500999}{48590509502030754798379641288876701245663220023884870402810360529259}}...}$

${\displaystyle ...{\frac {551152789881364457516133280872003443353677807669620554743{\sqrt {10005}}}{3134188302895457201473978137944378665098227220269702217081111}}}$- Inverso mejorado de la suma de los primeros diecinueve términos de la serie de Chudnovsky.

• La representación en fracción continua de π puede utilizarse para generar sucesivas aproximaciones racionales óptimas . Estas aproximaciones son las mejores aproximaciones racionales posibles de π en relación con el tamaño de sus denominadores. Aquí se muestra una lista de las trece primeras: ^{[ 86 ] [ 87 ]}

${\displaystyle {\frac {3}{1}},{\frac {22}{7}},{\frac {333}{106}},{\frac {355}{113}},{\frac {103993}{33102}},{\frac {104348}{33215}},{\frac {208341}{66317}},{\frac {312689}{99532}},{\frac {833719}{265381}},{\frac {1146408}{364913}},{\frac {4272943}{1360120}},{\frac {5419351}{1725033}}}$

De estos,${\displaystyle {\frac {355}{113}}}$es la única fracción en esta secuencia que proporciona más dígitos exactos de π (es decir, 7) que el número de dígitos necesarios para aproximarla (es decir, 6). La precisión puede mejorarse utilizando otras fracciones con numeradores y denominadores mayores, pero, para la mayoría de estas fracciones, se requieren más dígitos en la aproximación que cifras significativas correctas obtenidas en el resultado. ^{[ 88 ]}

Pi se puede obtener a partir de un círculo si se conocen su radio y su área utilizando la siguiente relación:

${\displaystyle A=\pi r^{2}.}$

Si se traza un círculo de radio r con centro en el punto (0, 0) , cualquier punto cuya distancia al origen sea menor que r estará dentro del círculo. El teorema de Pitágoras proporciona la distancia desde cualquier punto ( x , y ) al centro:

${\displaystyle d={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}.}$

El "papel cuadriculado" matemático se forma imaginando un cuadrado de 1×1 centrado alrededor de cada celda ( x , y ) , donde x e y son enteros entre -r y r . Los cuadrados cuyo centro reside dentro o exactamente en el borde del círculo se pueden contar comprobando si, para cada celda ( x , y ) ,

${\displaystyle {\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\leq r.}$

El número total de celdas que satisfacen esa condición se aproxima al área del círculo, que luego se puede usar para calcular una aproximación de π . Se pueden obtener aproximaciones más precisas usando valores mayores de r .

Matemáticamente, esta fórmula se puede escribir:

${\displaystyle \pi =\lim _{r\to \infty }{\frac {1}{r^{2}}}\sum _{x=-r}^{r}\;\sum _{y=-r}^{r}{\begin{cases}1&{\text{if }}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\leq r\\0&{\text{if }}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}>r.\end{cases}}}$

En otras palabras, comienza eligiendo un valor para r . Considera todas las celdas ( x , y ) en las que tanto x como y son enteros entre -r y r . Comenzando en 0, suma 1 por cada celda cuya distancia al origen (0, 0) sea menor o igual a r . Cuando termines, divide la suma, que representa el área de un círculo de radio r , entre ^r² para hallar la aproximación de π . Por ejemplo, si r es 5, entonces las celdas consideradas son: 

Las 12 celdas (0, ±5), (±5, 0), (±3, ±4), (±4, ±3) están exactamente sobre el círculo, y 69 celdas están completamente dentro , por lo que el área aproximada es 81, y π se calcula como aproximadamente 3,24 porque ⁠ 81 / 5 ² ⁠ = 3,24. Los resultados para algunos valores de r se muestran en la tabla siguiente: ^{[ 89 ]}

De manera similar, las aproximaciones más complejas de π que se presentan a continuación implican cálculos repetidos de algún tipo, lo que produce aproximaciones cada vez más cercanas a medida que aumenta el número de cálculos.

Además de su representación simple de fracción continua [3; 7, 15, 1, 292, 1, 1,  ...], que no muestra ningún patrón discernible, π tiene muchas representaciones generalizadas de fracciones continuas generadas por una regla simple, incluidas estas dos.

${\displaystyle \pi ={3+{\cfrac {1^{2}}{6+{\cfrac {3^{2}}{6+{\cfrac {5^{2}}{6+\ddots \,}}}}}}}}$

${\displaystyle \pi ={\cfrac {4}{1+{\cfrac {1^{2}}{3+{\cfrac {2^{2}}{5+{\cfrac {3^{2}}{7+{\cfrac {4^{2}}{9+\ddots }}}}}}}}}}=3+{\cfrac {1^{2}}{5+{\cfrac {4^{2}}{7+{\cfrac {3^{2}}{9+{\cfrac {6^{2}}{11+{\cfrac {5^{2}}{13+\ddots }}}}}}}}}}}$

El resto de la serie de Madhava-Leibniz se puede expresar como una fracción continua generalizada de la siguiente manera. ^{[ 90 ]}

${\displaystyle \pi =4\sum _{n=1}^{m}{\frac {(-1)^{n-1}}{2n-1}}+{\cfrac {2(-1)^{m}}{2m+{\cfrac {1^{2}}{2m+{\cfrac {2^{2}}{2m+{\cfrac {3^{2}}{2m+\ddots }}}}}}}}\qquad (m=1,2,3,\ldots )}$

Tenga en cuenta que el término de corrección de Madhava es

${\displaystyle {\frac {2}{2m+{\frac {1^{2}}{2m+{\frac {2^{2}}{2m}}}}}}=4{\frac {m^{2}+1}{4m^{3}+5m}}}$.

Los valores bien conocidos ⁠ 22 / 7 ⁠ y ⁠ 355 / 113 ⁠ son respectivamente la segunda y cuarta aproximaciones de fracción continua a π. ^{[ 91 ]}

Pi Hex fue un proyecto para calcular tres dígitos binarios específicos de π utilizando una red distribuida de varios cientos de computadoras. En el año 2000, después de dos años, el proyecto finalizó el cálculo de los bits cinco billones (5 × 10¹² ⁾ , cuarenta billones (40 × 10¹² ⁾ y cuatrillones ( ^10¹⁵ ). Los tres resultaron ser 0 en base 2.

La mayoría de los sistemas de álgebra computacional pueden calcular π y otras constantes matemáticas comunes con la precisión deseada.

Las funciones para calcular π también se incluyen en muchas bibliotecas generales para aritmética de precisión arbitraria , por ejemplo Class Library for Numbers , MPFR y SymPy .

Los programas diseñados para calcular π pueden tener un mejor rendimiento que el software matemático de propósito general. Suelen implementar puntos de control y un intercambio de disco eficiente para facilitar cálculos extremadamente largos y que consumen mucha memoria.

• TachusPi de Fabrice Bellard ^{[ 99 ]} es el programa que él mismo utilizó para calcular el récord mundial de dígitos de pi en 2009.
• y -cruncherde Alexander Yee ^{[ 48 ]} es el programa que todos los poseedores de récords mundiales desde Shigeru Kondo en 2010 han utilizado para calcularrécords mundiales de dígitos.y-cruncher también se puede utilizar para calcular otras constantes y posee récords mundiales para varias de ellas.
• PiFast de Xavier Gourdon fue el programa más rápido para Microsoft Windows en 2003. Según su autor, puede calcular un millón de dígitos en 3,5 segundos en un Pentium 4  de 2,4 GHz . ^{[ 100 ]} PiFast también puede calcular otros números irracionales como e y √ 2. También puede funcionar con menor eficiencia con muy poca memoria (hasta unas pocas decenas de megabytes para calcular más de mil millones (10 ⁹ ) de dígitos). Esta herramienta es un popular benchmark en la comunidad de overclocking . PiFast 4.4 está disponible en la página de Stu sobre Pi . PiFast 4.3 está disponible en la página de Gourdon.
• QuickPi de Steve Pagliarulo para Windows es más rápido que PiFast para secuencias de menos de 400 millones de dígitos. La versión 4.5 está disponible en la página de Stu sobre Pi (ver más abajo). Al igual que PiFast, QuickPi también puede calcular otros números irracionales como e , √2 y √3 . El software se puede obtener en el foro de Yahoo! Pi-Hacks o en la página de Stu sobre Pi .
• Super PI, del Laboratorio Kanada ^{[ 101 ]} de la Universidad de Tokio, es un programa para Microsoft Windows que procesa entre 16 000 y 33 550 000 dígitos. Puede calcular un millón de dígitos en 40 minutos, dos millones en 90 minutos y cuatro millones en 220 minutos en un procesador Pentium de 90 MHz. La versión 1.9 de Super PI está disponible en la página de Super PI 1.9 .