Triángulo isósceles

En cualquier triángulo isósceles, coinciden los siguientes seis segmentos de línea :

• la altitud , un segmento de línea desde el vértice perpendicular a la base, ^{[ 14 ]}
• la bisectriz del ángulo desde el vértice hasta la base, ^{[ 14 ]}
• la mediana desde el ápice hasta el punto medio de la base, ^{[ 14 ]}
• la mediatriz de la base dentro del triángulo, ^{[ 14 ]}
• el segmento dentro del triángulo del único eje de simetría del triángulo, y ^{[ 14 ]}
• el segmento dentro del triángulo de la línea de Euler del triángulo, excepto cuando el triángulo es equilátero . ^{[ 15 ]}

Su longitud común es la altura${\displaystyle h}$del triángulo. Si el triángulo tiene lados iguales de longitud${\displaystyle a}$y base de longitud${\displaystyle b}$, las fórmulas triangulares generales para las longitudes de estos segmentos se simplifican todas a ^{[ 16 ]}

${\displaystyle h={\sqrt {a^{2}-{\frac {b^{2}}{4}}}}.}$

Esta fórmula también puede derivarse del teorema de Pitágoras utilizando el hecho de que la altura biseca la base y divide el triángulo isósceles en dos triángulos rectángulos congruentes. ^{[ 17 ]}

La recta de Euler de cualquier triángulo pasa por su ortocentro (la intersección de sus tres alturas), su baricentro (la intersección de sus tres medianas) y su circuncentro (la intersección de las mediatrices de sus tres lados, que también es el centro de la circunferencia circunscrita que pasa por los tres vértices). En un triángulo isósceles con exactamente dos lados iguales, estos tres puntos son distintos y (por simetría) se encuentran sobre el eje de simetría del triángulo, de donde se deduce que la recta de Euler coincide con dicho eje. El incentro del triángulo también se encuentra sobre la recta de Euler, lo cual no ocurre en otros triángulos. ^{[ 15 ]} Si dos cualesquiera de las bisectrices, medianas o alturas de un ángulo coinciden en un triángulo dado, dicho triángulo debe ser isósceles. ^{[ 18 ]}

El área${\displaystyle T}$de un triángulo isósceles se puede derivar de la fórmula para su altura, y de la fórmula general para el área de un triángulo como la mitad del producto de la base y la altura: ^{[ 16 ]}

${\displaystyle T={\frac {b}{4}}{\sqrt {4a^{2}-b^{2}}}.}$

La misma fórmula de área también puede derivarse de la fórmula de Herón para el área de un triángulo a partir de sus tres lados. Sin embargo, aplicar directamente la fórmula de Herón puede resultar numéricamente inestable para triángulos isósceles con ángulos muy agudos, debido a la casi cancelación entre el semiperímetro y la longitud del lado en dichos triángulos. ^{[ 19 ]}

Si el ángulo del vértice${\displaystyle (\theta )}$y longitud de las piernas${\displaystyle (a)}$Si se conocen las dimensiones de un triángulo isósceles, entonces el área de ese triángulo es: ^{[ 20 ]}

${\displaystyle T={\frac {1}{2}}a^{2}\sin \theta .}$

Este es un caso especial de la fórmula general para el área de un triángulo como la mitad del producto de dos lados por el seno del ángulo comprendido. ^{[ 21 ]}

El perímetro${\displaystyle p}$de un triángulo isósceles con lados iguales${\displaystyle a}$y base${\displaystyle b}$es solo ^{[ 16 ]}

${\displaystyle p=2a+b.}$

Como en cualquier triángulo, el área${\displaystyle T}$y perímetro${\displaystyle p}$están relacionadas por la desigualdad isoperimétrica ^{[ 22 ]}

${\displaystyle p^{2}>12{\sqrt {3}}T.}$

Esta es una desigualdad estricta para triángulos isósceles con lados distintos a la base, y se convierte en una igualdad para el triángulo equilátero. El área, el perímetro y la base también pueden relacionarse entre sí mediante la ecuación ^{[ 23 ].}

${\displaystyle 2pb^{3}-p^{2}b^{2}+16T^{2}=0.}$

Si la base y el perímetro son fijos, esta fórmula determina el área del triángulo isósceles resultante, que es la máxima posible entre todos los triángulos con la misma base y perímetro. ^{[ 24 ]} Por otro lado, si el área y el perímetro son fijos, esta fórmula se puede usar para recuperar la longitud de la base, pero no de forma única: en general hay dos triángulos isósceles distintos con un área dada.${\displaystyle T}$y perímetro${\displaystyle p}$Cuando la desigualdad isoperimétrica se convierte en igualdad, solo existe un triángulo de este tipo, que es equilátero. ^{[ 25 ]}

Si los dos lados iguales tienen longitud${\displaystyle a}$y el otro lado tiene longitud${\displaystyle b}$, entonces la bisectriz del ángulo interno${\displaystyle t}$desde uno de los dos vértices de ángulo igual satisface ^{[ 26 ]}

${\displaystyle {\frac {2ab}{a+b}}>t>{\frac {ab{\sqrt {2}}}{a+b}}}$

así como

${\displaystyle t<{\frac {4a}{3}};}$

y, a la inversa, si se cumple esta última condición, un triángulo isósceles parametrizado por${\displaystyle a}$y${\displaystyle t}$existe. ^{[ 27 ]}

El teorema de Steiner-Lehmus establece que todo triángulo con dos bisectrices de ángulos de igual longitud es isósceles. Fue formulado en 1840 por C. L. Lehmus . Su homónimo, Jakob Steiner , fue uno de los primeros en proporcionar una solución. ^{[ 28 ]} Aunque originalmente se formuló solo para bisectrices de ángulos internos, funciona para muchos (pero no todos) los casos en los que, en cambio, dos bisectrices de ángulos externos son iguales. El triángulo isósceles 30-30-120 constituye un caso límite para esta variación del teorema, ya que tiene cuatro bisectrices de ángulos iguales (dos internas y dos externas). ^{[ 29 ]}

Las fórmulas del radio inscrito y del radio circunscrito para un triángulo isósceles se pueden derivar de sus fórmulas para triángulos arbitrarios. ^{[ 30 ]} El radio del círculo inscrito de un triángulo isósceles con lado de longitud${\displaystyle a}$, base${\displaystyle b}$y altura${\displaystyle h}$es: ^{[ 16 ]}

${\displaystyle {\frac {2ab-b^{2}}{4h}}.}$

El centro del círculo se encuentra sobre el eje de simetría del triángulo, a esta distancia por encima de la base. Un triángulo isósceles tiene el círculo inscrito más grande posible entre los triángulos con la misma base y ángulo del vértice, además de tener también la mayor área y perímetro entre los triángulos de la misma clase. ^{[ 31 ]}

El radio del círculo circunscrito es: ^{[ 16 ]}

${\displaystyle {\frac {a^{2}}{2h}}.}$

El centro del círculo se encuentra sobre el eje de simetría del triángulo, a esta distancia por debajo del vértice.

Para cualquier triángulo isósceles, existe un único cuadrado con un lado colineal con la base del triángulo y los dos vértices opuestos sobre sus lados. El triángulo de Calabi es un triángulo isósceles especial con la propiedad de que los otros dos cuadrados inscritos, con lados colineales con los lados del triángulo, tienen el mismo tamaño que el cuadrado de la base. ^{[ 10 ]} Un teorema mucho más antiguo, conservado en las obras de Herón de Alejandría , establece que, para un triángulo isósceles con base${\displaystyle b}$y altura${\displaystyle h}$, la longitud del lado del cuadrado inscrito en la base del triángulo es ^{[ 32 ]}

${\displaystyle {\frac {bh}{b+h}}.}$

Frontón isósceles obtuso del Panteón, Roma

Gablete isósceles agudo sobre el portal de Saint-Etienne, Notre-Dame de París

Los triángulos isósceles aparecen comúnmente en arquitectura como formas de frontones y hastiales . En la arquitectura griega antigua y sus imitaciones posteriores, se utilizaba el triángulo isósceles obtuso; en la arquitectura gótica, este fue reemplazado por el triángulo isósceles agudo. ^{[ 8 ]}

En la arquitectura de la Edad Media , se popularizó otra forma de triángulo isósceles: el triángulo isósceles egipcio. Este es un triángulo isósceles agudo, pero menos pronunciado que el triángulo equilátero; su altura es proporcional a 5/8 de su base. ^{[ 38 ]} El triángulo isósceles egipcio fue reintroducido en la arquitectura moderna por el arquitecto neerlandés Hendrik Petrus Berlage . ^{[ 39 ]}

Las estructuras de celosía Warren , como los puentes, suelen estar dispuestas en triángulos isósceles, aunque a veces también se incluyen vigas verticales para mayor resistencia. ^{[ 40 ]} Las superficies teseladas por triángulos isósceles obtusos pueden utilizarse para formar estructuras desplegables que tienen dos estados estables: un estado desplegado en el que la superficie se expande formando una columna cilíndrica, y un estado plegado en el que se pliega en una forma de prisma más compacta que puede transportarse más fácilmente. ^{[ 41 ]} El mismo patrón de teselación constituye la base del pandeo de Yoshimura , un patrón que se forma cuando las superficies cilíndricas se comprimen axialmente, ^{[ 42 ]} y de la linterna de Schwarz , un ejemplo utilizado en matemáticas para demostrar que el área de una superficie lisa no siempre puede aproximarse con precisión mediante poliedros que convergen en la superficie. ^{[ 43 ]}

Bandera de Guyana

Bandera de Santa Lucía

En el diseño gráfico y las artes decorativas , los triángulos isósceles han sido un elemento de diseño frecuente en culturas de todo el mundo desde al menos el Neolítico temprano ^{[ 44 ]} hasta la época moderna. ^{[ 45 ]} Son un elemento de diseño común en banderas y heráldica , apareciendo prominentemente con una base vertical, por ejemplo, en la bandera de Guyana , o con una base horizontal en la bandera de Santa Lucía , donde forman una imagen estilizada de una isla montañosa. ^{[ 46 ]}

También se han utilizado en diseños con significado religioso o místico, por ejemplo en el Sri Yantra de la práctica meditativa hindú . ^{[ 47 ]}

Si una ecuación cúbica con coeficientes reales tiene tres raíces que no son todas números reales , entonces cuando estas raíces se representan en el plano complejo como un diagrama de Argand, forman vértices de un triángulo isósceles cuyo eje de simetría coincide con el eje horizontal (real). Esto se debe a que las raíces complejas son conjugadas complejas y, por lo tanto, son simétricas con respecto al eje real. ^{[ 48 ]}

En mecánica celeste , el problema de los tres cuerpos se ha estudiado en el caso especial en que los tres cuerpos forman un triángulo isósceles, ya que suponer que los cuerpos están dispuestos de esta manera reduce el número de grados de libertad del sistema sin reducirlo al caso del punto lagrangiano resuelto cuando los cuerpos forman un triángulo equilátero. Las primeras instancias del problema de los tres cuerpos que mostraron oscilaciones no acotadas se dieron en el problema de los tres cuerpos isósceles. ^{[ 49 ]}