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Pons asinorum

El pons asinorum en la edición de Oliver Byrne de los Elementos [ 1 ] En geometría , el teorema que establece que los ángulos opuestos a los lados iguales de un triángulo isósce...

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El pons asinorum en la edición de Oliver Byrne de los Elementos [ 1 ]

En geometría , el teorema que establece que los ángulos opuestos a los lados iguales de un triángulo isósceles son también iguales se conoce como pons asinorum ( / ˈ p ɒ n z ˌ æ s ɪ ˈ n ɔːr ə m / PONZ ass-ih- NOR -əm ), que en latín significa "puente de asnos ", o de forma más descriptiva como el teorema del triángulo isósceles . El teorema aparece como la Proposición 5 del Libro 1 de los Elementos de Euclides . [ 1 ] Su recíproco también es cierto: si dos ángulos de un triángulo son iguales, entonces los lados opuestos a ellos también son iguales.

Pons asinorum también se usa metafóricamente para referirse a un problema o desafío que actúa como una prueba de pensamiento crítico , aludiendo a la capacidad del "puente de los asnos" para separar a los razonadores capaces de los incapaces. Su primer uso conocido en este contexto data de 1645. [ 2 ]

Etimología

Existen dos explicaciones comunes para el nombre pons asinorum ; la más sencilla es que el diagrama utilizado se asemeja a un puente físico . Pero la explicación más popular es que se trata de la primera prueba real en los Elementos de la inteligencia del lector y funciona como un «puente» hacia las proposiciones más difíciles que siguen. [ 3 ]

Otro término medieval para el teorema del triángulo isósceles era Elefuga , que, según Roger Bacon , proviene del griego elegia «miseria» y del latín fuga «huida», es decir, «huida de los desdichados». Aunque esta etimología es dudosa, se ve reflejada en el uso que hace Chaucer del término «huida de los desdichados» para referirse al teorema. [ 4 ]

El nombre Dulcarnon se le dio a la proposición número 47 del Libro I de Euclides, más conocida como el teorema de Pitágoras , por el árabe Dhū'l-Qarnayn ذُو ٱلْقَرْنَيْن , que significa "el dueño de los dos cuernos", porque los diagramas del teorema mostraban dos cuadrados más pequeños con forma de cuernos en la parte superior de la figura. Ese término también se ha usado como metáfora de un dilema. [ 4 ] El nombre pons asinorum se ha aplicado ocasionalmente al teorema de Pitágoras. [ 5 ]

Supuestamente, Carl Friedrich Gauss sugirió en una ocasión que comprender la identidad de Euler podría desempeñar un papel similar, como un punto de referencia que indicara si alguien podía convertirse en un matemático de primera clase . [ 6 ]

Pruebas

Euclides y Proclo

La formulación euclidiana del pons asinorum incluye una segunda conclusión: si los lados iguales del triángulo se extienden por debajo de la base, entonces los ángulos entre las extensiones y la base también son iguales. La demostración euclidiana consiste en trazar líneas auxiliares a estas extensiones. Sin embargo, como señala Proclo , su comentarista , Euclides nunca utiliza esta segunda conclusión, y su demostración puede simplificarse trazando las líneas auxiliares a los lados del triángulo; el resto de la demostración se desarrolla de forma similar.

Ha habido mucha especulación y debate sobre por qué Euclides añadió la segunda conclusión al teorema, dado que hace que la demostración sea más complicada. Una explicación plausible, dada por Proclo, es que la segunda conclusión puede usarse en posibles objeciones a las demostraciones de proposiciones posteriores donde Euclides no cubre todos los casos. [ 7 ] La demostración se basa en gran medida en lo que hoy se llama lado-ángulo-lado (LAL), la proposición anterior en los Elementos , que dice que dados dos triángulos para los cuales dos pares de lados correspondientes y sus ángulos comprendidos son respectivamente congruentes , entonces los triángulos son congruentes.

La variación de Proclo de la demostración de Euclides procede de la siguiente manera: [ 8 ] Sea ⁠△ABdo{\displaystyle \triangle ABC}Sea un triángulo isósceles con lados congruentes .AB≅Ado{\displaystyle AB\cong AC}⁠ . Elija un punto arbitrario ⁠D{\displaystyle D}⁠ en el lateral ⁠AB{\displaystyle AB}y luego construir el puntomi{\displaystyle E}en​​Ado{\displaystyle AC}para formar segmentos congruentesAD≅Ami{\displaystyle AD\cong AE}⁠ . Dibuja segmentos de línea auxiliares ⁠Bmi{\displaystyle BE},​​Ddo{\displaystyle DC}y​​Dmi{\displaystyle DE}⁠ . Por lado-ángulo-lado, los triángulos ⁠△BAmi≅△doAD{\displaystyle \triangle BAE\cong \triangle CAD}Por lo tanto∠ABmi≅∠AdoD{\displaystyle \angle ABE\cong \angle ACD},​​∠ADdo≅∠AmiB{\displaystyle \angle ADC\cong \angle AEB}y​​Bmi≅doD{\displaystyle BE\cong CD}⁠ . Restando segmentos de línea congruentes, ⁠BD≅domi{\displaystyle BD\cong CE}⁠ . Esto crea otro par de triángulos congruentes, ⁠△DBmi≅△midoD{\displaystyle \triangle DBE\cong \triangle ECD}⁠ , de nuevo por lado-ángulo-lado. Por lo tanto ⁠∠BDmi≅∠domiD{\displaystyle \angle BDE\cong \angle CED}y​​∠BmiD≅∠doDmi{\displaystyle \angle BED\cong \angle CDE}⁠ . Restando ángulos congruentes, ⁠∠BDdo≅∠domiB{\displaystyle \angle BDC\cong \angle CEB}⁠ . Finalmente ⁠△BDdo≅△domiB{\displaystyle \triangle BDC\cong \triangle CEB}⁠ mediante una tercera aplicación de lado-ángulo-lado. Por lo tanto ⁠∠doBD≅∠Bdomi{\displaystyle \angle CBD\cong \angle BCE}⁠ , lo cual debía ser probado.

Pappus

Proclo ofrece una demostración mucho más breve, atribuida a Papo de Alejandría . Esta no solo es más sencilla, sino que no requiere ninguna construcción adicional. El método de demostración consiste en aplicar lado-ángulo-lado al triángulo y a su imagen especular. Autores más modernos, imitando el método de demostración dado para la proposición anterior, lo han descrito como tomar el triángulo, darle la vuelta y colocarlo sobre sí mismo. [ 9 ] [ 10 ] Este método es ridiculizado por Charles Dodgson en Euclid y sus rivales modernos , llamándolo un « toro irlandés » porque aparentemente requiere que el triángulo esté en dos lugares a la vez. [ 11 ]

La demostración es la siguiente: [ 12 ] Sea ABC un triángulo isósceles con AB y AC siendo lados iguales. Consideremos los triángulos ABC y ACB , donde ACB se considera un segundo triángulo con vértices A , C y B que corresponden respectivamente a A , B y C en el triángulo original. ∠A{\displaystyle \angle A}es igual a sí mismo, AB  = AC y AC = AB , por lo que por lado-ángulo-lado, los triángulos ABC y ACB son congruentes. En particular,   ∠B=∠do{\displaystyle \angle B=\angle C}. [ 13 ]

Otros

Una prueba de libro de texto

Un método estándar en los libros de texto consiste en construir la bisectriz del ángulo en A. [ 14 ] Esto es más sencillo que la demostración de Euclides, pero Euclides no presenta la construcción de una bisectriz de ángulo hasta la proposición 9. Por lo tanto, habría que cambiar el orden de presentación de las proposiciones de Euclides para evitar la posibilidad de un razonamiento circular.

La demostración procede de la siguiente manera: [ 15 ] Como antes, sea el triángulo ABC con AB  = AC . Construya la bisectriz del ángulo de ∠BAdo{\displaystyle \angle BAC}y extenderlo para que se encuentre con BC en X. AB =  AC y AX es igual a sí mismo. Además, ∠BAincógnita=∠doAincógnita{\displaystyle \angle BAX=\angle CAX}Por lo tanto, aplicando la regla lado-ángulo-lado, los triángulos BAX y CAX son congruentes. De ello se deduce que los ángulos en B y C son iguales.

Legendre utiliza una construcción similar en Éléments de géométrie , pero tomando X como el punto medio de BC . [ 16 ] La demostración es similar, pero debe usarse lado-lado-lado en lugar de lado-ángulo-lado, y lado-lado-lado no es dado por Euclides hasta más adelante en los Elementos .

En los espacios de productos internos

El teorema del triángulo isósceles se cumple en espacios con producto interno sobre los números reales o complejos . En tales espacios, dados los vectores x , y y z , el teorema dice que siincógnita+y+z=0{\displaystyle x+y+z=0}y‖incógnita‖=‖y‖,{\displaystyle \|x\|=\|y\|,}entonces‖incógnita−z‖=‖y−z‖.{\displaystyle \|xz\|=\|yz\|.}[ 17 ]

Desde‖incógnita−z‖2=‖incógnita‖2−2incógnita⋅z+‖z‖2{\displaystyle \|xz\|^{2}=\|x\|^{2}-2x\cdot z+\|z\|^{2}}yincógnita⋅z=‖incógnita‖‖z‖porque⁡θ,{\displaystyle x\cdot z=\|x\|\|z\|\cos \theta ,}donde θ es el ángulo entre los dos vectores, la conclusión de esta forma del teorema en el espacio de producto interno es equivalente a la afirmación sobre la igualdad de ángulos.

Uso metafórico

Entre los usos del pons asinorum como metáfora para una prueba de pensamiento crítico se incluyen:

  • El Filobiblon del siglo XIV de Richard Aungerville contiene el pasaje "¡Quot Euclidis discipulos retrojecit Elefuga quasi scopulos eminens et abruptus, qui nullo scalarum suffragio scandi posset! Durus, inquiunt, est his sermo; quis potest eum audire?", que compara el teorema con un acantilado escarpado que ninguna escalera puede ayudar a escalar y pregunta cuántos aspirantes Los geómetras han sido rechazados. [ 4 ]
  • El término pons asinorum , tanto en su significado de puente como de prueba, se utiliza como metáfora para encontrar el término medio de un silogismo . [ 4 ]
  • El poeta del siglo XVIII Thomas Campbell escribió un poema humorístico titulado "Pons asinorum" donde una clase de geometría ataca el teorema como una compañía de soldados podría asaltar una fortaleza; la batalla no estuvo exenta de bajas. [ 18 ]
  • El economista John Stuart Mill llamó a la ley de renta de Ricardo el pons asinorum de la economía. [ 19 ]
  • La aasinsilta finlandesa y la åsnebrygga sueca son técnicas literarias que emplean una conexión tenue, incluso forzada, entre dos argumentos o temas, casi una digresión , como transición incómoda entre ellos. En textos serios, se considera un error estilístico, ya que pertenece propiamente al estilo de escritura de flujo de conciencia o causerie . Ejemplos típicos son terminar una sección indicando de qué trata la siguiente, sin explicar la relación entre los temas; desarrollar una mención casual hasta convertirla en un análisis detallado; o encontrar una conexión forzada entre los temas (por ejemplo: «Compramos vino tinto; hablando de líquidos rojos, mañana es el Día Mundial del Donante de Sangre»).
  • En neerlandés , ezelsbruggetje ('puentecito de asnos') es la palabra para una regla mnemotécnica . Lo mismo ocurre con el alemán Eselsbrücke .
  • En checo , oslí můstek tiene dos significados: puede describir una conexión artificial entre dos temas o una regla mnemotécnica.

Mito de la prueba de la inteligencia artificial

Una creencia popular matemática sostiene que un programa de inteligencia artificial descubrió una demostración original y más elegante de este teorema. [ 20 ] [ 21 ] De hecho, Marvin Minsky relata que redescubrió la demostración de Pappus (de la cual no tenía conocimiento) simulando lo que haría un demostrador de teoremas mecánico. [ 22 ] [ 10 ]

Notas

  1. 1 2 Byrne, Oliver (1847). Los primeros seis libros de Los elementos de Euclides en los que se utilizan diagramas y símbolos de colores en lugar de letras para facilitar el aprendizaje . Taschen. pp.  Página 5. ISBN 978-1528770439.{{cite book}}: Incompatibilidad de ISBN/Fecha ( ayuda )
  2. ↑ «Pons asinorum» . Diccionario Merriam-Webster.com .
  3. ↑ DE Smith, Historia de las Matemáticas (1958, Dover), pág. 284
  4. 1 2 3 4 A. F. West y HD Thompson "Sobre Dulcarnon, Elefuga y Pons Asinorum como nombres fantasiosos para proposiciones geométricas" Boletín de la Universidad de Princeton , vol. 3, n.° 4 (1891), pág. 84
  5. ↑ Smith, David Eugene (1925). Historia de las matemáticas . Vol. 2. Ginn & Co. pág. 284, nota al pie 1.  
  6. ↑ Derbyshire, John (2003). Prime Obsession: Bernhard Riemann and the Greatest Unsolved Problem in Mathematics . 500 Fifth Street, NW, Washington DC 20001: Joseph Henry Press. p . 202. ISBN  0-309-08549-7Matemático de primera clase .{{cite book}}: CS1 mantenimiento: ubicación ( enlace )
  7. ↑ Heath págs. 251–255
  8. ↑ Siguiendo a Proclo, pág. 53
  9. ↑ Por ejemplo, F. Cuthbertson, Primer of geometry (1876, Oxford), pág. 7
  10. 1 2 Michael AB Deakin, "De Pappus a la actualidad: la historia de una demostración", The Mathematical Gazette 74 :467:6-11 (marzo de 1990) JSTOR 3618841 
  11. ↑ Charles Lutwidge Dodgson, Euclides y sus rivales modernos, Acto I, Escena II, §6
  12. ↑ Siguiendo a Proclo, pág. 54
  13. ↑ Heath pág. 254 para la sección
  14. ↑ Por ejemplo, JM Wilson, Geometría elemental (1878, Oxford), pág. 20
  15. ↑ Siguiendo a Wilson
  16. ^ AM Legendre Éléments de géométrie (1876 Libr. de Firmin-Didot et Cie) p. 14
  17. ↑ Retherford, James Ron (1993). Espacio de Hilbert: operadores compactos y el teorema de la traza . Textos para estudiantes de la Sociedad Matemática de Londres. Cambridge: Cambridge University Press. pág . 27. ISBN  978-0-521-41884-3.
  18. ↑ Campbell, Thomas (1864). Obras poéticas de Thomas Campbell . Little, Brown.
  19. ↑ John Stuart Mill, Principios de Economía Política (1866: Longmans, Green, Reader y Dyer), Libro 2, Capítulo 16, pág. 261
  20. ^ Jaakko Hintikka, "Sobre la creatividad en el razonamiento", en Ake E. Andersson, NE Sahlin, eds., La complejidad de la creatividad , 2013, ISBN 9401587884pág. 72
  21. ↑ A. Battersby, Matemáticas en la gestión , 1966, citado en Deakin
  22. ↑ Jeremy Bernstein, "Perfiles: IA" (entrevista con Marvin Minsky), The New Yorker , 14 de diciembre de 1981, págs. 50-126

Referencias

  • Euclides, comentario y traducción de T.L. Heath. Elementos, vol. 1 (1908, Cambridge). Google Books.
  • Euclides, comentario de Proclo , ed. y trad. de T. Taylor, Elementos, vol. 2 (1789), Google Books
  • Pons asinorum en PlanetMath .
  • Presentación de los Elementos de Euclides por DE Joyce