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método de Monte Carlo

La aproximación de una distribución normal mediante el método de Monte Carlo Los métodos de Monte Carlo , también llamados experimentos de Monte Carlo o simulaciones de Monte Ca...

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La aproximación de una distribución normal mediante el método de Monte Carlo

Los métodos de Monte Carlo , también llamados experimentos de Monte Carlo o simulaciones de Monte Carlo , son una amplia clase de algoritmos computacionales basados ​​en el muestreo aleatorio repetido para obtener resultados numéricos, conceptualizados por el matemático polaco Stanisław Ulam . El concepto subyacente es utilizar la aleatoriedad para resolver problemas deterministas .

Los métodos de Monte Carlo se utilizan principalmente en tres clases de problemas distintas: optimización , integración numérica y generación de variables aleatorias no uniformes . Son útiles para modelar fenómenos con importantes incertidumbres en los datos de entrada , como las evaluaciones de riesgo en centrales nucleares. Estos métodos suelen implementarse mediante simulaciones por ordenador y pueden proporcionar soluciones aproximadas a problemas demasiado complejos para el análisis matemático .

Descripción general

El nombre proviene del Casino de Montecarlo en Mónaco , donde el principal creador del método, el matemático Stanisław Ulam , se inspiró en la afición al juego de su tío . Los métodos de Montecarlo se utilizan ampliamente en diversos campos de la ciencia, la ingeniería y las matemáticas, como la física, la química, la biología, la estadística, la inteligencia artificial, las finanzas y la criptografía. También se han aplicado a las ciencias sociales, como la sociología, la psicología y la ciencia política. Los métodos de Montecarlo han sido reconocidos como una de las ideas más importantes e influyentes del siglo XX y han posibilitado numerosos avances científicos y tecnológicos.

Los métodos de Monte Carlo también presentan algunas limitaciones y desafíos, como el equilibrio entre precisión y coste computacional, la maldición de la dimensionalidad , la fiabilidad de los generadores de números aleatorios y la verificación y validación de los resultados. Los métodos de Monte Carlo varían, pero tienden a seguir un patrón particular:

  1. Defina un dominio de posibles entradas.
  2. Generar entradas aleatoriamente a partir de una distribución de probabilidad sobre el dominio.
  3. Realizar un cálculo determinista de los resultados.
  4. Agrega los resultados.
Método de Monte Carlo aplicado para aproximar el valor de π

Por ejemplo, consideremos un cuadrante (sector circular) inscrito en un cuadrado unitario . Dado que la razón de sus áreas es ⁠ π / 4 ⁠ , el valor de π puede aproximarse utilizando el método de Monte Carlo: [ 1 ]

  1. Dibuja un cuadrado y luego inscribe un cuadrante dentro de él.
  2. Distribuye uniformemente un número determinado de puntos sobre el cuadrado.
  3. Cuenta el número de puntos dentro del cuadrante, es decir, aquellos que tienen una distancia al origen menor que 1.
  4. La razón entre el recuento interno y el recuento total de la muestra es una estimación de la razón de las dos áreas, ⁠ π / 4 ⁠ . Multiplique el resultado por 4 para estimar π .

En este procedimiento, el dominio de las entradas es el cuadrado que circunscribe el cuadrante. Se pueden generar entradas aleatorias dispersando granos sobre el cuadrado y luego realizando un cálculo sobre cada entrada para comprobar si se encuentra dentro del cuadrante. La agregación de los resultados produce nuestro resultado final, la aproximación de π . Hay dos consideraciones importantes:

  1. Si los puntos no están distribuidos uniformemente, la aproximación será deficiente.
  2. La aproximación mejora a medida que se colocan más puntos aleatoriamente en todo el cuadrado.

El uso de los métodos de Monte Carlo requiere grandes cantidades de números aleatorios, y su uso se benefició enormemente de los generadores de números pseudoaleatorios , que son mucho más rápidos de usar que las tablas de números aleatorios que se habían empleado anteriormente.

Aplicaciones

Los métodos de Monte Carlo se utilizan a menudo en problemas físicos y matemáticos y son más útiles cuando es difícil o imposible utilizar otros enfoques. Los métodos de Monte Carlo se utilizan principalmente en tres clases de problemas: [ 2 ] optimización , integración numérica y generación de extracciones de una distribución de probabilidad .

En problemas relacionados con la física, los métodos de Monte Carlo son útiles para simular sistemas con muchos grados de libertad acoplados , como fluidos, materiales desordenados, sólidos fuertemente acoplados y estructuras celulares, por ejemplo, el modelo celular de Potts , sistemas de partículas interactuantes , procesos de McKean-Vlasov , modelos cinéticos de gases .

Otros ejemplos incluyen el modelado de fenómenos con una incertidumbre significativa en las entradas, como el cálculo de riesgos en los negocios y, en matemáticas, la evaluación de integrales definidas multidimensionales con condiciones de contorno complejas . En su aplicación a problemas de ingeniería de sistemas (espacio, exploración petrolera , diseño de aeronaves, etc.), las predicciones de fallas, sobrecostos y retrasos en el cronograma basadas en el método de Monte Carlo suelen ser mejores que la intuición humana o los métodos alternativos "blandos". [ 3 ]

En principio, los métodos de Monte Carlo pueden utilizarse para resolver cualquier problema con una interpretación probabilística. Según la ley de los grandes números , las integrales descritas por el valor esperado de alguna variable aleatoria pueden aproximarse tomando la media empírica ( también conocida como «media muestral») de muestras independientes de la variable. Cuando la distribución de probabilidad de la variable está parametrizada, los matemáticos suelen utilizar un muestreador de Monte Carlo de cadena de Markov (MCMC). [ 4 ] [ 5 ] [ 6 ] La idea central es diseñar un modelo de cadena de Markov adecuado con una distribución de probabilidad estacionaria prescrita . Es decir, en el límite, las muestras generadas por el método MCMC serán muestras de la distribución deseada (objetivo). [ 7 ] [ 8 ] Según el teorema ergódico , la distribución estacionaria se aproxima mediante las medidas empíricas de los estados aleatorios del muestreador MCMC.

In other problems, the objective is generating draws from a sequence of probability distributions satisfying a nonlinear evolution equation. These flows of probability distributions can always be interpreted as the distributions of the random states of a Markov process whose transition probabilities depend on the distributions of the current random states (see McKean–Vlasov processes, nonlinear filtering equation).[9][10] In other instances, a flow of probability distributions with an increasing level of sampling complexity arise (path spaces models with an increasing time horizon, Boltzmann–Gibbs measures associated with decreasing temperature parameters, and many others). These models can also be seen as the evolution of the law of the random states of a nonlinear Markov chain.[10][11]

A natural way to simulate these sophisticated nonlinear Markov processes is to sample multiple copies of the process, replacing in the evolution equation the unknown distributions of the random states by the sampled empirical measures. In contrast with traditional Monte Carlo and MCMC methodologies, these mean-field particle techniques rely on sequential interacting samples. The terminology mean field reflects the fact that each of the samples (a.k.a. particles, individuals, walkers, agents, creatures, or phenotypes) interacts with the empirical measures of the process. When the size of the system tends to infinity, these random empirical measures converge to the deterministic distribution of the random states of the nonlinear Markov chain, so that the statistical interaction between particles vanishes.

Simple Monte Carlo

Suppose one wants to know the expected value μ{\displaystyle \mu } of a population (and knows that μ{\displaystyle \mu } exists), but does not have a formula available to compute it. The simple Monte Carlo method gives an estimate for μ{\displaystyle \mu } by running n{\displaystyle n} simulations and averaging the simulations' results. It has no restrictions on the probability distribution of the inputs to the simulations, requiring only that the inputs are randomly generated and are independent of each other and that μ{\displaystyle \mu } exists. A sufficiently large n{\displaystyle n} will produce a value for m{\displaystyle m} that is arbitrarily close to μ{\displaystyle \mu }; more formally, it will be the case that, for any ϵ>0{\displaystyle \epsilon >0}, |μ−m|≤ϵ{\displaystyle |\mu -m|\leq \epsilon }. [12] Typically, the algorithm to obtain m{\displaystyle m} is

s = 0; para i = 1 a n hacer ejecutar la simulación por i -ésima vez, dando como resultado r i ;  s = s + r i ; repetir m = s / n ;

Ejemplos

Supongamos que queremos saber cuántas veces deberíamos esperar lanzar tres dados de ocho caras para que la suma de los lanzamientos sea al menosT{\displaystyle T}Sabemos que existe el valor esperado. Los lanzamientos de dados se distribuyen aleatoriamente y son independientes entre sí. Por lo tanto, se puede aplicar el método de Monte Carlo simple:

s = 0; para i = 1 a n , lanzar los tres dados hasta que se alcance T o se supere por primera vez ; r i = el número de lanzamientos ;  s = s + r i ; repetir m = s / n ;

Sinorte{\displaystyle n}es lo suficientemente grande,metro{\displaystyle m}estará dentroϵ{\displaystyle \epsilon }deμ{\displaystyle \mu }para cualquierϵ>0{\displaystyle \epsilon >0}.

Determinar un n suficientemente grande

Fórmula general

Dejarϵ=|μ−metro|>0{\displaystyle \epsilon =|\mu -m|>0}. Elija el nivel de confianza deseado: el porcentaje de probabilidad de que, cuando el algoritmo de Monte Carlo se complete,metro{\displaystyle m}está efectivamente dentroϵ{\displaystyle \epsilon }deμ{\displaystyle \mu }. Dejarz{\displaystyle z}ser elz{\displaystyle z}-puntuación correspondiente a ese nivel de confianza.

Dejars2{\displaystyle s^{2}}sea ​​la varianza estimada, a veces llamada varianza "muestral"; es la varianza de los resultados obtenidos de un número relativamente pequeñok{\displaystyle k}de simulaciones de "muestra". Elija unak{\displaystyle k}; Driels y Shin observan que " incluso para tamaños de muestra un orden de magnitud menor que el número requerido, el cálculo de ese número es bastante estable. " [ 13 ] El siguiente algoritmo calculas2{\displaystyle s^{2}}en una sola pasada, minimizando la posibilidad de que el error numérico acumulado produzca resultados erróneos: [ 12 ]

s 1 = 0; ejecutar la simulación por primera vez, produciendo el resultado r 1 ; m 1 = r 1 ; // m i es la media de las primeras i simulaciones para i = 2 a k hacer ejecutar la simulación por i th vez, produciendo el resultado r i ; δ i = r i - m i −1 ; m i = m i-1 + (1/ i ) δ i ; s i = s i-1 + (( i - 1)/ i )( δ i ) 2 ; repetir s 2 = s k /( k - 1);

Tenga en cuenta que, cuando el algoritmo finalice,metrok{\displaystyle m_{k}}es la media de lak{\displaystyle k}resultados.

El valornorte{\displaystyle n}es suficientemente grande cuando

norte≥s2z2/ϵ2.{\displaystyle n\geq s^{2}z^{2}/\epsilon ^{2}.}[ 12 ] [ 13 ]

Sinorte≤k{\displaystyle n\leq k}, entoncesmetrok=metro{\displaystyle m_{k}=m}; se realizaron suficientes simulaciones de muestra para garantizar quemetrok{\displaystyle m_{k}}está dentroϵ{\displaystyle \epsilon }deμ{\displaystyle \mu }. Sinorte>k{\displaystyle n>k}, entoncesnorte{\displaystyle n}Las simulaciones se pueden ejecutar "desde cero" o, dado quek{\displaystyle k}Las simulaciones ya se han realizado, uno puede simplemente ejecutarlas.norte−k{\displaystyle nk}realizar más simulaciones y añadir sus resultados a los de las simulaciones de muestra:

s = m k * k ; para i = k + 1 a n hacer ejecutar la simulación por i -ésima vez, dando como resultado r i ; s = s + r i ; m = s / n ;

Fórmulas para los resultados de simulaciones con límites

Se puede utilizar una fórmula alternativa en el caso especial en que todos los resultados de la simulación estén acotados superior e inferiormente.

Elija un valor paraϵ{\displaystyle \epsilon }eso es el doble de la diferencia máxima permitida entreμ{\displaystyle \mu }ymetro{\displaystyle m}. Dejar0<δ<100{\displaystyle 0<\delta <100}Sea el nivel de confianza deseado, expresado como porcentaje. Sea cada resultado de simulaciónr1,r2,…,ri,…,rnorte{\displaystyle r_{1},r_{2},\ldots ,r_{i},\ldots ,r_{n}}ser tal quea≤ri≤b{\displaystyle a\leq r_{i}\leq b}para finitoa{\displaystyle a}yb{\displaystyle b}. Tener confianza de al menosδ{\displaystyle \delta }eso|μ−metro|<ϵ/2{\displaystyle |\mu -m|<\epsilon /2}, utilice un valor paranorte{\displaystyle n}de tal manera que:

norte≥2(b−a)2ln⁡(2/(1−(δ/100)))/ϵ2{\displaystyle n\geq 2(ba)^{2}\ln(2/(1-(\delta /100)))/\epsilon ^{2}}

Por ejemplo, siδ=99%{\displaystyle \delta =99\%}, entoncesnorte≥2(b−a)2ln⁡(2/0,01)/ϵ2≈10.6(b−a)2/ϵ2{\displaystyle n\geq 2(ba)^{2}\ln(2/0.01)/\epsilon ^{2}\approx 10.6(ba)^{2}/\epsilon ^{2}}. [ 12 ]

Costes computacionales

A pesar de su simplicidad conceptual y algorítmica, el costo computacional asociado a una simulación de Monte Carlo puede ser sorprendentemente alto. En general, el método requiere muchas muestras para obtener una buena aproximación, lo que puede generar un tiempo de ejecución total arbitrariamente grande si el tiempo de procesamiento de una sola muestra es elevado. [ 14 ] Si bien esta es una limitación importante en problemas muy complejos, la naturaleza fácilmente paralelizable del algoritmo permite reducir este alto costo (quizás a un nivel factible) mediante estrategias de computación paralela en procesadores locales, clústeres, computación en la nube, GPU, FPGA, etc. [ 15 ] [ 16 ] [ 17 ] [ 18 ] En aplicaciones financieras y de seguridad crítica, el no determinismo de punto flotante entre plataformas de hardware puede agravar estos costos, ya que los resultados pueden variar entre ejecuciones o entre diferentes procesadores (x86, ARM, GPU), lo que a veces requiere simulaciones redundantes o mecanismos de consenso para verificar la corrección numérica. [ 19 ]

Historia

Antes del desarrollo del método de Monte Carlo, las simulaciones ponían a prueba un problema determinista previamente conocido, y se utilizaba el muestreo estadístico para estimar las incertidumbres en las simulaciones. Las simulaciones de Monte Carlo invierten este enfoque, resolviendo problemas deterministas mediante metaheurísticas probabilísticas (véase recocido simulado ).

Una variante temprana del método de Monte Carlo se ideó para resolver el problema de la aguja de Buffon , en el que π se puede estimar dejando caer agujas sobre un suelo formado por tiras paralelas equidistantes. En la década de 1930, Enrico Fermi experimentó por primera vez con el método de Monte Carlo mientras estudiaba la difusión de neutrones, pero no publicó este trabajo. [ 20 ]

A finales de la década de 1940, Stanisław Ulam inventó la versión moderna del método de Monte Carlo de cadenas de Markov mientras trabajaba en proyectos de armas nucleares en el Laboratorio Nacional de Los Alamos . En 1946, los físicos de armas nucleares de Los Alamos investigaban la difusión de neutrones en el núcleo de un arma nuclear. [ 20 ]

A pesar de contar con la mayoría de los datos necesarios, como la distancia promedio que recorrería un neutrón en una sustancia antes de colisionar con un núcleo atómico y la cantidad de energía que probablemente liberaría tras la colisión, los físicos de Los Alamos no pudieron resolver el problema utilizando métodos matemáticos convencionales y deterministas. Ulam propuso utilizar experimentos aleatorios. Su inspiración se describe a continuación:

Las primeras reflexiones e intentos que realicé para practicar [el método de Monte Carlo] surgieron a raíz de una pregunta que me vino a la mente en 1946, mientras me recuperaba de una enfermedad y jugaba al solitario. La pregunta era: ¿cuáles son las probabilidades de que un solitario de Canfield con 52 cartas resulte ganador? Tras dedicar mucho tiempo a intentar estimarlas mediante cálculos combinatorios puros, me pregunté si un método más práctico que el "pensamiento abstracto" no sería, digamos, jugar cien veces y simplemente observar y contar el número de jugadas exitosas. Esto ya era posible con el inicio de la nueva era de las computadoras rápidas, e inmediatamente pensé en problemas de difusión de neutrones y otras cuestiones de física matemática, y, en general, en cómo transformar procesos descritos por ciertas ecuaciones diferenciales en una forma equivalente interpretable como una sucesión de operaciones aleatorias. Más tarde [en 1946], le describí la idea a John von Neumann y comenzamos a planificar los cálculos. [ 21 ]

Al ser secreto, el trabajo de von Neumann y Ulam requería un nombre en clave. [ 22 ] Un colega de von Neumann y Ulam, Nicholas Metropolis , sugirió usar el nombre Monte Carlo , que hace referencia al Casino de Montecarlo en Mónaco, donde el tío de Ulam pedía dinero prestado a sus familiares para apostar. [ 20 ] Los métodos de Montecarlo fueron fundamentales para las simulaciones necesarias para el desarrollo posterior de armas nucleares en la posguerra, incluido el diseño de la bomba H, aunque estaban severamente limitados por las herramientas computacionales de la época. Von Neumann, Nicholas Metropolis y otros programaron la computadora ENIAC para realizar los primeros cálculos de Montecarlo completamente automatizados, de un núcleo de arma de fisión , en la primavera de 1948. [ 23 ]

En la década de 1950, los métodos de Monte Carlo se utilizaron en Los Alamos para el desarrollo de la bomba de hidrógeno y se popularizaron en los campos de la física , la fisicoquímica y la investigación operativa . La Rand Corporation y la Fuerza Aérea de los Estados Unidos fueron dos de las principales organizaciones responsables de financiar y difundir información sobre los métodos de Monte Carlo durante este período, y estos comenzaron a encontrar una amplia aplicación en diversos campos.

La teoría de métodos de Monte Carlo de partículas de tipo campo medio más sofisticados ciertamente comenzó a mediados de la década de 1960, con el trabajo de Henry P. McKean Jr. sobre interpretaciones de Markov de una clase de ecuaciones diferenciales parciales parabólicas no lineales que surgen en mecánica de fluidos. [ 24 ] [ 25 ] Un artículo pionero anterior de Theodore E. Harris y Herman Kahn, publicado en 1951, utilizó métodos de Monte Carlo genéticos de tipo campo medio para estimar energías de transmisión de partículas. [ 26 ]

Las metodologías de Monte Carlo de tipo genético de campo medio también se utilizan como algoritmos heurísticos de búsqueda natural (también conocidos como metaheurísticas ) en computación evolutiva. Los orígenes de estas técnicas computacionales de campo medio se remontan a 1950 y 1954 con el trabajo de Alan Turing sobre máquinas de aprendizaje de mutación-selección de tipo genético [ 27 ] y los artículos de Nils Aall Barricelli en el Instituto de Estudios Avanzados de Princeton, Nueva Jersey . [ 28 ] [ 29 ]

Los métodos de Monte Carlo cuántico , y más específicamente los métodos de Monte Carlo de difusión, también pueden interpretarse como una aproximación de Monte Carlo de partículas de campo medio de las integrales de trayectoria de Feynman - Kac . [ 30 ] [ 31 ] [ 32 ] [ 33 ] [ 34 ] [ 35 ] [ 36 ] Los orígenes de los métodos de Monte Carlo cuántico a menudo se atribuyen a Enrico Fermi y Robert Richtmyer , quienes desarrollaron en 1948 una interpretación de partículas de campo medio de las reacciones en cadena de neutrones, [ 37 ] pero el primer algoritmo de partículas de tipo heurístico y genético (también conocido como métodos de Monte Carlo remuestreados o de reconfiguración) para estimar las energías del estado fundamental de los sistemas cuánticos (en modelos de matriz reducida) se debe a Jack H. Hetherington en 1984. [ 36 ] En química molecular, el uso de metodologías de partículas de tipo heurístico genético (también conocidas como estrategias de poda y enriquecimiento) se puede rastrear hasta 1955 con el trabajo seminal de Marshall N. Rosenbluth y Arianna W. Rosenbluth . [ 38 ]

El uso del método secuencial de Monte Carlo en el procesamiento avanzado de señales y la inferencia bayesiana es más reciente. En 1993, Gordon et al. publicaron en su obra fundamental [ 39 ] la primera aplicación de un algoritmo de remuestreo de Monte Carlo en la inferencia estadística bayesiana. Los autores denominaron a su algoritmo «filtro bootstrap» y demostraron que, en comparación con otros métodos de filtrado, su algoritmo bootstrap no requiere ninguna suposición sobre el espacio de estados ni sobre el ruido del sistema. Otro artículo pionero en este campo fue el de Genshiro Kitagawa, sobre un «filtro de Monte Carlo» relacionado [ 40 ] , y los de Pierre Del Moral [ 41 ] y Himilcon Carvalho, Pierre Del Moral, André Monin y Gérard Salut [ 42 ] sobre filtros de partículas, publicados a mediados de la década de 1990. Los filtros de partículas también fueron desarrollados en el procesamiento de señales en 1989–1992 por P. Del Moral, JC Noyer, G. Rigal y G. Salut en el LAAS-CNRS en una serie de informes de investigación restringidos y clasificados con STCAN (Service Technique des Constructions et Armes Navales), la empresa de TI DIGILOG y el LAAS-CNRS (Laboratorio de Análisis y Arquitectura de Sistemas) sobre problemas de procesamiento de señales de radar/sonar y GPS. [ 43 ] [ 44 ] [ 45 ] [ 46 ] [ 47 ] [ 48 ] Estas metodologías secuenciales de Monte Carlo pueden interpretarse como un muestreador de aceptación-rechazo equipado con un mecanismo de reciclaje interactivo.

Desde 1950 hasta 1996, todas las publicaciones sobre metodologías secuenciales de Monte Carlo, incluyendo los métodos de poda y remuestreo introducidos en la física computacional y la química molecular, presentan algoritmos naturales y heurísticos aplicados a diferentes situaciones sin una sola prueba de su consistencia, ni una discusión sobre el sesgo de las estimaciones ni sobre algoritmos basados ​​en árboles genealógicos y ancestrales. Los fundamentos matemáticos y el primer análisis riguroso de estos algoritmos de partículas fueron escritos por Pierre Del Moral en 1996. [ 41 ] [ 49 ]

Las metodologías de partículas de tipo ramificado con tamaños de población variables también fueron desarrolladas a finales de la década de 1990 por Dan Crisan, Jessica Gaines y Terry Lyons, [ 50 ] [ 51 ] [ 52 ] y por Dan Crisan, Pierre Del Moral y Terry Lyons. [ 53 ] Otros desarrollos en este campo fueron descritos entre 1999 y 2001 por P. Del Moral, A. Guionnet y L. Miclo. [ 31 ] [ 54 ] [ 55 ]

Definiciones

No existe consenso sobre cómo definir el método de Monte Carlo . Por ejemplo, Ripley [ 56 ] define la mayoría de los modelos probabilísticos como simulación estocástica , reservando el término Monte Carlo para la integración y las pruebas estadísticas de Monte Carlo. Sawilowsky [ 57 ] distingue entre una simulación , un método de Monte Carlo y una simulación de Monte Carlo: una simulación es una representación ficticia de la realidad, mientras que un método de Monte Carlo es una técnica que se puede utilizar para resolver un problema matemático o estadístico. Una simulación de Monte Carlo utiliza muestreos repetidos para obtener las propiedades estadísticas de algunos fenómenos. A continuación, se presentan algunos ejemplos:

  • Simulación: Se puede utilizar una variable aleatoria uniforme generada en el intervalo [0,1] para simular el lanzamiento de una moneda: si el valor es menor o igual a 0,50, se designa el resultado como cara; si es mayor que 0,50, se designa el resultado como cruz. Esto es una simulación, pero no una simulación de Monte Carlo.
  • Método de Monte Carlo: Verter una caja de monedas sobre una mesa y luego calcular la proporción de monedas que caen cara frente a cruz es un método de Monte Carlo para determinar el comportamiento de lanzamientos repetidos de monedas, pero no es una simulación.
  • Simulación de Monte Carlo: Extraer un gran número de variables uniformes pseudoaleatorias del intervalo [0,1] de una sola vez, o una vez en muchos momentos diferentes, y asignar valores menores o iguales a 0,50 como cara y mayores que 0,50 como cruz, es una simulación de Monte Carlo del comportamiento de lanzar repetidamente una moneda.

Kalos y Whitlock [ 58 ] señalan que tales distinciones no siempre son fáciles de mantener. Por ejemplo, la emisión de radiación de los átomos es un proceso estocástico natural. Puede simularse directamente, o su comportamiento promedio puede describirse mediante ecuaciones estocásticas que pueden resolverse utilizando métodos de Monte Carlo. "De hecho, el mismo código informático puede considerarse simultáneamente como una 'simulación natural' o como una solución de las ecuaciones mediante muestreo natural". La convergencia de la simulación de Monte Carlo puede verificarse con la estadística de Gelman-Rubin .

Monte Carlo y números aleatorios

La idea principal de este método es que los resultados se calculan a partir de muestreos aleatorios repetidos y análisis estadísticos. La simulación de Monte Carlo es, de hecho, experimentación aleatoria, en el caso de que los resultados de estos experimentos no se conozcan bien. Las simulaciones de Monte Carlo se caracterizan típicamente por muchos parámetros desconocidos, muchos de los cuales son difíciles de obtener experimentalmente. [ 59 ] Los métodos de simulación de Monte Carlo no siempre requieren números verdaderamente aleatorios para ser útiles (aunque, para algunas aplicaciones como las pruebas de primalidad , la imprevisibilidad es vital). [ 60 ] Muchas de las técnicas más útiles utilizan secuencias pseudoaleatorias deterministas , lo que facilita probar y volver a ejecutar las simulaciones. La única cualidad generalmente necesaria para hacer buenas simulaciones es que la secuencia pseudoaleatoria parezca "suficientemente aleatoria" en cierto sentido.

El significado de esto depende de la aplicación, pero normalmente deben superar una serie de pruebas estadísticas. Una de las más sencillas y comunes es comprobar que los números se distribuyen uniformemente o siguen otra distribución deseada cuando se considera un número suficientemente grande de elementos de la secuencia. También suele ser deseable/necesario que existan correlaciones débiles entre muestras sucesivas. Sawilowsky enumera las características de una simulación de Monte Carlo de alta calidad: [ 57 ]

  • El generador de números (pseudoaleatorios) tiene ciertas características (por ejemplo, un "período" largo antes de que se repita la secuencia).
  • El generador de números (pseudoaleatorios) produce valores que pasan las pruebas de aleatoriedad.
  • Hay suficientes muestras para garantizar resultados precisos.
  • Se utiliza la técnica de muestreo adecuada.
  • El algoritmo utilizado es válido para lo que se está modelando.
  • Simula el fenómeno en cuestión.

Los algoritmos de muestreo de números pseudoaleatorios se utilizan para transformar números pseudoaleatorios distribuidos uniformemente en números distribuidos según una distribución de probabilidad dada . A menudo se utilizan secuencias de baja discrepancia en lugar del muestreo aleatorio de un espacio, ya que garantizan una cobertura uniforme y normalmente tienen un orden de convergencia más rápido que las simulaciones de Monte Carlo que utilizan secuencias aleatorias o pseudoaleatorias. Los métodos basados ​​en su uso se denominan métodos cuasi-Monte Carlo .

En un esfuerzo por evaluar el impacto de la calidad de los números aleatorios en los resultados de las simulaciones de Monte Carlo, investigadores astrofísicos probaron números pseudoaleatorios criptográficamente seguros generados mediante el conjunto de instrucciones RDRAND de Intel , en comparación con aquellos derivados de algoritmos, como el Mersenne Twister , en simulaciones de Monte Carlo de llamaradas de radio de enanas marrones . No se encontró ninguna diferencia estadísticamente significativa entre los modelos generados con generadores de números pseudoaleatorios típicos y RDRAND para ensayos que consistieron en la generación de 10⁷ números aleatorios. [ 61 ]

Simulación de Monte Carlo frente a escenarios hipotéticos.

Existen métodos para utilizar probabilidades que no son simulaciones de Monte Carlo; por ejemplo, el modelado determinista mediante estimaciones puntuales. A cada variable incierta dentro de un modelo se le asigna una estimación de "mejor suposición". Se eligen escenarios (como el mejor, el peor o el caso más probable) para cada variable de entrada y se registran los resultados. [ 62 ]

Por el contrario, las simulaciones de Monte Carlo muestrean a partir de una distribución de probabilidad para cada variable para producir cientos o miles de resultados posibles. Los resultados se analizan para obtener las probabilidades de que ocurran diferentes resultados. [ 63 ] Por ejemplo, una comparación de un modelo de construcción de costos de hoja de cálculo ejecutado utilizando escenarios tradicionales de "qué pasaría si", y luego ejecutando la comparación nuevamente con simulación de Monte Carlo y distribuciones de probabilidad triangulares muestra que el análisis de Monte Carlo tiene un rango más estrecho que el análisis de "qué pasaría si". Esto se debe a que el análisis de "qué pasaría si" da el mismo peso a todos los escenarios (ver cuantificación de la incertidumbre en finanzas corporativas ), mientras que el método de Monte Carlo apenas muestrea en las regiones de probabilidad muy baja. Las muestras en tales regiones se denominan "eventos raros".

Aplicaciones

Los métodos de Monte Carlo son especialmente útiles para simular fenómenos con una incertidumbre significativa en las entradas y sistemas con muchos grados de libertad acoplados . Las áreas de aplicación incluyen:

Ciencias físicas

Los métodos de Monte Carlo son muy importantes en la física computacional , la química física y campos aplicados relacionados, y tienen diversas aplicaciones, desde cálculos complejos de cromodinámica cuántica hasta el diseño de escudos térmicos y formas aerodinámicas , así como en la modelización del transporte de radiación para cálculos de dosimetría de radiación. [ 64 ] [ 65 ] [ 66 ]

Física estadística

En estadística bayesiana , se suelen utilizar dos tipos de técnicas para reconstruir parámetros no observados a partir de datos observados . Este gráfico muestra la aplicación de cada una a un problema de ejemplo bidimensional .

En física estadística , el modelado molecular de Monte Carlo es una alternativa a la dinámica molecular computacional , y los métodos de Monte Carlo se utilizan para calcular teorías de campo estadísticas de sistemas de partículas y polímeros simples. [ 38 ] [ 67 ] Los métodos cuánticos de Monte Carlo resuelven el problema de muchos cuerpos para sistemas cuánticos. [ 9 ] [ 10 ] [ 30 ]

Ciencia de los materiales de radiación

En la ciencia de los materiales de radiación, la aproximación de colisión binaria para simular la implantación de iones se basa generalmente en un enfoque de Monte Carlo para seleccionar el siguiente átomo en colisión. [ 68 ] En la física experimental de partículas , los métodos de Monte Carlo se utilizan para diseñar detectores , comprender su comportamiento y comparar datos experimentales con la teoría. En astrofísica , se utilizan de maneras tan diversas como para modelar tanto la evolución de las galaxias [ 69 ] como la transmisión de radiación de microondas a través de una superficie planetaria rugosa. [ 70 ] Los métodos de Monte Carlo también se utilizan en los modelos de conjunto que forman la base de la predicción meteorológica moderna .

Ingeniería

Los métodos de Monte Carlo se utilizan ampliamente en ingeniería para el análisis de sensibilidad y el análisis probabilístico cuantitativo en el diseño de procesos . La necesidad surge del comportamiento interactivo, colineal y no lineal de las simulaciones de procesos típicas. Por ejemplo:

Cambio climático y forzamiento radiativo

El Panel Intergubernamental sobre el Cambio Climático se basa en métodos de Monte Carlo en el análisis de la función de densidad de probabilidad del forzamiento radiativo . [ 74 ]

Biología computacional

Los métodos de Monte Carlo se utilizan en diversos campos de la biología computacional , por ejemplo, para la inferencia bayesiana en filogenia , o para el estudio de sistemas biológicos como genomas, proteínas [ 75 ] o membranas [ 76 ] . Los sistemas pueden estudiarse en marcos de grano grueso o ab initio, según la precisión deseada. Las simulaciones por computadora permiten monitorear el entorno local de una molécula particular para ver si ocurre alguna reacción química , por ejemplo. En los casos en que no es factible realizar un experimento físico, se pueden realizar experimentos mentales , por ejemplo, rompiendo enlaces, introduciendo impurezas en sitios específicos, cambiando la estructura local/global o introduciendo campos externos.

Gráficos por computadora

El trazado de rayos , también conocido como trazado de rayos Monte Carlo, renderiza una escena 3D trazando aleatoriamente muestras de posibles trayectorias de luz. El muestreo repetido de cualquier píxel hará que, con el tiempo, el promedio de las muestras converja en la solución correcta de la ecuación de renderizado , lo que lo convierte en uno de los métodos de renderizado de gráficos 3D más precisos físicamente que existen.

estadística aplicada

Sawilowsky estableció los estándares para los experimentos de Monte Carlo en estadística. [ 77 ] En estadística aplicada, los métodos de Monte Carlo pueden utilizarse para al menos cuatro propósitos:

  1. Comparar estadísticos alternativos para muestras pequeñas bajo condiciones de datos realistas. Si bien el error de tipo I y las propiedades de potencia de los estadísticos pueden calcularse para datos extraídos de distribuciones teóricas clásicas ( p. ej ., curva normal , distribución de Cauchy ) para condiciones asintóticas ( es decir , tamaño de muestra infinito y efecto de tratamiento infinitesimalmente pequeño), los datos reales a menudo no tienen tales distribuciones. [ 78 ]
  2. Proporcionar implementaciones de pruebas de hipótesis que sean más eficientes que las pruebas exactas, como las pruebas de permutación (que a menudo son imposibles de calcular), y que a la vez sean más precisas que los valores críticos para las distribuciones asintóticas .
  3. Proporcionar una muestra aleatoria de la distribución posterior en la inferencia bayesiana . Esta muestra aproxima y resume todas las características esenciales de la distribución posterior.
  4. Para proporcionar estimaciones aleatorias eficientes de la matriz hessiana de la función de log-verosimilitud negativa que se pueden promediar para formar una estimación de la matriz de información de Fisher . [ 79 ] [ 80 ]

Los métodos de Monte Carlo también representan un punto intermedio entre la aleatorización aproximada y las pruebas de permutación. Una prueba de aleatorización aproximada se basa en un subconjunto específico de todas las permutaciones (lo que implica una gestión potencialmente enorme del registro de las permutaciones consideradas). El enfoque de Monte Carlo se basa en un número específico de permutaciones seleccionadas aleatoriamente (a cambio de una ligera pérdida de precisión si una permutación se selecciona dos veces o con mayor frecuencia, se obtiene la ventaja de no tener que llevar un registro de las permutaciones ya seleccionadas).

Inteligencia artificial para juegos

Los métodos de Monte Carlo se han desarrollado en una técnica llamada búsqueda en árbol de Monte Carlo que es útil para buscar el mejor movimiento en un juego. Los movimientos posibles se organizan en un árbol de búsqueda y se utilizan muchas simulaciones aleatorias para estimar el potencial a largo plazo de cada movimiento. Un simulador de caja negra representa los movimientos del oponente. [ 81 ] El método de búsqueda en árbol de Monte Carlo (MCTS) tiene cuatro pasos: [ 82 ]

  1. Partiendo del nodo raíz del árbol, seleccione los nodos hijos óptimos hasta llegar a un nodo hoja.
  2. Expande el nodo hoja y elige uno de sus nodos hijos.
  3. Juega una partida simulada comenzando desde ese nodo.
  4. Utilice los resultados de esa simulación para actualizar el nodo y sus antecesores.

El efecto neto, a lo largo de muchas partidas simuladas, es que el valor de un nodo que representa un movimiento subirá o bajará, lo que idealmente corresponde a si ese nodo representa o no un buen movimiento. La búsqueda en árbol de Monte Carlo se ha utilizado con éxito para jugar a juegos como Go , [ 83 ] Tantrix , [ 84 ] Hundir la flota , [ 85 ] Havannah , [ 86 ] y Arimaa . [ 87 ]

Diseño y elementos visuales

Los métodos de Monte Carlo también son eficientes para resolver ecuaciones diferenciales integrales acopladas de campos de radiación y transporte de energía, y por lo tanto, estos métodos se han utilizado en cálculos de iluminación global que producen imágenes fotorrealistas de modelos 3D virtuales, con aplicaciones en videojuegos , arquitectura , diseño , películas generadas por computadora y efectos especiales cinematográficos. [ 88 ]

Búsqueda y rescate

La Guardia Costera de EE. UU. utiliza métodos de Monte Carlo en su software de modelado informático SAROPS para calcular la ubicación probable de las embarcaciones durante las operaciones de búsqueda y rescate . Cada simulación puede generar hasta diez mil puntos de datos distribuidos aleatoriamente según las variables proporcionadas. [ 89 ]

A partir de extrapolaciones de estos datos, se generan patrones de búsqueda para optimizar la probabilidad de contención (POC) y la probabilidad de detección (POD), que en conjunto equivalen a una probabilidad global de éxito (POS). En definitiva, esto constituye una aplicación práctica de la distribución de probabilidad para proporcionar el método de rescate más rápido y eficaz, salvando vidas y recursos. [ 90 ]

Finanzas y negocios

La simulación de Monte Carlo se utiliza habitualmente para evaluar el riesgo y la incertidumbre que afectarían al resultado de diferentes opciones de decisión. Esta simulación permite al analista de riesgos empresariales incorporar los efectos totales de la incertidumbre en variables como el volumen de ventas, los precios de las materias primas y la mano de obra, los tipos de interés y de cambio, así como el efecto de eventos de riesgo específicos, como la cancelación de un contrato o el cambio de una ley tributaria.

Los métodos de Monte Carlo en finanzas se utilizan a menudo para evaluar inversiones en proyectos a nivel de unidad de negocio o corporativo, u otras valoraciones financieras. Se pueden utilizar para modelar cronogramas de proyectos , donde las simulaciones agregan estimaciones para duraciones en el peor de los casos, en el mejor de los casos y más probables para cada tarea, con el fin de determinar los resultados del proyecto en su conjunto. [ 91 ] Los métodos de Monte Carlo también se utilizan en la valoración de opciones y en el análisis del riesgo de impago. [ 92 ] [ 93 ] Además, se pueden utilizar para estimar el impacto financiero de las intervenciones médicas. [ 94 ]

Ley

Se utilizó un método de Monte Carlo para evaluar el valor potencial de un programa propuesto para ayudar a las mujeres solicitantes en Wisconsin a obtener con éxito órdenes de restricción por acoso y violencia doméstica . El programa buscaba brindarles mayor apoyo y, por lo tanto, reducir el riesgo de violación y agresión física . Sin embargo, existían muchas variables que no podían estimarse con precisión, como la efectividad de las órdenes de restricción, la tasa de éxito de las solicitantes con y sin apoyo, entre otras. El estudio realizó ensayos que variaron estas variables para obtener una estimación general del nivel de éxito del programa propuesto. [ 95 ]

Biblioteconomía

El método de Monte Carlo también se utilizó para simular el número de publicaciones de libros según el género en Malasia. La simulación de Monte Carlo empleó datos previos de publicaciones nacionales y el precio de los libros según su género en el mercado local. Los resultados de Monte Carlo se utilizaron para determinar qué género literario es del agrado de los malayos y para comparar las publicaciones entre Malasia y Japón . [ 96 ]

Otros

En su libro de 2001, Fooled by Randomness, Nassim Nicholas Taleb escribe sobre los generadores de Monte Carlo como un ejemplo real de la prueba de Turing inversa : se puede declarar que un ser humano no es inteligente si su escritura no se puede distinguir de una generada por un generador.

Aplicaciones matemáticas

En general, los métodos de Monte Carlo se utilizan en matemáticas para resolver diversos problemas mediante la generación de números aleatorios adecuados (véase también Generación de números aleatorios ) y la observación de la fracción de estos números que cumple con alguna propiedad. El método resulta útil para obtener soluciones numéricas a problemas demasiado complejos para resolver analíticamente. La aplicación más común del método de Monte Carlo es la integración de Monte Carlo.

Integración

La integración de Montecarlo funciona comparando puntos aleatorios con el valor de la función.
Los errores se reducen en un factor de1/norte{\displaystyle \scriptstyle 1/{\sqrt {N}}}.

Los algoritmos de integración numérica deterministas funcionan bien en un número pequeño de dimensiones, pero encuentran dos problemas cuando las funciones tienen muchas variables. Primero, el número de evaluaciones de la función necesarias aumenta rápidamente con el número de dimensiones. Por ejemplo, si 10 evaluaciones proporcionan una precisión adecuada en una dimensión, entonces se necesitan 10 100 puntos para 100 dimensiones, demasiados para ser calculados. Esto se llama la maldición de la dimensionalidad . Segundo, el límite de una región multidimensional puede ser muy complicado, por lo que puede no ser factible reducir el problema a una integral iterada . [ 97 ] 100 dimensiones no es en absoluto inusual, ya que en muchos problemas físicos, una "dimensión" es equivalente a un grado de libertad .

Los métodos de Monte Carlo ofrecen una solución a este aumento exponencial del tiempo de cálculo. Siempre que la función en cuestión se comporte razonablemente bien , puede estimarse seleccionando aleatoriamente puntos en un espacio de 100 dimensiones y calculando algún tipo de promedio de los valores de la función en esos puntos. Según el teorema del límite central , este método muestra1/norte{\displaystyle \scriptstyle 1/{\sqrt {N}}}convergencia—es decir, cuadruplicar el número de puntos muestreados reduce a la mitad el error, independientemente del número de dimensiones. [ 97 ]

Un perfeccionamiento de este método, conocido como muestreo de importancia en estadística, implica muestrear los puntos aleatoriamente, pero con mayor frecuencia donde el integrando es grande. Para hacerlo con precisión, habría que conocer previamente la integral, pero se puede aproximar mediante la integral de una función similar o utilizar rutinas adaptativas como el muestreo estratificado , el muestreo estratificado recursivo , el muestreo de paraguas adaptativo [ 98 ] [ 99 ] o el algoritmo VEGAS .

Un enfoque similar, el método cuasi-Monte Carlo , utiliza secuencias de baja discrepancia . Estas secuencias "llenan" mejor el área y muestrean los puntos más importantes con mayor frecuencia, por lo que los métodos cuasi-Monte Carlo a menudo pueden converger en la integral más rápidamente. Otra clase de métodos para muestrear puntos en un volumen consiste en simular caminatas aleatorias sobre él ( cadena de Markov Monte Carlo ). Dichos métodos incluyen el algoritmo de Metropolis-Hastings , el muestreo de Gibbs , el algoritmo de Wang y Landau , y metodologías MCMC de tipo interactivo como los muestreadores secuenciales de Monte Carlo . [ 100 ]

Simulación y optimización

Otra aplicación potente y muy popular de los números aleatorios en la simulación numérica se encuentra en la optimización numérica . El problema consiste en minimizar (o maximizar) funciones de un vector que suele tener muchas dimensiones. Muchos problemas pueden formularse de esta manera: por ejemplo, un programa de ajedrez por ordenador podría considerarse como un intento de encontrar el conjunto de, digamos, 10 movimientos que produzca la mejor función de evaluación al final. En el problema del viajante, el objetivo es minimizar la distancia recorrida. También existen aplicaciones en el diseño de ingeniería, como la optimización de diseño multidisciplinar . Se ha aplicado con modelos cuasi-unidimensionales para resolver problemas de dinámica de partículas mediante la exploración eficiente de un amplio espacio de configuración. La referencia [ 101 ] es una revisión exhaustiva de muchos temas relacionados con la simulación y la optimización.

El problema del viajante es lo que se denomina un problema de optimización convencional. Es decir, se conocen con certeza todos los datos (distancias entre cada punto de destino) necesarios para determinar la ruta óptima, y ​​el objetivo es recorrer las posibles opciones de viaje para encontrar la que presente la menor distancia total. Si en lugar de minimizar la distancia total recorrida para visitar cada destino, se busca minimizar el tiempo total necesario para llegar a cada uno, esto va más allá de la optimización convencional, ya que el tiempo de viaje es inherentemente incierto (atascos, hora del día, etc.). En consecuencia, para determinar la ruta óptima se requiere una simulación diferente: una optimización para comprender primero el rango de tiempos potenciales que podría tomar ir de un punto a otro (representado en este caso por una distribución de probabilidad en lugar de una distancia específica) y luego optimizar las decisiones de viaje para identificar la mejor ruta a seguir teniendo en cuenta esa incertidumbre.

Problemas inversos

La formulación probabilística de problemas inversos conduce a la definición de una distribución de probabilidad en el espacio del modelo. Esta distribución combina información previa con información nueva obtenida mediante la medición de parámetros observables (datos). Dado que, en general, la teoría que relaciona los datos con los parámetros del modelo es no lineal, la probabilidad posterior en el espacio del modelo puede ser difícil de describir (puede ser multimodal, algunos momentos pueden no estar definidos, etc.).

Al analizar un problema inverso, obtener un modelo de máxima verosimilitud no suele ser suficiente, ya que normalmente se requiere información sobre la capacidad de resolución de los datos. En general, se modelan muchos parámetros, y la inspección de las densidades de probabilidad marginales de interés puede resultar poco práctica, o incluso inútil. Sin embargo, es posible generar pseudoaleatoriamente una amplia colección de modelos según la distribución de probabilidad posterior , y analizarlos y visualizarlos de manera que se transmita al observador información sobre las probabilidades relativas de las propiedades del modelo. Esto se puede lograr mediante un método de Monte Carlo eficiente, incluso cuando no se dispone de una fórmula explícita para la distribución a priori .

El método de muestreo de importancia más conocido, el algoritmo de Metropolis, puede generalizarse, lo que da lugar a un método que permite el análisis de problemas inversos (posiblemente altamente no lineales) con información a priori compleja y datos con una distribución de ruido arbitraria. [ 102 ] [ 103 ]

Filosofía

McCracken realizó una divulgación popular del método de Montecarlo. [ 104 ] Elishakoff [ 105 ] y Grüne-Yanoff y Weirich [ 106 ] analizaron la filosofía general del método.

Véase también

Referencias

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