Método de Monte Carlo multinivel

Los métodos de Monte Carlo multinivel (MLMC) en análisis numérico son algoritmos para calcular las expectativas que surgen en simulaciones estocásticas . Al igual que los métodos de Monte Carlo , se basan en el muestreo aleatorio repetido , pero estas muestras se toman con diferentes niveles de precisión. Los métodos MLMC pueden reducir considerablemente el costo computacional de los métodos de Monte Carlo estándar al tomar la mayoría de las muestras con baja precisión y, por consiguiente, bajo costo, y solo unas pocas muestras se toman con alta precisión y, por consiguiente, alto costo.

El objetivo de un método de Monte Carlo multinivel es aproximar el valor esperado.${\displaystyle \operatorname {E} [G]}$de la variable aleatoria${\displaystyle G}$ese es el resultado de una simulación estocástica . Supongamos que esta variable aleatoria no se puede simular exactamente, pero hay una secuencia de aproximaciones.${\displaystyle G_{0},G_{1},\ldots ,G_{L}}$con una precisión cada vez mayor, pero también con un coste cada vez mayor, que converge a${\displaystyle G}$como${\displaystyle L\rightarrow \infty }$. La base del método multinivel es la identidad de suma telescópica , ^{[ 1 ]}

${\displaystyle \operatorname {E} [G_{L}]=\operatorname {E} [G_{0}]+\sum _{\ell =1}^{L}\operatorname {E} [G_{\ell }-G_{\ell -1}],}$

que se satisface trivialmente debido a la linealidad del operador de esperanza. Cada una de las esperanzas${\displaystyle \operatorname {E} [G_{\ell }-G_{\ell -1}]}$Luego se aproxima mediante un método de Monte Carlo, lo que da como resultado el método de Monte Carlo multinivel. Nótese que al tomar una muestra de la diferencia${\displaystyle G_{\ell }-G_{\ell -1}}$en el nivel${\displaystyle \ell }$requiere una simulación de ambos${\displaystyle G_{\ell }}$y${\displaystyle G_{\ell -1}}$.

El método MLMC funciona si las varianzas${\displaystyle \operatorname {V} [G_{\ell }-G_{\ell -1}]\rightarrow 0}$como${\displaystyle \ell \rightarrow \infty }$, lo cual ocurrirá si ambos${\displaystyle G_{\ell }}$y${\displaystyle G_{\ell -1}}$aproximar la misma variable aleatoria${\displaystyle G}$Según el Teorema del Límite Central , esto implica que se necesitan cada vez menos muestras para aproximar con precisión la esperanza de la diferencia.${\displaystyle G_{\ell }-G_{\ell -1}}$como${\displaystyle \ell \rightarrow \infty }$Por lo tanto, la mayoría de las muestras se tomarán en el nivel${\displaystyle 0}$donde las muestras son baratas y solo se requerirán muy pocas muestras al nivel más fino.${\displaystyle L}$En este sentido, MLMC puede considerarse como una estrategia de variable de control recursiva .

La primera aplicación de MLMC se atribuye a Mike Giles, ^{[ 2 ]} en el contexto de ecuaciones diferenciales estocásticas (EDE) para la valoración de opciones ; sin embargo, se encuentran rastros anteriores en el trabajo de Heinrich en el contexto de la integración paramétrica. ^{[ 3 ]} Aquí, la variable aleatoria${\displaystyle G=f(X(T))}$se conoce como la función de pago y la secuencia de aproximaciones${\displaystyle G_{\ell }}$,${\displaystyle \ell =0,\ldots ,L}$utilizar una aproximación a la trayectoria de la muestra${\displaystyle X(t)}$con paso de tiempo${\displaystyle h_{\ell }=2^{-\ell }T}$.

La aplicación de MLMC a problemas de cuantificación de la incertidumbre (UQ) es un área de investigación activa. ^{[ 4 ] [ 5 ]} Un ejemplo prototípico importante de estos problemas son las ecuaciones diferenciales parciales (EDP) con coeficientes aleatorios . En este contexto, la variable aleatoria${\displaystyle G}$se conoce como la cantidad de interés, y la secuencia de aproximaciones corresponde a una discretización de la EDP con diferentes tamaños de malla.

A continuación se presenta en pseudocódigo un algoritmo sencillo de adaptación de nivel para la simulación MLMC.

${\displaystyle L\gets 0}$repetir Tomar muestras de calentamiento en el nivel${\displaystyle L}$ Calcula la varianza de la muestra en todos los niveles.${\displaystyle \ell =0,\ldots ,L}$ Defina el número óptimo de muestras.${\displaystyle N_{\ell }}$en todos los niveles${\displaystyle \ell =0,\ldots ,L}$ Tomar muestras adicionales en cada nivel${\displaystyle \ell }$de acuerdo a${\displaystyle N_{\ell }}$si${\displaystyle L\geq 2}$entonces Prueba de convergencia fin si no converge entonces${\displaystyle L\gets L+1}$fin hasta que convergiera

Las extensiones recientes del método de Monte Carlo multinivel incluyen el Monte Carlo multiíndice, ^{[ 6 ]} donde se considera más de una dirección de refinamiento, y la combinación de MLMC con el método cuasi-Monte Carlo . ^{[ 7 ] [ 8 ]}

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