Serie telescópica

En matemáticas , una serie telescópica es una serie cuyo término general${\displaystyle t_{n}}$es de la forma${\displaystyle t_{n}=a_{n+1}-a_{n}}$es decir, la diferencia entre dos términos consecutivos de una secuencia.${\displaystyle (a_{n})}$. Como consecuencia, las sumas parciales de la serie solo constan de dos términos de${\displaystyle (a_{n})}$después de la cancelación. ^{[ 1 ] [ 2 ]}

La técnica de cancelación, en la que una parte de cada término se cancela con una parte del término siguiente, se conoce como el método de las diferencias .

Una formulación temprana de la fórmula para la suma o sumas parciales de una serie telescópica se puede encontrar en una obra de 1644 de Evangelista Torricelli , De dimensione parabolae . ^{[ 3 ]}

Las sumas telescópicas son sumas finitas en las que pares de términos consecutivos se cancelan parcialmente entre sí, dejando solo partes de los términos inicial y final. ^{[ 1 ] [ 4 ]} Sea${\displaystyle a_{n}}$sean los elementos de una secuencia de números. Entonces $${\displaystyle \sum _{n=1}^{N}\left(a_{n}-a_{n-1}\right)=a_{N}-a_{0}.}$$ Si${\displaystyle a_{n}}$converge a un límite${\displaystyle L}$La serie telescópica ofrece: $${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\left(a_{n}-a_{n-1}\right)=L-a_{0}.}$$

Cada serie es una serie telescópica de sus propias sumas parciales. ^{[ 5 ]}

• El producto de una serie geométrica finita con término inicial${\displaystyle a}$y razón común${\displaystyle r}$por el factor${\displaystyle (1-r)}$produce una suma telescópica: ^{[ 6 ]}$${\displaystyle (1-r)\sum _ {k=0}^{n}ar^{k}=\sum _ {k=0}^{n}\left(ar^{k}-ar^{k+1}\right)=a-ar^{n+1}}$$Cuando${\displaystyle |r|<1}$, esto permite un cálculo directo de su límite como${\displaystyle n\rightarrow \infty }$y implica: ^{[ 7 ]}$${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }ar^{k}={\frac {a}{1-r}}.}$$

• La serie$${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n(n+1)}}}$$es la serie de recíprocos de números prónicos , y se reconoce como una serie telescópica una vez reescrita en forma de fracción parcial ^{[ 1 ].}$${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n(n+1)}}&=\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {1}{n}}-{\frac {1}{n+1}}\right)\\&=\lim _{N\to \infty }\sum _{n=1}^{N}\left({\frac {1}{n}}-{\frac {1}{n+1}}\right)\\&=\lim _{N\to \infty }\left\lbrack {\left(1-{\frac {1}{2}}\right)+\left({\frac {1}{2}}-{\frac {1}{3}}\right)+\cdots +\left({\frac {1}{N}}-{\frac {1}{N+1}}\right)}\right\rbrack \\&=\lim _{N\to \infty }\left\lbrack {1+\left(-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}\right)+\left(-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{3}}\right)+\cdots +\left(-{\frac {1}{N}}+{\frac {1}{N}}\right)-{\frac {1}{N+1}}}\right\rbrack \\&=\lim _{N\to \infty }\left\lbrack {1-{\frac {1}{N+1}}}\right\rbrack =1.\end{aligned}}}$$

• Sea k un entero positivo. Entonces$${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n(n+k)}}={\frac {H_{k}}{k}}}$$donde H _k es el k- ésimo número armónico .

• Sean k y m con k${\displaystyle \neq }$Sea m un entero positivo. Entonces$${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{(n+k)(n+k+1)\dots (n+m-1)(n+m)}}={\frac {1}{mk}}\cdot {\frac {k!}{m!}}}$$dónde${\displaystyle$ !} denota la operación factorial .

• Muchas funciones trigonométricas también admiten representación como diferencias, lo que puede revelar una cancelación telescópica entre los términos consecutivos. Usando la identidad de suma de ángulos para un producto de senos,$${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n=1}^{N}\sin \left(n\right)&{}=\sum _{n=1}^{N}{\frac {1}{2}}\csc \left({\frac {1}{2}}\right)\left(2\sin \left({\frac {1}{2}}\right)\sin \left(n\right)\right)\\&{}={\frac {1}{2}}\csc \left({\frac {1}{2}}\right)\sum _{n=1}^{N}\left(\cos \left({\frac {2n-1}{2}}\right)-\cos \left({\frac {2n+1}{2}}\right)\right)\\&{}={\frac {1}{2}}\csc \left({\frac {1}{2}}\right)\left(\cos \left({\frac {1}{2}}\right)-\cos \left({\frac {2N+1}{2}}\right)\right),\end{aligned}}}$$que no converge como${\textstyle N\rightarrow \infty .}$

En teoría de la probabilidad , un proceso de Poisson es un proceso estocástico cuyo caso más simple involucra "ocurrencias" en tiempos aleatorios, el tiempo de espera hasta la siguiente ocurrencia con una distribución exponencial sin memoria , y el número de "ocurrencias" en cualquier intervalo de tiempo con una distribución de Poisson cuyo valor esperado es proporcional a la duración del intervalo de tiempo. Sea X _t el número de "ocurrencias" antes del tiempo t , y sea T _x el tiempo de espera hasta la x -ésima "ocurrencia". Buscamos la función de densidad de probabilidad de la variable aleatoria T _x . Usamos la función de masa de probabilidad para la distribución de Poisson, que nos dice que

${\displaystyle \Pr(X_{t}=x)={\frac {(\lambda t)^{x}e^{-\lambda t}}{x!}},}$

donde λ es el número promedio de ocurrencias en cualquier intervalo de tiempo de longitud 1. Observe que el evento { X _t ≥ x} es el mismo que el evento { T _x ≤ t }, y por lo tanto tienen la misma probabilidad. Intuitivamente, si algo ocurre al menos${\displaystyle x}$tiempos antes del tiempo${\displaystyle t}$, tenemos que esperar como máximo${\displaystyle t}$para el${\displaystyle x}$La ocurrencia. Por lo tanto, la función de densidad que buscamos es

${\displaystyle {\begin{aligned}f(t)&={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\Pr(T_{x}\leq t)\\&={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\Pr(X_{t}\geq x)\\&={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}(1-\Pr(X_{t}\leq x-1))\\&={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left(1-\sum _{u=0}^{x-1}\Pr(X_{t}=u)\right)\\&={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left(1-\sum _{u=0}^{x-1}{\frac {(\lambda t)^{u}e^{-\lambda t}}{u!}}\right)\\&=\lambda e^{-\lambda t}-e^{-\lambda t}\sum _{u=1}^{x-1}\left({\frac {\lambda ^{u}t^{u-1}}{(u-1)!}}-{\frac {\lambda ^{u+1}t^{u}}{u!}}\right)\end{aligned}}}$

La suma de los telescopios, dejando

${\displaystyle f(t)={\frac {\lambda ^{x}t^{x-1}e^{-\lambda t}}{(x-1)!}}.}$

Para otras aplicaciones, consulte:

• Demostración de que la suma de los recíprocos de los números primos diverge , donde una de las demostraciones utiliza una suma telescópica;
• Teorema fundamental del cálculo , un análogo continuo de las series telescópicas;
• Estadística de orden , donde se produce una suma telescópica en la derivación de una función de densidad de probabilidad;
• Teorema del punto fijo de Lefschetz , donde surge una suma telescópica en topología algebraica ;
• Teoría de la homología , concepto en topología algebraica;
• Estafa de Eilenberg-Mazur , donde se produce una suma telescópica de nudos;
• Algoritmo de Faddeev-LeVerrier .

Un producto telescópico es un producto finito (o el producto parcial de un producto infinito) que puede cancelarse mediante el método de cocientes para quedar finalmente con un número finito de factores. ^{[ 8 ] [ 9 ]} Son los productos finitos en los que los términos consecutivos cancelan el denominador con el numerador, dejando solo los términos inicial y final. Sea${\displaystyle a_{n}}$Sea una secuencia de números. Entonces, $${\displaystyle \prod _{n=1}^{N}{\frac {a_{n-1}}{a_{n}}}={\frac {a_{0}}{a_{N}}}.}$$ Si${\displaystyle a_{n}}$cuando converge a 1, el producto resultante da: $${\displaystyle \prod _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n-1}}{a_{n}}}=a_{0}}$$

Por ejemplo, el producto infinito ^{[ 8 ]}$${\displaystyle \prod _{n=2}^{\infty }\left(1-{\frac {1}{n^{2}}}\right)}$$ se simplifica como $${\displaystyle {\begin{aligned}\prod _{n=2}^{\infty }\left(1-{\frac {1}{n^{2}}}\right)&=\prod _{n=2}^{\infty }{\frac {(n-1)(n+1)}{n^{2}}}\\&=\lim _{N\to \infty }\prod _{n=2}^{N}{\frac {n-1}{n}}\times \prod _{n=2}^{N}{\frac {n+1}{n}}\\&=\lim _{N\to \infty }\left\lbrack {{\frac {1}{2}}\times {\frac {2}{3}}\times {\frac {3}{4}}\times \cdots \times {\frac {N-1}{N}}}\right\rbrack \times \left\lbrack {{\frac {3}{2}}\times {\frac {4}{3}}\times {\frac {5}{4}}\times \cdots \times {\frac {N}{N-1}}\times {\frac {N+1}{N}}}\right\rbrack \\&=\lim _{N\to \infty }\left\lbrack {\frac {1}{2}}\right\rbrack \times \left\lbrack {\frac {N+1}{N}}\right\rbrack \\&={\frac {1}{2}}\times \lim _{N\to \infty }\left\lbrack {\frac {N+1}{N}}\right\rbrack \\&={\frac {1}{2}}.\end{aligned}}}$$