Variables de control

El método de variables de control es una técnica de reducción de varianza utilizada en los métodos de Monte Carlo . Aprovecha la información sobre los errores en las estimaciones de cantidades conocidas para reducir el error de la estimación de una cantidad desconocida. ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]}

Sea el parámetro desconocido de interés , y supongamos que tenemos un estadístico tal que el valor esperado de m es μ : , es decir, m es un estimador insesgado de μ . Supongamos que calculamos otro estadístico tal que es un valor conocido. Entonces${\displaystyle \mu }$${\displaystyle m}$${\displaystyle \mathbb {E} \left[m\right]=\mu }$${\displaystyle t}$${\displaystyle \mathbb {E} \left[t\right]=\tau }$

${\displaystyle m^{\star }=m+c\left(t-\tau \right)\,}$

También es un estimador insesgado para cualquier elección del coeficiente . La varianza del estimador resultante es${\displaystyle \mu }$${\displaystyle c}$${\displaystyle m^{\star }}$

${\displaystyle {\textrm {Var}}\left(m^{\star }\right)={\textrm {Var}}\left(m\right)+c^{2}\,{\textrm {Var}}\left(t\right)+2c\,{\textrm {Cov}}\left(m,t\right).}$

Al diferenciar la expresión anterior con respecto a , se puede demostrar que al elegir el coeficiente óptimo${\displaystyle c}$

${\displaystyle c^{\star }=-{\frac {{\textrm {Cov}}\left(m,t\right)}{{\textrm {Var}}\left(t\right)}}}$

minimiza la varianza de . (Tenga en cuenta que este coeficiente es el mismo que el coeficiente obtenido de una regresión lineal ). Con esta elección,${\displaystyle m^{\star }}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\textrm {Var}}\left(m^{\star }\right)&={\textrm {Var}}\left(m\right)-{\frac {\left[{\textrm {Cov}}\left(m,t\right)\right]^{2}}{{\textrm {Var}}\left(t\right)}}\\&=\left(1-\rho _{m,t}^{2}\right){\textrm {Var}}\left(m\right)\end{aligned}}}$

dónde

${\displaystyle \rho _{m,t}={\textrm {Corr}}\left(m,t\right)\,}$

es el coeficiente de correlación de y . Cuanto mayor sea el valor de , mayor será la reducción de la varianza lograda.${\displaystyle m}$${\displaystyle t}$${\displaystyle \vert \rho _{m,t}\vert }$

En caso de que , , y/o sean desconocidos, pueden estimarse a través de las réplicas de Monte Carlo. Esto equivale a resolver un cierto sistema de mínimos cuadrados ; por lo tanto, esta técnica también se conoce como muestreo de regresión .${\displaystyle {\textrm {Cov}}\left(m,t\right)}$${\displaystyle {\textrm {Var}}\left(t\right)}$${\displaystyle \rho _{m,t}\;}$

Cuando la esperanza de la variable de control, , no se conoce analíticamente, aún es posible aumentar la precisión en la estimación (para un presupuesto de simulación fijo dado), siempre que se cumplan las dos condiciones: 1) evaluar es significativamente más barato que calcular ; 2) la magnitud del coeficiente de correlación es cercana a la unidad. ^{[ 3 ]}${\displaystyle \mathbb {E} \left[t\right]=\tau }$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle t}$${\displaystyle m}$${\displaystyle |\rho _{m,t}|}$

Nos gustaría estimar

${\displaystyle I=\int _{0}^{1}{\frac {1}{1+x}}\,\mathrm {d} x}$

utilizando la integración de Monte Carlo . Esta integral es el valor esperado de , donde${\displaystyle f(U)}$

${\displaystyle f(U)={\frac {1}{1+U}}}$

y U sigue una distribución uniforme  [0,  1]. Usando una muestra de tamaño n, denotemos los puntos de la muestra como . Entonces, la estimación viene dada por${\displaystyle u_{1},\cdots ,u_{n}}$

${\displaystyle I\approx {\frac {1}{n}}\sum _{i}f(u_{i}).}$

Ahora introducimos una variable de control con un valor esperado conocido y combinamos ambas en una nueva estimación.${\displaystyle g(U)=1+U}$${\displaystyle \mathbb {E} \left[g\left(U\right)\right]=\int _{0}^{1}(1+x)\,\mathrm {d} x={\tfrac {3}{2}}}$

${\displaystyle I\approx {\frac {1}{n}}\sum _{i}f(u_{i})+c\left({\frac {1}{n}}\sum _{i}g(u_{i})-3/2\right).}$

Utilizando realizaciones y un coeficiente óptimo estimado, obtenemos los siguientes resultados.${\displaystyle n=1500}$${\displaystyle c^{\star }\approx 0.4773}$

La varianza se redujo significativamente después de utilizar la técnica de variables de control. (El resultado exacto es .)${\displaystyle I=\ln 2\approx 0.69314718}$

• variantes antitéticas
• Muestreo de importancia

• Ross, Sheldon M. (2002) Simulación, 3.ª edición ISBN 978-0-12-598053-1
• Averill M. Law y W. David Kelton (2000), Modelado y análisis de simulación , 3.ª edición. ISBN 0-07-116537-1
• SP Meyn (2007) Técnicas de control para redes complejas , Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-88441-9Borrador descargable ( Sección 11.4: Variables de control y funciones sombra)