Sistema de partículas interactuantes

En teoría de la probabilidad , un sistema de partículas interactuantes ( IPS ) es un proceso estocástico.${\displaystyle (X(t))_{t\in \mathbb {R} ^{+}}}$en algún espacio de configuración${\displaystyle \Omega =S^{G}}$dado por un espacio de sitio, un grafo de orden infinitamente numerable${\displaystyle G}$y un espacio de estado local, un espacio métrico compacto${\displaystyle S}$Más precisamente, los IPS son procesos de salto de Markov en tiempo continuo que describen el comportamiento colectivo de componentes que interactúan estocásticamente. Los IPS son el análogo en tiempo continuo de los autómatas celulares estocásticos .

Entre los principales ejemplos se encuentran el modelo de votante , el proceso de contacto , el proceso de exclusión simple asimétrico (ASEP), la dinámica de Glauber y, en particular, el modelo estocástico de Ising .

Los IPS se definen generalmente mediante su generador de Markov, que da lugar a un proceso de Markov único utilizando semigrupos de Markov y el teorema de Hille-Yosida . El generador, a su vez, viene dado por las llamadas tasas de transición.${\displaystyle c_{\Lambda }(\eta ,\xi )>0}$dónde${\displaystyle \Lambda \subset G}$es un conjunto finito de sitios y${\displaystyle \eta ,\xi \in \Omega }$con${\displaystyle \eta _{i}=\xi _{i}}$a pesar de${\displaystyle i\notin \Lambda }$Las tasas describen tiempos de espera exponenciales del proceso para saltar de una configuración a otra.${\displaystyle \eta }$en configuración${\displaystyle \xi }$De forma más general, las tasas de transición se dan en forma de una medida finita.${\displaystyle c_{\Lambda }(\eta ,d\xi )}$en${\displaystyle S^{\Lambda }}$.

El generador${\displaystyle L}$de un IPS tiene la siguiente forma. Primero, el dominio de${\displaystyle L}$es un subconjunto del espacio de "observables", es decir, el conjunto de funciones continuas de valor real en el espacio de configuración.${\displaystyle \Omega }$. Entonces, para cualquier observable${\displaystyle f}$en el dominio de${\displaystyle L}$, uno tiene

${\displaystyle Lf(\eta )=\sum _{\Lambda }\int _{\xi$ :\xi _{\Lambda ^{c}}=\eta _{\Lambda ^{c}}}c_{\Lambda }(\eta ,d\xi )[f(\xi )-f(\eta )]} .

Por ejemplo, para el modelo de Ising estocástico tenemos${\displaystyle G=\mathbb {Z} ^{d}}$,${\displaystyle S=\{-1,+1\}}$,${\displaystyle c_{\Lambda }=0}$si${\displaystyle \Lambda \neq \{i\}}$para algunos${\displaystyle i\in G}$y

${\displaystyle c_{i}(\eta ,\eta ^{i})=\exp[-\beta \sum _{j:|j-i|=1}\eta _{i}\eta _{j}]}$

dónde${\displaystyle \eta ^{i}}$¿La configuración es igual a?${\displaystyle \eta }$excepto que se voltea en el sitio${\displaystyle i}$.${\displaystyle \beta }$es un nuevo parámetro que modela la temperatura inversa.

El modelo de votante (generalmente en tiempo continuo, pero también existen versiones discretas) es un proceso similar al proceso de contacto . En este proceso${\displaystyle \eta (x)}$Se considera que representa la actitud de un votante sobre un tema en particular. Los votantes reconsideran sus opiniones en momentos distribuidos según variables aleatorias exponenciales independientes (esto da lugar a un proceso de Poisson localmente; cabe señalar que, en general, hay infinitos votantes, por lo que no se puede utilizar un proceso de Poisson global). En los momentos de reconsideración, un votante elige a un vecino de forma uniforme entre todos los vecinos y toma en cuenta su opinión. El proceso se puede generalizar permitiendo que la selección de vecinos no sea uniforme.

• Clifford, Peter; Aidan Sudbury (1973). "Un modelo para el conflicto espacial". Biometrika . 60 (3): 581– 588. doi : 10.1093/biomet/60.3.581 .
• Durrett, Richard ; Jeffrey E. Steif (1993). "Resultados de fijación para sistemas de votación de umbral" . The Annals of Probability . 21 (1): 232– 247. doi : 10.1214/aop/1176989403 .
• Holley, Richard A.; Thomas M. Liggett (1975). "Teoremas ergódicos para sistemas infinitos de interacción débil y el modelo del votante" . The Annals of Probability . 3 (4): 643– 663. doi : 10.1214/aop/1176996306 .
• Steif, Jeffrey E. (1994). "El autómata votante umbral en un punto crítico" . The Annals of Probability . 22 (3): 1121– 1139. doi : 10.1214/aop/1176988597 .
• Liggett, Thomas M. (1997). "Modelos estocásticos de sistemas interactuantes" . The Annals of Probability . 25 (1). Institute of Mathematical Statistics: 1– 29. doi : 10.1214/aop/1024404276 . ISSN 0091-1798 . 
• Liggett, Thomas M. (1985). Sistemas de partículas interactuantes . Nueva York: Springer Verlag. ISBN 0-387-96069-4.