Función indicadora

En matemáticas , una función indicadora o una función característica de un subconjunto de un conjunto es una función que asigna a los elementos del subconjunto el valor uno, y a todos los demás elementos el valor cero. Es decir, si A es un subconjunto de algún conjunto X , entonces la función indicadora de A es la función${\displaystyle \mathbf {1} _{A}}$definido por${\displaystyle \mathbf {1} _{A}\!(x)=1}$si${\displaystyle x\in A,}$y${\displaystyle \mathbf {1} _{A}\!(x)=0}$de lo contrario. Otras notaciones comunes son 𝟙 _A y${\displaystyle \chi _{A}.}$^{[ a ]}

La función indicadora de A es el corchete de Iverson de la propiedad de pertenecer a A ; es decir,

$${\displaystyle \mathbf {1} _{A}(x)=\left[\ x\in A\ \right].}$$

Por ejemplo, la función de Dirichlet es la función indicadora de los números racionales como subconjunto de los números reales .

Dado un conjunto arbitrario X , la función indicadora de un subconjunto A de X es la función $${\displaystyle \mathbf {1} _{A}\colon X\rightarrow \{0,1\}}$$ definido por $${\displaystyle \operatorname {\mathbf {1} } _{A}\!(x)={\begin{cases}1&{\text{if }}x\in A\\0&{\text{if }}x\notin A\,.\end{cases}}}$$

El corchete de Iverson proporciona la notación equivalente.${\displaystyle \left[\ x\in A\ \right]}$o ⟦ x ∈ A ⟧ , que se puede utilizar en lugar de${\displaystyle \mathbf {1} _{A}\!(x).}$

La función${\displaystyle \mathbf {1} _{A}}$a veces se denota 𝟙 _A , I _A , χ _A ^{[ a ]} ​​o incluso simplemente A . ^{[ b ]}

La notación${\displaystyle \chi _{A}}$También se utiliza para denotar la función característica en el análisis convexo , que se define como si se utilizara el recíproco de la definición estándar de la función indicadora.

Un concepto relacionado en estadística es el de variable ficticia . (Esto no debe confundirse con las "variables ficticias" que se usan habitualmente en matemáticas, también llamadas variables ligadas ).

El término " función característica " tiene un significado distinto en la teoría clásica de la probabilidad . Por esta razón, los probabilistas tradicionales utilizan casi exclusivamente el término función indicadora para la función aquí definida, mientras que los matemáticos de otros campos tienden a usar el término función característica para describir la función que indica la pertenencia a un conjunto.

En la lógica difusa y la lógica multivaluada moderna , los predicados son las funciones características de una distribución de probabilidad . Es decir, la valoración estricta de verdadero/falso del predicado se reemplaza por una cantidad interpretada como el grado de verdad.

La función indicadora o característica de un subconjunto A de un conjunto X asigna elementos de X al codominio.${\displaystyle \{0,\,1\}.}$

Esta aplicación es sobreyectiva solo cuando A es un subconjunto propio no vacío de X.${\displaystyle A=X,}$entonces${\displaystyle \mathbf {1} _{A}\equiv 1.}$Por un argumento similar, si${\displaystyle A=\emptyset }$entonces${\displaystyle \mathbf {1} _{A}\equiv 0.}$

Si${\displaystyle A}$y${\displaystyle B}$son dos subconjuntos de${\displaystyle X,}$entonces $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {1} _{A\cap B}(x)~&=~\min {\bigl \{}\mathbf {1} _{A}(x),\ \mathbf {1} _{B}(x){\bigr \}}~~=~\mathbf {1} _{A}(x)\cdot \mathbf {1} _{B}(x),\\\mathbf {1} _{A\cup B}(x)~&=~\max {\bigl \{}\mathbf {1} _{A}(x),\ \mathbf {1} _{B}(x){\bigr \}}~=~\mathbf {1} _{A}(x)+\mathbf {1} _{B}(x)-\mathbf {1} _{A}(x)\cdot \mathbf {1} _{B}(x)\,,\end{aligned}}}$$

y la función indicadora del complemento de${\displaystyle A}$es decir${\displaystyle A^{\complement }}$es: $${\displaystyle \mathbf {1} _{A^{\complement }}=1-\mathbf {1} _{A}.}$$

De forma más general, supongamos que${\displaystyle A_{1},\dotsc ,A_{n}}$es una colección de subconjuntos de X. Para cualquier${\displaystyle x\in X:}$

$${\displaystyle \prod _{k\in I}\left(\ 1-\mathbf {1} _{A_{k}}\!\left(x\right)\ \right)}$$

es un producto de 0 y 1. Este producto tiene el valor 1 precisamente en esos${\displaystyle x\in X}$que no pertenecen a ninguno de los conjuntos${\displaystyle A_{k}}$y es 0 en caso contrario. Es decir

$${\displaystyle \prod _{k\in I}(1-\mathbf {1} _{A_{k}})=\mathbf {1} _{X-\bigcup _{k}A_{k}}=1-\mathbf {1} _{\bigcup _{k}A_{k}}.}$$

Ampliando el producto en el lado izquierdo,

$${\displaystyle \mathbf {1} _{\bigcup _{k}A_{k}}=1-\sum _{F\subseteq \{1,2,\dotsc ,n\}}(-1)^{|F|}\mathbf {1} _{\bigcap _{F}A_{k}}=\sum _{\emptyset \neq F\subseteq \{1,2,\dotsc ,n\}}(-1)^{|F|+1}\mathbf {1} _{\bigcap _{F}A_{k}}}$$

dónde${\displaystyle |F|}$es la cardinalidad de F. Esta es una forma del principio de inclusión-exclusión .

Como sugiere el ejemplo anterior, la función indicadora es un dispositivo de notación útil en combinatoria . La notación también se utiliza en otros lugares, por ejemplo en teoría de la probabilidad : si X es un espacio de probabilidad con medida de probabilidad${\displaystyle \mathbb {P} }$y A es un conjunto medible , entonces${\displaystyle \mathbf {1} _{A}}$se convierte en una variable aleatoria cuyo valor esperado es igual a la probabilidad de A :

$${\displaystyle \operatorname {\mathbb {E} } _{X}\left\{\ \mathbf {1} _{A}(x)\ \right\}\ =\ \int _{X}\mathbf {1} _{A}(x)\ \operatorname {d\ \mathbb {P} } (x)=\int _{A}\operatorname {d\ \mathbb {P} } (x)=\operatorname {\mathbb {P} } (A).}$$

Esta identidad se utiliza en una demostración sencilla de la desigualdad de Markov .

En muchos casos, como en la teoría del orden , se puede definir la inversa de la función indicadora. Esta se conoce comúnmente como la función de Möbius generalizada , una generalización de la inversa de la función indicadora en la teoría elemental de números , la función de Möbius . (Véase el párrafo siguiente sobre el uso de la inversa en la teoría clásica de la recursión).

Dado un espacio de probabilidad${\displaystyle \textstyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\operatorname {P} )}$con${\displaystyle A\in {\mathcal {F}},}$la variable aleatoria indicadora${\displaystyle \mathbf {1} _{A}\colon \Omega \rightarrow \mathbb {R} }$se define por${\displaystyle \mathbf {1} _{A}(\omega )=1}$si${\displaystyle \omega \in A,}$de lo contrario${\displaystyle \mathbf {1} _{A}(\omega )=0.}$

Significar

${\displaystyle \ \operatorname {\mathbb {E} } (\mathbf {1} _{A}(\omega ))=\operatorname {\mathbb {P} } (A)\ }$(también llamado "Puente Fundamental").

Diferencia

${\displaystyle \ \operatorname {Var} (\mathbf {1} _{A}(\omega ))=\operatorname {\mathbb {P} } (A)(1-\operatorname {\mathbb {P} } (A)).}$

Covarianza

${\displaystyle \ \operatorname {Cov} (\mathbf {1} _{A}(\omega ),\mathbf {1} _{B}(\omega ))=\operatorname {\mathbb {P} } (A\cap B)-\operatorname {\mathbb {P} } (A)\operatorname {\mathbb {P} } (B).}$

Kurt Gödel describió la función de representación en su artículo de 1934 "Sobre proposiciones indecidibles de sistemas matemáticos formales" (el símbolo " ¬ " indica inversión lógica, es decir, "NO"): ^{[ 1 ] : 42}

A cada clase o relación R le corresponderá una función representativa.${\displaystyle \phi (x_{1},\ldots x_{n})=0}$si${\displaystyle R(x_{1},\ldots x_{n})}$y${\displaystyle \phi (x_{1},\ldots x_{n})=1}$si${\displaystyle \neg R(x_{1},\ldots x_{n}).}$

Kleene ofrece la misma definición en el contexto de las funciones recursivas primitivas como una función φ de un predicado P que toma los valores 0 si el predicado es verdadero y 1 si el predicado es falso. ^{[ 2 ]}

Por ejemplo, porque el producto de funciones características${\displaystyle \phi _{1}*\phi _{2}*\cdots *\phi _{n}=0}$Siempre que cualquiera de las funciones sea igual a 0 , desempeña el papel de OR lógico: IF${\displaystyle \phi _{1}=0\ }$O${\displaystyle \ \phi _{2}=0}$O... O${\displaystyle \phi _{n}=0}$ENTONCES su producto es 0. Lo que para el lector moderno parece la inversión lógica de la función representativa, es decir, que la función representativa es 0 cuando la función R es "verdadera" o se satisface, desempeña un papel útil en la definición de Kleene de las funciones lógicas OR, AND e IMPLY, ^{[ 2 ] : 228} los operadores mu acotados ^{[ 2 ] : 228} y no acotados ^{[ 2 ] : 279} y la función CASE. ^{[ 2 ] : 229}

En matemáticas clásicas, las funciones características de los conjuntos solo toman valores de 1 (miembros) o 0 (no miembros). En la teoría de conjuntos difusos , las funciones características se generalizan para tomar valores en el intervalo unitario real [ 0, 1 ] o, de forma más general, en algún álgebra o estructura (generalmente requerida para ser al menos un conjunto parcialmente ordenado o una retícula ). Estas funciones características generalizadas se denominan comúnmente funciones de pertenencia , y los conjuntos correspondientes se denominan conjuntos difusos . Los conjuntos difusos modelan el cambio gradual en el grado de pertenencia que se observa en muchos predicados del mundo real, como "alto", "cálido", etc.

En general, la función indicadora de un conjunto no es suave; es continua si y solo si su soporte es una componente conexa . Sin embargo, en la geometría algebraica de cuerpos finitos , toda variedad afín admite una función indicadora continua ( Zariski ). ^{[ 3 ]} Dado un conjunto finito de funciones${\displaystyle f_{\alpha }\in \mathbb {F} _{q}\left[\ x_{1},\ldots ,x_{n}\right]}$dejar${\displaystyle V={\bigl \{}\ x\in \mathbb {F} _{q}^{n}:f_{\alpha }(x)=0\ {\bigr \}}}$ser su lugar de desaparición. Entonces, la función${\textstyle \mathbb {P} (x)=\prod \left(\ 1-f_{\alpha }(x)^{q-1}\right)}$actúa como una función indicadora para${\displaystyle V.}$Si${\displaystyle x\in V}$entonces${\displaystyle \mathbb {P} (x)=1,}$de lo contrario, para algunos${\displaystyle f_{\alpha },}$tenemos${\displaystyle f_{\alpha }(x)\neq 0}$lo cual implica que${\displaystyle f_{\alpha }(x)^{q-1}=1,}$por eso${\displaystyle \mathbb {P} (x)=0.}$

Aunque las funciones indicadoras no son suaves, admiten derivadas débiles . Por ejemplo, consideremos la función escalón de Heaviside.$${\displaystyle H(x)\equiv \operatorname {\mathbb {I} } \!{\bigl (}x>0{\bigr )}}$$ La derivada distribucional de la función escalón de Heaviside es igual a la función delta de Dirac , es decir$${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} H(x)}{\mathrm {d} x}}=\delta (x)}$$ y de manera similar la derivada distribucional de$${\displaystyle G(x):=\operatorname {\mathbb {I} } \!{\bigl (}x<0{\bigr )}}$$es$${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} G(x)}{\mathrm {d} x}}=-\delta (x).}$$

Así, la derivada de la función escalón de Heaviside puede verse como la derivada normal interna en el límite del dominio dado por la semirrecta positiva. En dimensiones superiores, la derivada se generaliza naturalmente a la derivada normal interna, mientras que la función escalón de Heaviside se generaliza naturalmente a la función indicadora de algún dominio D. La superficie de D se denotará por S. Procediendo, se puede deducir que la derivada normal interna del indicador da lugar a una función delta de superficie , que puede indicarse mediante${\displaystyle \delta _{S}(\mathbf {x} )}$: $${\displaystyle \delta _{S}(\mathbf {x} )=-\mathbf {n} _{x}\cdot \nabla _{x}\operatorname {\mathbb {I} } \!{\bigl (}\ \mathbf {x} \in D\ {\bigr )}\ }$$ donde n es la normal exterior de la superficie S. Esta 'función delta de superficie' tiene la siguiente propiedad: ^{[ 4 ]}$${\displaystyle -\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(\mathbf {x} )\,\mathbf {n} _{x}\cdot \nabla _{x}\operatorname {\mathbb {I} } \!{\bigl (}\ \mathbf {x} \in D\ {\bigr )}\;\operatorname {d} ^{n}\mathbf {x} =\oint _{S}\,f(\mathbf {\beta } )\;\operatorname {d} ^{n-1}\mathbf {\beta } .}$$

Al establecer la función f igual a uno, se deduce que la derivada normal interna del indicador se integra al valor numérico del área de la superficie S.