Apoyo (matemáticas)

En matemáticas , el soporte de una función de valor real${\displaystyle f}$es el subconjunto del dominio de la función que consta de aquellos elementos que no se asignan a cero. Si el dominio de${\displaystyle f}$es un espacio topológico , entonces el soporte de${\displaystyle f}$En cambio, se define como el conjunto cerrado más pequeño que contiene todos los puntos que no se asignan a cero. Este concepto se utiliza ampliamente en el análisis matemático .

Supongamos que${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} }$es una función de valor real cuyo dominio es un conjunto arbitrario${\displaystyle X.}$Elapoyo de la teoría de conjuntos${\displaystyle f,}$escrito${\displaystyle \operatorname {supp} (f),}$es el conjunto de puntos en${\displaystyle X}$dónde${\displaystyle f}$es distinto de cero: $${\displaystyle \operatorname {supp} (f)=\{x\in X\,:\,f(x)\neq 0\}.}$$

El apoyo de${\displaystyle f}$es el subconjunto más pequeño de${\displaystyle X}$con la propiedad que${\displaystyle f}$es cero en el complemento del subconjunto. Si${\displaystyle f(x)=0}$para todos excepto un número finito de puntos${\displaystyle x\in X,}$entonces${\displaystyle f}$Se dice que tienesoporte finito .

Si el conjunto${\displaystyle X}$tiene una estructura adicional (por ejemplo, una topología ), entonces el soporte de${\displaystyle f}$se define de manera análoga como el subconjunto más pequeño de${\displaystyle X}$de un tipo apropiado tal que${\displaystyle f}$se desvanece en un sentido apropiado en su complemento. La noción de soporte también se extiende de manera natural a funciones que toman valores en conjuntos más generales que${\displaystyle \mathbb {R} }$y a otros objetos, como medidas o distribuciones .

La situación más común se produce cuando${\displaystyle X}$es un espacio topológico (como la recta real o${\displaystyle n}$espacio euclidiano de -dimensiones ) y${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} }$es una función continua de valores reales (o complejos ). En este caso, laapoyo de${\displaystyle f}$,${\displaystyle \operatorname {supp} (f)}$, o elsoporte cerrado de${\displaystyle f}$, se define topológicamente como el cierre (tomado en${\displaystyle X}$) del subconjunto de${\displaystyle X}$dónde${\displaystyle f}$es distinto de cero ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]} es decir, $${\displaystyle \operatorname {supp} (f):=\operatorname {cl} _{X}\left(\{x\in X\,:\,f(x)\neq 0\}\right)={\overline {f^{-1}\left(\{0\}^{\mathrm {c} }\right)}}.}$$Dado que la intersección de conjuntos cerrados es cerrada,${\displaystyle \operatorname {supp} (f)}$es la intersección de todos los conjuntos cerrados que contienen el soporte de teoría de conjuntos de${\displaystyle f.}$Tenga en cuenta que si la función${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\supseteq X\to \mathbb {R} }$se define en un subconjunto abierto${\displaystyle X\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$, entonces el cierre todavía se toma con respecto a${\displaystyle X}$y no con respecto al ambiente${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$.

Por ejemplo, si${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$es la función definida por $${\displaystyle f(x)={\begin{cases}1-x^{2}&{\text{if }}|x|<1\\0&{\text{if }}|x|\geq 1\end{cases}}}$$ entonces${\displaystyle \operatorname {supp} (f)}$, el apoyo de${\displaystyle f}$o el soporte cerrado de${\displaystyle f}$es el intervalo cerrado${\displaystyle [-1,1],}$desde${\displaystyle f}$es distinto de cero en el intervalo abierto${\displaystyle (-1,1)}$y el cierre de este conjunto es${\displaystyle [-1,1].}$

La noción de soporte cerrado se aplica generalmente a funciones continuas, pero la definición tiene sentido para funciones arbitrarias de valores reales o complejos en un espacio topológico, y algunos autores no requieren que${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} }$(o${\displaystyle f:X\to \mathbb {C} }$) ser continuo. ^{[ 4 ]}

Funciones consoporte compacto en un espacio topológico${\displaystyle X}$son aquellos cuyo soporte cerrado es un subconjunto compacto de${\displaystyle X.}$Si${\displaystyle X}$es la línea real, o${\displaystyle n}$Espacio euclidiano de dimensión , entonces una función tiene soporte compacto si y solo si tienesoporte limitado , ya que un subconjunto de${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$es compacto si y solo si es cerrado y acotado.

Por ejemplo, la función${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$La función definida anteriormente es una función continua con soporte compacto.${\displaystyle [-1,1].}$Si${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$entonces es una función suave porque${\displaystyle f}$es idénticamente${\displaystyle 0}$en el subconjunto abierto${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\setminus \operatorname {supp} (f),}$todo${\displaystyle f}$Las derivadas parciales de todos los órdenes también son idénticas.${\displaystyle 0}$en${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\setminus \operatorname {supp} (f).}$

La condición de soporte compacto es más fuerte que la condición de anulación en el infinito . Por ejemplo, la función${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$definido por $${\displaystyle f(x)={\frac {1}{1+x^{2}}}}$$ se desvanece en el infinito, ya que${\displaystyle f(x)\to 0}$como${\displaystyle |x|\to \infty ,}$pero su apoyo${\displaystyle \mathbb {R} }$no es compacto.

Las funciones suaves de soporte compacto y valores reales en un espacio euclidiano se denominan a veces funciones de bulto . Los suavizadores son un caso especial importante de las funciones de bulto, ya que pueden utilizarse en la teoría de la distribución para crear secuencias de funciones suaves que aproximan funciones no suaves (generalizadas) mediante convolución .

En un espacio de Hausdorff localmente compacto, las funciones continuas con soporte compacto son densas en el espacio de funciones continuas que se anulan en el infinito. Como intuición para ejemplos más complejos, y en el lenguaje de los límites , para cualquier${\displaystyle \varepsilon >0,}$cualquier función${\displaystyle f}$en la línea real${\displaystyle \mathbb {R} }$que se desvanece en el infinito puede aproximarse eligiendo un subconjunto compacto apropiado.${\displaystyle C}$de${\displaystyle \mathbb {R} }$de tal manera que $${\displaystyle \left|f(x)-I_{C}(x)f(x)\right|<\varepsilon }$$ a pesar de${\displaystyle x\in X,}$dónde${\displaystyle I_{C}}$es la función indicadora de${\displaystyle C}$Entonces se puede elegir una función de corte continua que se anule fuera de un pequeño engrosamiento de${\displaystyle C}$.

En la teoría de distribuciones , también es cierto que las funciones suaves con soporte compacto son densas en el espacio de funciones de Schwartz . También son densas en todo espacio Lp para${\displaystyle p<\infty }$Por lo tanto, en la mayoría de los casos favorables, las funciones con soporte compacto de la clase apropiada son densas en muchas topologías diferentes, y por ello son fundamentales en el análisis.

Toda función continua en un espacio topológico compacto tiene soporte compacto, ya que todo subconjunto cerrado de un espacio compacto es, de hecho, compacto.

Si${\displaystyle X}$es un espacio de medida topológico con una medida de Borel${\displaystyle \mu }$(como${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$o un subconjunto medible de Lebesgue de${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$equipado con la medida de Lebesgue), entonces normalmente se identifican funciones que son iguales${\displaystyle \mu }$-casi en todas partes. En ese caso, elapoyo esencial de una función medible${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} }$escrito${\displaystyle \operatorname {ess\,supp} (f),}$se define como el subconjunto cerrado más pequeño${\displaystyle F}$de${\displaystyle X}$de tal manera que${\displaystyle f=0}$${\displaystyle \mu }$-casi en todas partes afuera${\displaystyle F.}$De forma equivalente,${\displaystyle \operatorname {ess\,supp} (f)}$es el complemento del conjunto abierto más grande en el que${\displaystyle f=0}$${\displaystyle \mu }$-casi en todas partes ^{[ 5 ]}$${\displaystyle \operatorname {ess\,supp} (f):=X\setminus \bigcup \left\{\Omega \subseteq X:\Omega {\text{ is open and }}f=0\,\mu {\text{-almost everywhere in }}\Omega \right\}.}$$

El soporte esencial de una función${\displaystyle f}$depende de la medida${\displaystyle \mu }$así como en${\displaystyle f,}$y puede ser estrictamente menor que el soporte cerrado. Por ejemplo, si${\displaystyle f:[0,1]\to \mathbb {R} }$es la función de Dirichlet que es${\displaystyle 0}$sobre números irracionales y${\displaystyle 1}$sobre números racionales y${\displaystyle [0,1]}$está equipado con la medida de Lebesgue, entonces el apoyo de${\displaystyle f}$es todo el intervalo${\displaystyle [0,1],}$pero el apoyo esencial de${\displaystyle f}$está vacío, ya que${\displaystyle f}$es casi en todas partes igual a la función cero.

En el análisis, casi siempre se desea utilizar el soporte esencial de una función, en lugar de su soporte cerrado, cuando los dos conjuntos son diferentes, por lo que${\displaystyle \operatorname {ess\,supp} (f)}$a menudo se escribe simplemente como${\displaystyle \operatorname {supp} (f)}$y se denomina soporte. ^{[ 5 ] [ 6 ]}

Si${\displaystyle M}$es un conjunto arbitrario que contiene cero, el concepto de soporte es inmediatamente generalizable a funciones${\displaystyle f:X\to M.}$ El soporte también puede definirse para cualquier estructura algebraica con identidad (como un grupo , un monoide o un álgebra de composición ), en la que el elemento identidad asume el rol de cero. Por ejemplo, la familia${\displaystyle \mathbb {Z} ^{\mathbb {N} }}$de funciones desde los números naturales hasta los enteros es el conjunto no numerable de secuencias de enteros. La subfamilia${\displaystyle \left\{f\in \mathbb {Z} ^{\mathbb {N} }:f{\text{ has finite support }}\right\}}$es el conjunto contable de todas las secuencias de enteros que tienen solo un número finito de entradas distintas de cero.

Las funciones de soporte finito se utilizan para definir estructuras algebraicas como anillos de grupo y grupos abelianos libres . ^{[ 7 ]}

En teoría de la probabilidad , el soporte de una distribución de probabilidad puede entenderse, de forma general, como la clausura del conjunto de valores posibles de una variable aleatoria con dicha distribución. Sin embargo, existen algunas sutilezas que deben considerarse al tratar con distribuciones generales definidas en un álgebra sigma , en lugar de en un espacio topológico.

Más formalmente, si${\displaystyle X:\Omega \to \mathbb {R} }$es una variable aleatoria en${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}$entonces el apoyo de${\displaystyle X}$es el conjunto cerrado más pequeño${\displaystyle R_{X}\subseteq \mathbb {R} }$de tal manera que${\displaystyle P\left(X\in R_{X}\right)=1.}$

En la práctica, sin embargo, el soporte de una variable aleatoria discreta${\displaystyle X}$a menudo se define como el conjunto${\displaystyle R_{X}=\{x\in \mathbb {R} :P(X=x)>0\}}$y el soporte de una variable aleatoria continua${\displaystyle X}$se define como el conjunto${\displaystyle R_{X}=\{x\in \mathbb {R} :f_{X}(x)>0\}}$dónde${\displaystyle f_{X}(x)}$es una función de densidad de probabilidad de${\displaystyle X}$(el soporte de la teoría de conjuntos ). ^{[ 8 ]}

Nótese que la palabra soporte puede referirse al logaritmo de la verosimilitud de una función de densidad de probabilidad. ^{[ 9 ]}

También es posible hablar del soporte de una distribución , como la función delta de Dirac.${\displaystyle \delta (x)}$en la línea real. En ese ejemplo, podemos considerar funciones de prueba.${\displaystyle F,}$que son funciones suaves con soporte sin incluir el punto${\displaystyle 0.}$Desde${\displaystyle \delta (F)}$(la distribución${\displaystyle \delta }$aplicado como funcional lineal a${\displaystyle F}$) es${\displaystyle 0}$para tales funciones, podemos decir que el soporte de${\displaystyle \delta }$es${\displaystyle \{0\}}$solamente. Dado que las medidas (incluidas las medidas de probabilidad ) en la recta real son casos especiales de distribuciones, también podemos hablar del soporte de una medida de la misma manera.

Supongamos que${\displaystyle f}$es una distribución, y eso${\displaystyle U}$es un conjunto abierto en el espacio euclidiano tal que, para todas las funciones de prueba${\displaystyle \phi }$de tal manera que el apoyo de${\displaystyle \phi }$está contenido en${\displaystyle U,}$${\displaystyle f(\phi )=0.}$Entonces${\displaystyle f}$Se dice que desaparece el${\displaystyle U.}$Ahora bien, si${\displaystyle f}$desaparece en una familia arbitraria${\displaystyle U_{\alpha }}$de conjuntos abiertos, entonces para cualquier función de prueba${\displaystyle \phi }$apoyado en${\textstyle \bigcup U_{\alpha },}$un argumento simple basado en la compacidad del soporte de${\displaystyle \phi }$y una partición de la unidad muestra que${\displaystyle f(\phi )=0}$también. Por lo tanto, podemos definir el soporte de${\displaystyle f}$como complemento del conjunto abierto más grande en el que${\displaystyle f}$desaparece. Por ejemplo, el soporte del delta de Dirac es${\displaystyle \{0\}.}$

En el análisis de Fourier en particular, es interesante estudiar elsoporte singular de una distribución. Esto tiene la interpretación intuitiva de ser el conjunto de puntos en los que una distribuciónno es una función suave.

Por ejemplo, la transformada de Fourier de la función escalón de Heaviside puede considerarse, salvo factores constantes, como${\displaystyle 1/x}$(una función) excepto en${\displaystyle x=0.}$Mientras${\displaystyle x=0}$Es claramente un punto especial, es más preciso decir que la transformación de la distribución tiene soporte singular.${\displaystyle \{0\}}$: no se puede expresar con precisión como una función en relación con las funciones de prueba con soporte incluido${\displaystyle 0.}$Puede expresarse como la aplicación de una integral impropia del valor principal de Cauchy .

Para distribuciones de varias variables, los soportes singulares permiten definir conjuntos de frentes de onda y comprender el principio de Huygens en términos de análisis matemático . Los soportes singulares también pueden utilizarse para comprender fenómenos propios de la teoría de distribuciones, como los intentos de «multiplicar» distribuciones (elevar al cuadrado la función delta de Dirac falla, esencialmente porque los soportes singulares de las distribuciones que se van a multiplicar deben ser disjuntos).

Una noción abstracta defamilia de soportes en unespacio topológico${\displaystyle X,}$Adecuado para la teoría de haces , fue definido por Henri Cartan . Al extender la dualidad de Poincaré a variedades que no son compactas, la idea de "soporte compacto" entra naturalmente en un lado de la dualidad; véase, por ejemplo, la cohomología de Alexander-Spanier .

Bredon, en su obra Teoría de la Gavilla (2.ª edición, 1997), ofrece estas definiciones. Una familia${\displaystyle \Phi }$de subconjuntos cerrados de${\displaystyle X}$es una familia de soportes , si está cerrada hacia abajo y cerrada bajo una unión finita . Su extensión es la unión sobre${\displaystyle \Phi .}$Una familia paracompactificante de soportes que satisface además que cualquier${\displaystyle Y}$en${\displaystyle \Phi }$es, con la topología de subespacio , un espacio paracompacto ; y tiene algunos${\displaystyle Z}$en${\displaystyle \Phi }$que es un barrio . Si${\displaystyle X}$es un espacio localmente compacto , se supone Hausdorff , la familia de todos los subconjuntos compactos satisface las condiciones adicionales, lo que lo hace paracompactificante.

• Función acotada : función matemática cuyo conjunto de valores es acotado. 
• Función de amortiguación : función de soporte suave y compacto. 
• Soporte de un módulo
• Teorema de convolución de Titchmarsh

• Rudin, Walter (1991). Análisis funcional . Serie internacional de matemáticas puras y aplicadas. Vol.  8 (Segunda  edición). Nueva York, NY: McGraw-Hill Science/Engineering/Math . ISBN 978-0-07-054236-5OCLC 21163277​​ 
• Trèves, François (2006) [1967]. Espacios vectoriales topológicos, distribuciones y núcleos . Mineola, Nueva York: Publicaciones de Dover. ISBN 978-0-486-45352-1OCLC 853623322 .​