Función de pertenencia (matemáticas)

En matemáticas , la función de pertenencia de un conjunto difuso es una generalización de la función indicadora para conjuntos clásicos . En lógica difusa , representa el grado de verdad como una extensión de la valoración . Los grados de verdad a menudo se confunden con las probabilidades , aunque son conceptualmente distintos, porque la verdad difusa representa la pertenencia a conjuntos vagamente definidos, no la probabilidad de algún evento o condición. Las funciones de pertenencia fueron introducidas por Aliasker Zadeh en el primer artículo sobre conjuntos difusos (1965). Aliasker Zadeh, en su teoría de conjuntos difusos, propuso utilizar una función de pertenencia (con un rango que cubre el intervalo (0,1)) que opera en el dominio de todos los valores posibles.

Para cualquier conjunto , una función de pertenencia en es cualquier función desde hasta el intervalo unitario real . ${\estilo de visualización X}$${\estilo de visualización X}$${\estilo de visualización X}$ ${\estilo de visualización [0,1]}$

Las funciones de pertenencia representan subconjuntos difusos de ^{[ cita requerida ]} . La función de pertenencia que representa un conjunto difuso se denota usualmente por Para un elemento de , el valor se llama grado de pertenencia de en el conjunto difuso El grado de pertenencia cuantifica el grado de pertenencia del elemento al conjunto difuso El valor 0 significa que no es miembro del conjunto difuso; el valor 1 significa que es completamente miembro del conjunto difuso. Los valores entre 0 y 1 caracterizan a los miembros difusos, que pertenecen al conjunto difuso solo parcialmente. ${\estilo de visualización X}$${\displaystyle {\tilde {A}}}$${\displaystyle \mu_{A}.}$${\estilo de visualización x}$${\estilo de visualización X}$$Estilo de visualización {\mu_{A}(x)}$${\estilo de visualización x}$${\displaystyle {\tilde {A}}.}$$Estilo de visualización {\mu_{A}(x)}$${\estilo de visualización x}$${\displaystyle {\tilde {A}}.}$${\estilo de visualización x}$${\estilo de visualización x}$

A veces, ^[1] se utiliza una definición más general, donde las funciones de pertenencia toman valores en un álgebra o estructura fija arbitraria ^{[ se necesita más explicación ]} ; por lo general, se requiere que sean al menos un conjunto parcial o una red . Las funciones de pertenencia habituales con valores en [0, 1] se denominan entonces funciones de pertenencia con valor [0, 1]. ${\estilo de visualización L}$ ${\estilo de visualización L}$

Consulte el artículo sobre Capacidad de un conjunto para obtener una definición estrechamente relacionada en matemáticas.

Una aplicación de las funciones de pertenencia es como capacidades en la teoría de decisiones .

En la teoría de decisiones , una capacidad se define como una función, de S , el conjunto de subconjuntos de algún conjunto, en , tal que es monótona en términos de conjuntos y está normalizada (es decir, Esta es una generalización de la noción de una medida de probabilidad , donde el axioma de probabilidad de aditividad contable se debilita. Una capacidad se utiliza como una medida subjetiva de la probabilidad de un evento, y el " valor esperado " de un resultado dada una cierta capacidad se puede encontrar tomando la integral de Choquet sobre la capacidad. ${\estilo de visualización \nu}$${\estilo de visualización [0,1]}$${\estilo de visualización \nu}$${\displaystyle \nu (\emptyset )=0,\nu (\Omega )=1).}$

• Desfuzzificación
• Teoría de medidas difusas
• Operaciones de conjuntos difusos
• Conjunto preliminar

• Zadeh LA, 1965, "Conjuntos difusos". Información y control 8 : 338–353. [1]
• Goguen JA, 1967, " Conjuntos L -difusos". Revista de análisis matemático y aplicaciones 18 : 145–174

• Procesamiento de imágenes borrosas