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operaciones de conjuntos difusos

Las operaciones con conjuntos difusos son una generalización de las operaciones con conjuntos clásicos para conjuntos difusos . De hecho, existen varias generalizaciones posible...

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Las operaciones con conjuntos difusos son una generalización de las operaciones con conjuntos clásicos para conjuntos difusos . De hecho, existen varias generalizaciones posibles. Las operaciones más utilizadas se denominan operaciones estándar con conjuntos difusos y comprenden: complementos difusos , intersecciones difusas y uniones difusas .

Operaciones estándar de conjuntos difusos

Sean A y B conjuntos difusos tales que A,B ⊆ U, u es cualquier elemento (por ejemplo, valor) en el universo U: u ∈ U.

Complemento estándar
μ¬A(tú)=1−μA(tú){\displaystyle \mu _{\lnot {A}}(u)=1-\mu _{A}(u)}

El complemento a veces se denota por ∁ A o A ∁ en lugar de ¬ A.

Intersección estándar
μA∩B(tú)=min{μA(tú),μB(tú)}{\displaystyle \mu _{A\cap B}(u)=\min\{\mu _{A}(u),\mu _{B}(u)\}}
Unión estándar
μA∪B(tú)=máximo{μA(tú),μB(tú)}{\displaystyle \mu _{A\cup B}(u)=\max\{\mu _{A}(u),\mu _{B}(u)\}}

En general, la terna (i,u,n) se denomina terna de De Morgan si y solo si

de modo que para todo x , y ∈ [0, 1] se cumple lo siguiente:

u ( x , y ) = n ( i ( n ( x ), n ( y ) ) )

(relación generalizada de De Morgan). [ 1 ] Esto implica los axiomas que se proporcionan a continuación en detalle.

Complementos difusos

μ A ( x ) se define como el grado en que x pertenece a A . Sea ∁A un complemento difuso de A de tipo c . Entonces μ ∁A ( x ) es el grado en que x pertenece a ∁A , y el grado en que x no pertenece a A . ( μ A ( x ) es, por lo tanto, el grado en que x no pertenece a ∁A .) Sea un complemento ∁ A definido por una función

c  : [0,1] → [0,1]
Para todo x ∈ U : μ ∁A ( x ) = c ( μ A ( x ))

Axiomas para complementos difusos

Axioma c1. Condición de contorno
c (0) = 1 y c (1) = 0
Axioma c2. Monotonicidad
Para todo a , b ∈ [0, 1], si a < b , entonces c ( a ) > c ( b )
Axioma c3. Continuidad
c es una función continua.
Axioma c4. Involuciones
c es una involución , lo que significa que c ( c ( a )) = a para cada a ∈ [0,1]

c es un negador fuerte (también conocido como complemento difuso ).

Una función c que satisface los axiomas c1 y c3 tiene al menos un punto fijo a * tal que c(a * ) = a * , y si también se cumple el axioma c2, existe exactamente un único punto fijo de este tipo. Para el negador estándar c(x) = 1-x, el único punto fijo es a * = 0,5 . [ 2 ]

intersecciones difusas

La intersección de dos conjuntos difusos A y B se especifica en general mediante una operación binaria sobre el intervalo unitario, una función de la forma

i :[0,1]×[0,1] → [0,1].
Para todo x ∈ U : μ A ∩ B ( x ) = i [ μ A ( x ), μ B ( x )].

Axiomas para la intersección difusa

Axioma i1. Condición de contorno
i ( a , 1) = a
Axioma i2. Monotonicidad
b ≤ d implica i ( a , b ) ≤ i ( a , d )
Axioma i3. Conmutatividad
i ( a , b ) = i ( b , a )
Axioma i4. Asociatividad
i ( a , i ( b , d )) = i ( i ( a , b ), d )
Axioma i5. Continuidad
i es una función continua
Axioma i6. Subidempotencia
i ( a , a ) < a para todo 0 < a < 1
Axioma i7. Monotonicidad estricta
i ( a 1 , b 1 ) < i ( a 2 , b 2 ) si a 1 < a 2 y b 1 < b 2

Los axiomas i1 a i4 definen una t-norma (también conocida como intersección difusa ). La t-norma estándar min es la única t-norma idempotente (es decir, i ( a 1 , a 1 ) = a para todo a ∈ [0,1]). [ 2 ]

uniones difusas

La unión de dos conjuntos difusos A y B se especifica en general mediante una operación binaria sobre la función de intervalo unitario de la forma

u :[0,1]×[0,1] → [0,1].
Para todo x ∈ U : μ A ∪ B ( x ) = u [ μ A ( x ), μ B ( x )].

Axiomas para la unión difusa

Axioma u1. Condición de contorno
u ( a , 0) = u (0 , a ) = a
Axioma u2. Monotonicidad
b ≤ d implica u ( a , b ) ≤ u ( a , d )
Axioma u3. Conmutatividad
u ( a , b ) = u ( b , a )
Axioma u4. Asociatividad
u ( a , u ( b , d )) = u ( u ( a , b ), d )
Axioma u5. Continuidad
u es una función continua
Axioma u6. Superidempotencia
u ( a , a ) > a para todo 0 < a < 1
Axioma u7. Monotonicidad estricta
a 1 < a 2 y b 1 < b 2 implica u ( a 1 , b 1 ) < u ( a 2 , b 2 )

Los axiomas u1 a u4 definen una t-conorma (también conocida como s-norma o unión difusa ). La t-conorma estándar max es la única t-conorma idempotente (es decir, u(a1, a1) = a para todo a ∈ [0,1]). [ 2 ]

Operaciones de agregación

Las operaciones de agregación sobre conjuntos difusos son operaciones mediante las cuales se combinan varios conjuntos difusos de una manera deseable para producir un único conjunto difuso.

La operación de agregación en un conjunto difuso n (2 ≤ n ) se define mediante una función.

h :[0,1] n → [0,1]

Axiomas para operaciones de agregación de conjuntos difusos

Axioma h1. Condición de contorno
h (0, 0, ..., 0) = 0 y h (1, 1, ..., 1) = uno
Axioma h2. Monotonicidad
Para cualquier par < a 1 , a 2 , ..., a n > y < b 1 , b 2 , ..., b n > de n -tuplas tales que a i , b i ∈ [0,1] para todo i ∈ N n , si a i ≤ b i para todo i ∈ N n , entonces h ( a 1 , a 2 , ..., a n ) ≤ h ( b 1 , b 2 , ..., b n ); es decir, h es monótona creciente en todos sus argumentos.
Axioma h3. Continuidad
h es una función continua.

Véase también

Lecturas adicionales

  • Klir, George J .; Bo Yuan (1995). Conjuntos difusos y lógica difusa: teoría y aplicaciones . Prentice Hall. ISBN 978-0131011717.

Referencias

  1. ↑ Ismat Beg, Samina Ashraf: Medidas de similitud para conjuntos difusos , en: Matemáticas Aplicadas y Computacionales, marzo de 2009, disponible en ResearchGate desde el 23 de noviembre de 2016.
  2. 1 2 3 Günther Rudolph: Inteligencia Computacional (PPS) , TU Dortmund, Ingeniería de Algoritmos LS11, Trimestre de Invierno 2009/10. Tenga en cuenta que esta hoja de PowerPoint puede tener algunos problemas con la representación de caracteres especiales.
  • L.A. Zadeh. Conjuntos difusos. Información y control, 8:338–353, 1965.