Geometría finita

Una geometría plana afín es un conjunto no vacío X (cuyos elementos se denominan "puntos"), junto con una colección no vacía L de subconjuntos de X (cuyos elementos se denominan "líneas"), de tal manera que:

1. Por cada dos puntos distintos, existe exactamente una línea que contiene ambos puntos.
2. Axioma de Playfair : Dada una línea${\displaystyle \ell }$y un punto${\displaystyle p}$no está${\displaystyle \ell }$, existe exactamente una línea${\displaystyle \ell '}$que contiene${\displaystyle p}$de tal manera que${\displaystyle \ell \cap \ell '=\varnothing.}$
3. Existe un conjunto de cuatro puntos, de los cuales no hay tres que pertenezcan a la misma línea.

El último axioma garantiza que la geometría no sea trivial (ni vacía ni demasiado simple para resultar interesante, como una sola línea con un número arbitrario de puntos), mientras que los dos primeros especifican la naturaleza de la geometría.

El plano afín más simple contiene solo cuatro puntos; se denomina plano afín de orden 2. (El orden de un plano afín es el número de puntos en cualquier línea, véase más abajo). Dado que no hay tres puntos colineales, cualquier par de puntos determina una única línea, por lo que este plano contiene seis líneas. Corresponde a un tetraedro donde las aristas que no se intersecan se consideran paralelas, o a un cuadrado donde no solo los lados opuestos, sino también las diagonales se consideran paralelas.

El plano afín de orden 3 se conoce como la configuración de Hesse .

^{En términos} más generales, un plano afín finito de orden n tiene n² ^puntos y n² + n líneas; cada línea contiene n puntos, y cada punto está en n + 1 líneas.

Una geometría plana proyectiva es un conjunto no vacío X (cuyos elementos se denominan "puntos"), junto con una colección no vacía L de subconjuntos de X (cuyos elementos se denominan "líneas"), de tal manera que:

1. Por cada dos puntos distintos, existe exactamente una línea que contiene ambos puntos.
2. La intersección de dos líneas distintas cualesquiera contiene exactamente un punto.
3. Existe un conjunto de cuatro puntos, de los cuales no hay tres que pertenezcan a la misma línea.

Un análisis de los dos primeros axiomas revela que son prácticamente idénticos, salvo por el intercambio de roles entre puntos y líneas. Esto sugiere el principio de dualidad para geometrías planas proyectivas, lo que implica que cualquier afirmación verdadera válida en todas estas geometrías sigue siendo válida si intercambiamos puntos por líneas y líneas por puntos. La geometría más pequeña que satisface los tres axiomas contiene siete puntos. En este plano proyectivo, el más simple, también hay siete líneas; cada punto se encuentra sobre tres líneas, y cada línea contiene tres puntos.

Este plano proyectivo en particular se denomina a veces plano de Fano . Si se elimina cualquiera de las rectas del plano, junto con los puntos que se encuentran en ella, la geometría resultante es el plano afín de orden 2. El plano de Fano se denomina plano proyectivo de orden 2 porque es único (salvo isomorfismo). En general, el plano proyectivo de orden n tiene n² ⁺ n + 1 puntos y el mismo número de rectas; cada recta contiene n + 1 puntos, y cada punto se encuentra en n + 1 rectas.        

Una permutación de los siete puntos del plano de Fano que transforma puntos colineales (puntos en la misma línea) en puntos colineales se denomina colineación del plano. El grupo de colineación completo es de orden 168 y es isomorfo al grupo PSL(2,7) ≈ PSL(3,2), que en este caso particular también es isomorfo al grupo lineal general GL(3,2) ≈ PGL(3,2) .

Un plano finito de orden n es aquel en el que cada línea tiene n puntos (para un plano afín), o en el que cada línea tiene n + 1 puntos (para un plano proyectivo). Una de las principales cuestiones abiertas en geometría finita es:

¿El orden de un plano finito es siempre una potencia prima?

Se presume que esto es cierto.

Los planos afines y proyectivos de orden n existen siempre que n sea una potencia prima (un número primo elevado a un exponente entero positivo ), utilizando planos afines y proyectivos sobre el cuerpo finito con n = p ^k elementos. También existen planos no derivados de cuerpos finitos (por ejemplo, para${\displaystyle n=9}$), pero todos los ejemplos conocidos tienen orden de potencia prima. ^{[ 1 ]}

El mejor resultado general hasta la fecha es el teorema de Bruck-Ryser de 1949, que establece:

Si n es un entero positivo de la forma 4 k + 1 o 4 k + 2 y n no es igual a la suma de dos cuadrados enteros , entonces n no aparece como el orden de un plano finito.

El entero más pequeño que no es una potencia prima y que no está cubierto por el teorema de Bruck-Ryser es 10; 10 tiene la forma ^{4k + 2, pero es igual a la suma de los cuadrados 1²} + 3² . La no existencia ^de un plano finito de orden 10 se demostró en una prueba asistida por computadora que finalizó en 1989; véase ( Lam 1991 ) para más detalles.

El siguiente número más pequeño a considerar es el 12, para el cual no se ha demostrado ni un resultado positivo ni negativo.

Se pueden encontrar ejemplos individuales en la obra de Thomas Penyngton Kirkman (1847) y en el desarrollo sistemático de la geometría proyectiva finita presentado por von Staudt (1856).

El primer tratamiento axiomático de la geometría proyectiva finita fue desarrollado por el matemático italiano Gino Fano . En su trabajo ^{[ 2 ]} sobre la demostración de la independencia del conjunto de axiomas para el espacio proyectivo n -dimensional que desarrolló, ^{[ 3 ]} consideró un espacio tridimensional finito con 15 puntos, 35 líneas y 15 planos (véase el diagrama), en el que cada línea tenía solo tres puntos. ^{[ 4 ]}

En 1906, Oswald Veblen y WH Bussey describieron la geometría proyectiva utilizando coordenadas homogéneas con entradas del campo de Galois GF( q ). Cuando se utilizan n + 1 coordenadas, la geometría finita n -dimensional se denota PG( n, q ). ^{[ 5 ]} Surge en la geometría sintética y tiene un grupo de transformaciones asociado .

Un espacio proyectivo S puede definirse axiomáticamente como un conjunto P (el conjunto de puntos), junto con un conjunto L de subconjuntos de P (el conjunto de líneas), que satisfacen estos axiomas  : ^{[ 6 ]}

• Cada par de puntos distintos p y q están exactamente en una misma línea.
• Axioma de Veblen : ^{[ 7 ]} Si a , b , c , d son puntos distintos y las líneas que pasan por ab y cd se encuentran, entonces también lo hacen las líneas que pasan por ac y bd .
• Cualquier línea tiene al menos 3 puntos.

El último axioma elimina los casos reducibles que pueden escribirse como una unión disjunta de espacios proyectivos junto con rectas de dos puntos que unen cualesquiera dos puntos en espacios proyectivos distintos. De forma más abstracta, puede definirse como una estructura de incidencia ( P , L , I ) que consta de un conjunto P de puntos, un conjunto L de rectas y una relación de incidencia I que indica qué puntos se encuentran sobre qué rectas.

Para obtener un espacio proyectivo finito se requiere un axioma más:

• El conjunto de puntos P es un conjunto finito.

En cualquier espacio proyectivo finito, cada línea contiene el mismo número de puntos y el orden del espacio se define como uno menos que este número común.

Un subespacio del espacio proyectivo es un subconjunto X tal que cualquier recta que contenga dos puntos de X es un subconjunto de X (es decir, está completamente contenida en X ). El espacio completo y el espacio vacío son siempre subespacios.

Se dice que la dimensión geométrica del espacio es n si ese es el mayor número para el cual existe una cadena estrictamente ascendente de subespacios de esta forma:

${\displaystyle \varnothing =X_{-1}\subset X_{0}\subset \cdots \subset X_{n}=P.}$

Una construcción algebraica estándar de sistemas satisface estos axiomas. Para un anillo de división D, construyamos un espacio vectorial de dimensión ( n + 1) sobre D (la dimensión del espacio vectorial es el número de elementos en una base). Sean P los subespacios unidimensionales (con un solo generador) y L los subespacios bidimensionales (con dos generadores independientes) (cerrados bajo la suma vectorial) de este espacio vectorial. La incidencia es la contención. Si D es finito, entonces debe ser un cuerpo finito GF( q ), ya que, según el pequeño teorema de Wedderburn, todos los anillos de división finitos son cuerpos. En este caso, esta construcción produce un espacio proyectivo finito. Además, si la dimensión geométrica de un espacio proyectivo es al menos tres, entonces existe un anillo de división a partir del cual se puede construir el espacio de esta manera. En consecuencia, todos los espacios proyectivos finitos de dimensión geométrica al menos tres se definen sobre cuerpos finitos. Un espacio proyectivo finito definido sobre dicho cuerpo finito tiene q + 1 puntos en una línea, por lo que los dos conceptos de orden coinciden. Dicho espacio proyectivo finito se denota por PG( n , q ) , donde PG significa geometría proyectiva, n es la dimensión geométrica de la geometría y q es el tamaño (orden) del campo finito utilizado para construir la geometría.

En general, el número de subespacios k -dimensionales de PG( n , q ) viene dado por el producto: ^{[ 8 ]}

${\displaystyle {{n+1} \choose {k+1}}_{q}=\prod _{i=0}^{k}{\frac {q^{n+1-i}-1}{q^{i+1}-1}},}$

que es un coeficiente binomial gaussiano , un análogo q de un coeficiente binomial .

• Dimensión 0 (sin líneas): El espacio es un solo punto y es tan degenerado que normalmente se ignora.
• Dimensión 1 (exactamente una línea): Todos los puntos se encuentran sobre la única línea, llamada línea proyectiva .
• Dimensión 2: Hay al menos 2 líneas, y cualesquiera dos líneas se encuentran. Un espacio proyectivo para n = 2 es un plano proyectivo . Estos son mucho más difíciles de clasificar, ya que no todos son isomorfos con un PG( d , q ) . Los planos de Desargues (aquellos que son isomorfos con un PG(2, q ) ) satisfacen el teorema de Desargues y son planos proyectivos sobre cuerpos finitos, pero hay muchos planos no desarguesianos .
• Dimensión al menos 3: Existen dos líneas que no se intersecan. El teorema de Veblen-Young establece en el caso finito que todo espacio proyectivo de dimensión geométrica n ≥ 3 es isomorfo con un PG( n , q ) , el espacio proyectivo n -dimensional sobre algún cuerpo finito GF( q ).

El espacio proyectivo tridimensional más pequeño se define sobre el cuerpo GF(2) y se denota por PG(3,2) . Tiene 15 puntos, 35 líneas y 15 planos. Cada plano contiene 7 puntos y 7 líneas. Cada línea contiene 3 puntos. Como geometrías, estos planos son isomorfos al plano de Fano .

Cada punto está contenido en 7 líneas. Cada par de puntos distintos está contenido en exactamente una línea y cada par de planos distintos se intersecan en exactamente una línea.

En 1892, Gino Fano fue el primero en considerar una geometría finita de este tipo.