Distribución exponencial

La función de densidad de probabilidad (pdf) de una distribución exponencial es

${\displaystyle f(x;\lambda )={\begin{cases}\lambda e^{-\lambda x}&x\geq 0,\\0&x<0.\end{cases}}}$

Aquí λ > 0 es el parámetro de la distribución, a menudo llamado parámetro de tasa . La distribución está soportada en el intervalo [ 0, ∞) . Si una variable aleatoria X tiene esta distribución, escribimos X ~ Exp( λ ) .  

La distribución exponencial presenta divisibilidad infinita .

La función de distribución acumulativa viene dada por

${\displaystyle F(x;\lambda )={\begin{cases}1-e^{-\lambda x}&x\geq 0,\\0&x<0.\end{cases}}}$

La distribución exponencial a veces se parametriza en términos del parámetro de escala β = 1/ λ , que también es la media: $${\displaystyle f(x;\beta )={\begin{cases}{\frac {1}{\beta }}e^{-x/\beta }&x\geq 0,\\0&x<0.\end{cases}}\qquad \qquad F(x;\beta )={\begin{cases}1-e^{-x/\beta }&x\geq 0,\\0&x<0.\end{cases}}}$$

La media o valor esperado de una variable aleatoria X con distribución exponencial y parámetro de tasa λ viene dada por $${\displaystyle \operatorname {E} [X]={\frac {1}{\lambda }}.}$$

A la luz de los ejemplos que se dan a continuación , esto tiene sentido; una persona que recibe un promedio de dos llamadas telefónicas por hora puede esperar que el tiempo entre llamadas consecutivas sea de 0,5 horas, o 30 minutos.

La varianza de X viene dada por $${\displaystyle \operatorname {Var} [X]={\frac {1}{\lambda ^{2}}},}$$ Por lo tanto, la desviación estándar es igual a la media.

Los momentos de X , para${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$son dados por $${\displaystyle \operatorname {E} \left[X^{n}\right]={\frac {n!}{\lambda ^{n}}}.}$$

Los momentos centrales de X , para${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$son dados por $${\displaystyle \mu _{n}={\frac {!n}{\lambda ^{n}}}={\frac {n!}{\lambda ^{n}}}\sum _{k=0}^{n}{\frac {(-1)^{k}}{k!}}.}$$ donde  ! n es el subfactorial de n .

La mediana de X viene dada por $${\displaystyle \operatorname {m} [X]={\frac {\ln(2)}{\lambda }}<\operatorname {E} [X],}$$ donde ln se refiere al logaritmo natural . Por lo tanto, la diferencia absoluta entre la media y la mediana es $${\displaystyle \left|\operatorname {E} \left[X\right]-\operatorname {m} \left[X\right]\right|={\frac {1-\ln(2)}{\lambda }}<{\frac {1}{\lambda }}=\operatorname {\sigma } [X],}$$

de acuerdo con la desigualdad mediana-media .

Una variable aleatoria T con distribución exponencial obedece la relación $${\displaystyle \Pr \left(T>s+t\mid T>s\right)=\Pr(T>t),\qquad \forall s,t\geq 0.}$$

Esto se puede observar al considerar la función de distribución acumulativa complementaria : $${\displaystyle {\begin{aligned}\Pr \left(T>s+t\mid T>s\right)&={\frac {\Pr \left(T>s+t\cap T>s\right)}{\Pr \left(T>s\right)}}\\[4pt]&={\frac {\Pr \left(T>s+t\right)}{\Pr \left(T>s\right)}}\\[4pt]&={\frac {e^{-\lambda (s+t)}}{e^{-\lambda s}}}\\[4pt]&=e^{-\lambda t}\\[4pt]&=\Pr(T>t).\end{aligned}}}$$

Cuando T se interpreta como el tiempo de espera para que ocurra un evento con respecto a un tiempo inicial, esta relación implica que, si T está condicionado a que no se observe el evento durante un período inicial s , la distribución del tiempo de espera restante es la misma que la distribución incondicional original. Por ejemplo, si un evento no ha ocurrido después de 30 segundos, la probabilidad condicional de que ocurra al menos 10 segundos más es igual a la probabilidad incondicional de observar el evento más de 10 segundos después del tiempo inicial.

La distribución exponencial y la distribución geométrica son las únicas distribuciones de probabilidad sin memoria .

Por consiguiente, la distribución exponencial es también necesariamente la única distribución de probabilidad continua que tiene una tasa de fallo constante .

La función cuantil (función de distribución acumulativa inversa) para Exp( λ ) es $${\displaystyle F^{-1}(p;\lambda )={\frac {-\ln(1-p)}{\lambda }},\qquad 0\leq p<1}$$

Por lo tanto, los cuartiles son:

• primer cuartil: ln(4/3)/ λ
• mediana : ln(2)/ λ
• tercer cuartil: ln(4)/ λ

Y como consecuencia, el rango intercuartil es ln(3)/ λ .

El valor condicional en riesgo (CVaR), también conocido como déficit esperado o supercuantil para Exp( λ ), se deriva de la siguiente manera: ^{[ 4 ]}

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\bar {q}}_{\alpha }(X)&={\frac {1}{1-\alpha }}\int _{\alpha }^{1}q_{p}(X)dp\\&={\frac {1}{(1-\alpha )}}\int _{\alpha }^{1}{\frac {-\ln(1-p)}{\lambda }}dp\\&={\frac {-1}{\lambda (1-\alpha )}}\int _{1-\alpha }^{0}-\ln(y)dy\\&={\frac {-1}{\lambda (1-\alpha )}}\int _{0}^{1-\alpha }\ln(y)dy\\&={\frac {-1}{\lambda (1-\alpha )}}[(1-\alpha )\ln(1-\alpha )-(1-\alpha )]\\&={\frac {-\ln(1-\alpha )+1}{\lambda }}\\\end{aligned}}}$$

La probabilidad amortiguada de superación es uno menos el nivel de probabilidad en el que el CVaR es igual al umbral.${\displaystyle x}$. Se deriva de la siguiente manera: ^{[ 4 ]}

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\bar {p}}_{x}(X)&=\{1-\alpha |{\bar {q}}_{\alpha }(X)=x\}\\&=\{1-\alpha |{\frac {-\ln(1-\alpha )+1}{\lambda }}=x\}\\&=\{1-\alpha |\ln(1-\alpha )=1-\lambda x\}\\&=\{1-\alpha |e^{\ln(1-\alpha )}=e^{1-\lambda x}\}=\{1-\alpha |1-\alpha =e^{1-\lambda x}\}=e^{1-\lambda x}\end{aligned}}}$$

La divergencia dirigida de Kullback-Leibler en nats de${\displaystyle e^{\lambda }}$(aproximando la distribución) de${\displaystyle e^{\lambda _{0}}}$La distribución ('verdadera') viene dada por $${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta (\lambda _{0}\parallel \lambda )&=\mathbb {E} _{\lambda _{0}}\left(\log {\frac {p_{\lambda _{0}}(x)}{p_{\lambda }(x)}}\right)\\&=\mathbb {E} _{\lambda _{0}}\left(\log {\frac {\lambda _{0}e^{\lambda _{0}x}}{\lambda e^{\lambda x}}}\right)\\&=\log(\lambda _{0})-\log(\lambda )-(\lambda _{0}-\lambda )E_{\lambda _{0}}(x)\\&=\log(\lambda _{0})-\log(\lambda )+{\frac {\lambda }{\lambda _{0}}}-1.\end{aligned}}}$$

Entre todas las distribuciones de probabilidad continuas con soporte [ 0, ∞) y media μ , la distribución exponencial con λ = 1/ μ tiene la mayor entropía diferencial . En otras palabras, es la distribución de probabilidad de máxima entropía para una variable aleatoria X que es mayor o igual que cero y para la cual E[ X ] es fija. ^{[ 5 ]}

Para una variable aleatoria${\displaystyle X\sim \mathrm {Exp} (\lambda )}$con parámetro${\displaystyle \lambda }$la variable multiplicada por una constante${\displaystyle c>0}$vuelve a tener una distribución exponencial: $${\displaystyle cX\sim \mathrm {Exp} (\lambda /c).}$$

Sean X ₁ , ..., X _n variables aleatorias independientes con distribución exponencial y parámetros de tasa λ 1 , _... , λ _n . Entonces ^{[ 6 ]}$${\displaystyle \min \left\{X_{1},\dotsc ,X_{n}\right\}}$$ También se distribuye exponencialmente, con parámetro $${\displaystyle \lambda =\lambda _{1}+\dotsb +\lambda _{n}.}$$

Esto se puede observar al considerar la función de distribución acumulativa complementaria : $${\displaystyle {\begin{aligned}&\Pr \left(\min\{X_{1},\dotsc ,X_{n}\}>x\right)\\={}&\Pr \left(X_{1}>x,\dotsc ,X_{n}>x\right)\\={}&\prod _{i=1}^{n}\Pr \left(X_{i}>x\right)\\={}&\prod _{i=1}^{n}\exp \left(-x\lambda _{i}\right)=\exp \left(-x\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}\right).\end{aligned}}}$$

El índice de la variable que alcanza el mínimo se distribuye según la distribución categórica. $${\displaystyle \Pr \left(X_{k}=\min\{X_{1},\dotsc ,X_{n}\}\right)={\frac {\lambda _{k}}{\lambda _{1}+\dotsb +\lambda _{n}}}.}$$

Una prueba puede verse dejando${\displaystyle I=\operatorname {argmin} _{i\in \{1,\dotsb ,n\}}\{X_{1},\dotsc ,X_{n}\}}$. Entonces, $${\displaystyle {\begin{aligned}\Pr(I=k)&=\int _{0}^{\infty }\Pr(X_{k}=x)\Pr(\forall _{i\neq k}X_{i}>x)\,dx\\&=\int _{0}^{\infty }\lambda _{k}e^{-\lambda _{k}x}\left(\prod _{i=1,i\neq k}^{n}e^{-\lambda _{i}x}\right)dx\\&=\lambda _{k}\int _{0}^{\infty }e^{-\left(\lambda _{1}+\dotsb +\lambda _{n}\right)x}dx\\&={\frac {\lambda _{k}}{\lambda _{1}+\dotsb +\lambda _{n}}}.\end{aligned}}}$$

Por el contrario,${\displaystyle \max\{X_{1},\dotsc ,X_{n}\}}$no tiene distribución exponencial si X ₁ , ..., X _n no tienen todos el parámetro 0. ^{[ 7 ]}

Dejar${\displaystyle X_{1},\dotsc ,X_{n}}$ser${\displaystyle n}$Variables aleatorias exponenciales independientes e idénticamente distribuidas con parámetro de tasa λ . Sea${\displaystyle X_{(1)},\dotsc ,X_{(n)}}$denotamos las estadísticas de orden correspondientes . Para${\displaystyle i<j}$, el momento conjunto${\displaystyle \operatorname {E} \left[X_{(i)}X_{(j)}\right]}$de las estadísticas de orden${\displaystyle X_{(i)}}$y${\displaystyle X_{(j)}}$es dado por $${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {E} \left[X_{(i)}X_{(j)}\right]&=\sum _{k=0}^{j-1}{\frac {1}{(n-k)\lambda }}\operatorname {E} \left[X_{(i)}\right]+\operatorname {E} \left[X_{(i)}^{2}\right]\\&=\sum _{k=0}^{j-1}{\frac {1}{(n-k)\lambda }}\sum _{k=0}^{i-1}{\frac {1}{(n-k)\lambda }}+\sum _{k=0}^{i-1}{\frac {1}{((n-k)\lambda )^{2}}}+\left(\sum _{k=0}^{i-1}{\frac {1}{(n-k)\lambda }}\right)^{2}.\end{aligned}}}$$

Esto se puede observar invocando la ley de la expectativa total y la propiedad de ausencia de memoria: $${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {E} \left[X_{(i)}X_{(j)}\right]&=\int _{0}^{\infty }\operatorname {E} \left[X_{(i)}X_{(j)}\mid X_{(i)}=x\right]f_{X_{(i)}}(x)\,dx\\&=\int _{x=0}^{\infty }x\operatorname {E} \left[X_{(j)}\mid X_{(j)}\geq x\right]f_{X_{(i)}}(x)\,dx&&\left({\textrm {since}}~X_{(i)}=x\implies X_{(j)}\geq x\right)\\&=\int _{x=0}^{\infty }x\left[\operatorname {E} \left[X_{(j)}\right]+x\right]f_{X_{(i)}}(x)\,dx&&\left({\text{by the memoryless property}}\right)\\&=\sum _{k=0}^{j-1}{\frac {1}{(n-k)\lambda }}\operatorname {E} \left[X_{(i)}\right]+\operatorname {E} \left[X_{(i)}^{2}\right].\end{aligned}}}$$

La primera ecuación se deduce de la ley de la esperanza total . La segunda ecuación aprovecha el hecho de que una vez que condicionamos en${\displaystyle X_{(i)}=x}$, debe seguirse que${\displaystyle X_{(j)}\geq x}$La tercera ecuación se basa en la propiedad sin memoria para reemplazar${\displaystyle \operatorname {E} \left[X_{(j)}\mid X_{(j)}\geq x\right]}$con${\displaystyle \operatorname {E} \left[X_{(j)}\right]+x}$.

La función de distribución de probabilidad (FDP) de una suma de dos variables aleatorias independientes es la convolución de sus FDP individuales . Si${\displaystyle X_{1}}$y${\displaystyle X_{2}}$son variables aleatorias exponenciales independientes con sus respectivos parámetros de tasa${\displaystyle \lambda _{1}}$y${\displaystyle \lambda _{2},}$entonces la densidad de probabilidad de${\displaystyle Z=X_{1}+X_{2}}$es dado por $${\displaystyle {\begin{aligned}f_{Z}(z)&=\int _{-\infty }^{\infty }f_{X_{1}}(x_{1})f_{X_{2}}(z-x_{1})\,dx_{1}\\&=\int _{0}^{z}\lambda _{1}e^{-\lambda _{1}x_{1}}\lambda _{2}e^{-\lambda _{2}(z-x_{1})}\,dx_{1}\\&=\lambda _{1}\lambda _{2}e^{-\lambda _{2}z}\int _{0}^{z}e^{(\lambda _{2}-\lambda _{1})x_{1}}\,dx_{1}\\&={\begin{cases}{\dfrac {\lambda _{1}\lambda _{2}}{\lambda _{2}-\lambda _{1}}}\left(e^{-\lambda _{1}z}-e^{-\lambda _{2}z}\right)&{\text{ if }}\lambda _{1}\neq \lambda _{2}\\[4pt]\lambda ^{2}ze^{-\lambda z}&{\text{ if }}\lambda _{1}=\lambda _{2}=\lambda .\end{cases}}\end{aligned}}}$$ La entropía de esta distribución está disponible en forma cerrada: suponiendo${\displaystyle \lambda _{1}>\lambda _{2}}$(sin pérdida de generalidad), entonces $${\displaystyle {\begin{aligned}H(Z)&=1+\gamma +\ln \left({\frac {\lambda _{1}-\lambda _{2}}{\lambda _{1}\lambda _{2}}}\right)+\psi \left({\frac {\lambda _{1}}{\lambda _{1}-\lambda _{2}}}\right),\end{aligned}}}$$ dónde${\displaystyle \gamma }$es la constante de Euler-Mascheroni y${\displaystyle \psi (\cdot )}$es la función digamma . ^{[ 8 ]}

En el caso de parámetros de tasa iguales, el resultado es una distribución de Erlang con forma 2 y parámetro${\displaystyle \lambda ,}$lo cual, a su vez, es un caso especial de distribución gamma .

La suma de n variables aleatorias exponenciales independientes Exp( λ) sigue una distribución Gamma(n, λ) .

• La distribución exponencial es un caso especial de la distribución de Pearson de tipo 3 .
• Para cualquier${\displaystyle \lambda >0}$:${\displaystyle \mathrm {Exp} (\lambda )\sim \operatorname {Weibull} \left({\frac {1}{\lambda }},1\right)=\mathrm {Gamma} (1,\lambda )=\mathrm {Erlang} (1,\lambda )}$. ^{[ 9 ]}
• ${\displaystyle \mathrm {Exp} (1/2)=\chi _{2}^{2}}$.

• Si X ~ Laplace (μ, β ^-1 ), entonces | X − μ| ~ Exp(β). ^{[ 9 ]} Por otro lado, si X , Y ~ Exp(λ) son independientes , entonces X  -  Y ~ Laplace (0, λ ^-1 ). Además, si X ~ Exp(λ ₁ ) e Y ~ Exp(λ ₂ ) son independientes, entonces λ ₁ X  -  λ ₂ Y ~ Laplace (0, 1).
• Si X ~ Beta(λ, 1) , entonces −log( X ) ~ Exp(λ). De forma equivalente, si Y ~ Exp(λ), entonces e ^−Y ~ Beta(λ, 1) . ^{[ 9 ]}
• Como caso especial de lo anterior: Si X ~ U (0, 1) entonces −log( X )/λ ~ Exp(λ). Equivalentemente, si Y ~ Exp(λ), entonces e ^−λY ~ U (0, 1) . Esto es una consecuencia directa de la transformada integral de probabilidad .
• Si X ~ Pareto(k, λ) , entonces log( X /k) ~ Exp(λ). De forma equivalente, si Y ~ Exp(λ), entonces ke ^Y ~ Pareto( k , λ) . ^{[ 9 ]}
• Si X ~ SkewLogistic(θ) , entonces${\displaystyle \log \left(1+e^{-X}\right)\sim \operatorname {Exp} (\theta )}$. Equivalentemente, si Y ~ Exp(λ), entonces −log(e ^Y −1) ~ SkewLogistic(λ) .
• Si X ~ Rayleigh(σ) , entonces${\displaystyle X^{2}\sim \mathrm {Exp} (1/(2\sigma ^{2}))}$. De forma equivalente, si Y ~ Exp(λ), entonces${\displaystyle {\sqrt {Y}}\sim \operatorname {Rayleigh} \left(1/{\sqrt {2\lambda }}\right)}$. ^{[ 9 ]}
• Si X ~ Weibull(λ, k) , entonces X ^k ~ Exp(1/λ ^k ). ^{[ 10 ]} En particular, si Y ~ Exp(λ), entonces Y ² ~ Weibull(1/λ ² , 1/2) . ^{[ 9 ]}
• Si X ~ Gumbel(μ, β) , entonces exp(( X -μ)/β) ~ Exp(1). De manera equivalente, si Y ~ Exp(λ), entonces μ − β log(λ X ) ∼ Gumbel (μ, β) = GEV(μ, σ, 0) .
• Si X ~ BenktanderWeibull (λ, 1), entonces X  -  1 ~ Exp(λ). De forma equivalente, si Y ~ Exp(λ), entonces 1  + Y ~ BenktanderWeibull (λ, 1), lo que se reduce a una distribución exponencial truncada. 
• Si X ~ Exp(λ), entonces${\displaystyle \lfloor X\rfloor \sim \operatorname {Geometric} _{0}\left(1-e^{-\lambda }\right)}$,${\displaystyle \lceil X\rceil \sim \operatorname {Geometric} _{1}\left(1-e^{-\lambda }\right)}$y ⁠ 1 / k ⁠ e ^X ~ Ley de potencia ( k , λ).
• Si X ~ Exp(1), entonces${\displaystyle \mu -\beta \log \left({\frac {e^{-X}}{1-e^{-X}}}\right)\sim \operatorname {Logistic} (\mu ,\beta )}$.
• Si X , Y ~ Exp(1) son independientes, entonces X / Y ~ Lomax (1, 1) y${\displaystyle \mu -\beta \log \left({\frac {X}{Y}}\right)\sim \operatorname {Logistic} (\mu ,\beta )}$El primero se puede utilizar para obtener un intervalo de confianza para cocientes de tasas.${\displaystyle {\frac {\lambda _{i}}{\lambda _{j}}}}$.
• Si X ~ Exp(1) y${\displaystyle Y\sim \mathrm {Gamma} \left(\alpha ,{\frac {\beta }{\alpha }}\right)}$son independientes, entonces${\displaystyle {\sqrt {XY}}\sim \operatorname {K} (\alpha ,\beta )}$.
• Si X ~ Exp(λ) y λ ~ Gamma ( k , Λ), entonces la distribución marginal de X es Lomax ( k , Λ), la mezcla gamma .
• Si X ~ Exp(λ) y${\displaystyle Y\mid X}$~ Poisson ( X ), entonces${\displaystyle Y\sim \operatorname {Geometric} _{0}\left({\frac {1}{1+\lambda ^{-1}}}\right)}$.
• Si Y _i ~ U (0, 1), entonces$${\displaystyle n\min \left(Y_{1},\ldots ,Y_{n}\right)\ {\overset {d}{\longrightarrow }}\ \operatorname {Exp} (1).}$$Desde${\displaystyle \min \left(Y_{1},\ldots ,Y_{n}\right)\sim \operatorname {Beta} (1,n)}$, la distribución exponencial es, por lo tanto, un límite ( débil ) de una distribución beta escalada :$${\displaystyle n\operatorname {Beta} (1,n)\ {\overset {w}{\longrightarrow }}\ \operatorname {Exp} (1).}$$
• La distribución de Hoyt se puede obtener a partir de la distribución exponencial y la distribución arcoseno .
• La distribución exponencial es un límite de la distribución κ -exponencial en la${\displaystyle \kappa =0}$caso.
• La distribución exponencial es un límite de la distribución κ-Gamma generalizada en la${\displaystyle \alpha =1}$y${\displaystyle \nu =1}$casos:

  ${\displaystyle \lim _{(\alpha ,\nu )\to (0,1)}p_{\kappa }(x)=(1+\kappa \nu )(2\kappa )^{\nu }{\frac {\Gamma {\Big (}{\frac {1}{2\kappa }}+{\frac {\nu }{2}}{\Big )}}{\Gamma {\Big (}{\frac {1}{2\kappa }}-{\frac {\nu }{2}}{\Big )}}}{\frac {\alpha \lambda ^{\nu }}{\Gamma (\nu )}}x^{\alpha \nu -1}\exp _{\kappa }(-\lambda x^{\alpha })=\lambda e^{-\lambda x}.}$

Distribuciones relacionadas indirectamente:

• Distribución hiperexponencial : la distribución cuya densidad es una suma ponderada de densidades exponenciales.
• Distribución hipoexponencial : la distribución de una suma general de variables aleatorias exponenciales. ^{[ 9 ]}
• Distribución exgaussiana : la suma de una distribución exponencial y una distribución normal .

En lo que sigue, sean X, X ₁ , ..., X _n ~ Exp(λ) todas independientes .

• ${\displaystyle X_{1}+\cdots +X_{n}=\sum _{i=1}^{n}X_{i}\sim }$Erlang ( norte , λ) = Gamma ( norte , λ). ^{[ 11 ]}
• Si${\displaystyle T=X_{1}+\cdots +X_{n}=\sum _{i=1}^{n}X_{i}}$, entonces${\displaystyle 2\lambda T\sim \chi _{2n}^{2}}$.
• ${\displaystyle {\frac {X}{\sum _{i=1}^{n}X_{i}}}\sim }$Lomax ( n , 1) y${\displaystyle {\frac {X}{\sum _{i=1}^{n}X_{i}}}+1\sim }$Pareto (1, n ).
• ${\displaystyle {\frac {X}{X+\sum _{i=1}^{n}X_{i}}}\sim }$Beta (1, n ). ^{[ 12 ]} En particular,${\displaystyle {\frac {X}{X+X_{1}}}\sim }$U (0,1).

La información de Fisher , denotada${\displaystyle {\mathcal {I}}(\lambda )}$, para un estimador del parámetro de tasa${\displaystyle \lambda }$se da como: $${\displaystyle {\mathcal {I}}(\lambda )=\operatorname {E} \left[\left.\left({\frac {\partial }{\partial \lambda }}\log f(x;\lambda )\right)^{2}\right|\lambda \right]=\int \left({\frac {\partial }{\partial \lambda }}\log f(x;\lambda )\right)^{2}f(x;\lambda )\,dx}$$

Sustituyendo la distribución y resolviendo se obtiene: $${\displaystyle {\mathcal {I}}(\lambda )=\int _{0}^{\infty }\left({\frac {\partial }{\partial \lambda }}\log \lambda e^{-\lambda x}\right)^{2}\lambda e^{-\lambda x}\,dx=\int _{0}^{\infty }\left({\frac {1}{\lambda }}-x\right)^{2}\lambda e^{-\lambda x}\,dx=\lambda ^{-2}.}$$

Esto determina la cantidad de información que cada muestra independiente de una distribución exponencial contiene sobre el parámetro de tasa desconocido.${\displaystyle \lambda }$.

Un intervalo de confianza exacto del 100(1 − α)% para el parámetro de tasa de una distribución exponencial viene dado por: ^{[ 16 ]}$${\displaystyle {\frac {2n}{{\widehat {\lambda }}_{\textrm {mle}}\chi _{{\frac {\alpha }{2}},2n}^{2}}}<{\frac {1}{\lambda }}<{\frac {2n}{{\widehat {\lambda }}_{\textrm {mle}}\chi _{1-{\frac {\alpha }{2}},2n}^{2}}}\,,}$$ lo cual también es igual a $${\displaystyle {\frac {2n{\overline {x}}}{\chi _{{\frac {\alpha }{2}},2n}^{2}}}<{\frac {1}{\lambda }}<{\frac {2n{\overline {x}}}{\chi _{1-{\frac {\alpha }{2}},2n}^{2}}}\,,}$$ donde χ²p _{, v} es el percentil 100( p ) de la distribución chi-cuadrado ^con v grados de libertad , n es el número de observaciones y x-barra es la media muestral. Se puede obtener una aproximación simple a los extremos exactos _del intervalo utilizando una aproximación normal a la distribución χ²p _{, v . Esta aproximación proporciona los siguientes valores para un intervalo de confianza} ^del 95%: $${\displaystyle {\begin{aligned}\lambda _{\text{lower}}&={\widehat {\lambda }}\left(1-{\frac {1.96}{\sqrt {n}}}\right)\\\lambda _{\text{upper}}&={\widehat {\lambda }}\left(1+{\frac {1.96}{\sqrt {n}}}\right)\end{aligned}}}$$

Esta aproximación puede ser aceptable para muestras que contengan al menos 15 a 20 elementos. ^{[ 17 ]}

La distribución a priori conjugada para la distribución exponencial es la distribución gamma (de la cual la distribución exponencial es un caso particular). La siguiente parametrización de la función de densidad de probabilidad gamma resulta útil:

$${\displaystyle \operatorname {Gamma} (\lambda$$ ;\alpha ,\beta )={\frac {\beta ^{\alpha }}{\Gamma (\alpha )}}\lambda ^{\alpha -1}\exp(-\lambda \beta ).}

La distribución posterior p puede expresarse entonces en términos de la función de verosimilitud definida anteriormente y una distribución previa gamma:

$${\displaystyle {\begin{aligned}p(\lambda )&\propto L(\lambda )\Gamma (\lambda$$ ;\alpha ,\beta )\\&=\lambda ^{n}\exp \left(-\lambda n{\overline {x}}\right){\frac {\beta ^{\alpha }}{\Gamma (\alpha )}}\lambda ^{\alpha -1}\exp(-\lambda \beta )\\&\propto \lambda ^{(\alpha +n)-1}\exp(-\lambda \left(\beta +n{\overline {x}}\right)).\end{aligned}}}

Ahora se ha especificado la densidad posterior p salvo una constante de normalización faltante. Dado que tiene la forma de una función de densidad de probabilidad gamma, esta se puede completar fácilmente y se obtiene:

$${\displaystyle p(\lambda )=\operatorname {Gamma} (\lambda$$ ;\alpha +n,\beta +n{\overline {x}}).}

Aquí, el hiperparámetro α puede interpretarse como el número de observaciones previas, y β como la suma de las observaciones previas. La media posterior en este caso es: $${\displaystyle {\frac {\alpha +n}{\beta +n{\overline {x}}}}.}$$

La distribución exponencial es una de varias distribuciones estadísticas con estructura de grupo . Como resultado de la estructura de grupo, la exponencial tiene una medida de Haar asociada , que es${\displaystyle 1/\lambda .}$El uso de la medida de Haar como prior (conocida como prior de Haar) en una predicción bayesiana proporciona probabilidades perfectamente calibradas para cualquier valor real del parámetro subyacente. ^{[ 18 ] [ 19 ] [ 20 ]} Las probabilidades perfectamente calibradas tienen la propiedad de que las probabilidades predichas coinciden exactamente con la frecuencia de los eventos fuera de la muestra. Para la exponencial, existe una expresión exacta para las predicciones bayesianas generadas utilizando el prior de Haar, dada por

${\displaystyle p_{\rm {Haar-prior}}(x_{n+1}\mid x_{1},\ldots ,x_{n})={\frac {n^{n+1}\left({\overline {x}}\right)^{n}}{\left(n{\overline {x}}+x_{n+1}\right)^{n+1}}}.}$

Este es un ejemplo de calibración de la predicción a priori, en la que se elige la distribución a priori para mejorar la calibración (y, en este caso, para lograr una calibración perfecta). La calibración de la predicción a priori para la distribución exponencial mediante la distribución a priori de Haar se implementa en el paquete de software R fitdistcp.

La misma predicción puede derivarse de otras perspectivas, como se analiza en la sección de predicciones que aparece a continuación.

La distribución exponencial se produce de forma natural al describir la duración de los intervalos de tiempo entre llegadas en un proceso de Poisson homogéneo .

La distribución exponencial puede considerarse como la contraparte continua de la distribución geométrica , que describe el número de ensayos de Bernoulli necesarios para que un proceso discreto cambie de estado. En cambio, la distribución exponencial describe el tiempo que tarda un proceso continuo en cambiar de estado.

En situaciones reales, la suposición de una tasa constante (o probabilidad por unidad de tiempo) rara vez se cumple. Por ejemplo, la tasa de llamadas entrantes varía según la hora del día. Sin embargo, si nos centramos en un intervalo de tiempo durante el cual la tasa es aproximadamente constante, como de 2 a 4 de la tarde en días laborables, la distribución exponencial puede utilizarse como un buen modelo aproximado para el tiempo que transcurre hasta la siguiente llamada. Se aplican advertencias similares a los siguientes ejemplos, que dan como resultado variables con distribución aproximadamente exponencial:

• El tiempo que tarda una partícula radiactiva en desintegrarse , o el tiempo entre los clics de un contador Geiger.
• El tiempo transcurrido entre recibir una llamada telefónica y la siguiente.
• El tiempo hasta el impago (a los acreedores de la empresa) en la modelización del riesgo crediticio en forma reducida.

Las variables exponenciales también pueden utilizarse para modelar situaciones en las que ciertos eventos ocurren con una probabilidad constante por unidad de longitud, como la distancia entre mutaciones en una cadena de ADN o entre animales atropellados en una carretera determinada.

En la teoría de colas , los tiempos de servicio de los agentes en un sistema (por ejemplo, el tiempo que tarda un cajero en atender a un cliente) suelen modelarse como variables con distribución exponencial. (La llegada de clientes, por ejemplo, también se modela mediante la distribución de Poisson si las llegadas son independientes y se distribuyen de forma idéntica). La duración de un proceso, que puede considerarse como una secuencia de varias tareas independientes, sigue la distribución de Erlang (que es la distribución de la suma de varias variables independientes con distribución exponencial).

La teoría y la ingeniería de la fiabilidad también utilizan ampliamente la distribución exponencial. Debido a su propiedad de no memoria, esta distribución es idónea para modelar la parte de la curva de bañera con tasa de riesgo constante , empleada en la teoría de la fiabilidad. Además, resulta muy conveniente por la facilidad con la que se pueden incorporar las tasas de fallo en un modelo de fiabilidad. Sin embargo, la distribución exponencial no es apropiada para modelar la vida útil total de organismos o dispositivos técnicos, ya que las tasas de fallo en este caso no son constantes: se producen más fallos en sistemas muy jóvenes y muy antiguos.

En física , si se observa un gas a temperatura y presión constantes en un campo gravitatorio uniforme , las alturas de las distintas moléculas también siguen una distribución exponencial aproximada, conocida como fórmula barométrica . Esto es consecuencia de la propiedad de entropía que se menciona más adelante.

En hidrología , la distribución exponencial se utiliza para analizar valores extremos de variables como los valores máximos mensuales y anuales de las precipitaciones diarias y los volúmenes de descarga de los ríos. ^{[ 21 ]}

La imagen azul ilustra un ejemplo de ajuste de la distribución exponencial a las precipitaciones máximas anuales de un día ordenadas, mostrando también el intervalo de confianza del 90 % basado en la distribución binomial . Los datos de precipitación se representan mediante la representación gráfica de las posiciones como parte del análisis de frecuencia acumulada .

En la gestión de quirófanos, la distribución de la duración de las cirugías para una categoría de cirugías sin un contenido de trabajo típico (como en una sala de urgencias, que abarca todo tipo de cirugías).

Having observed a sample of n data points from an unknown exponential distribution a common task is to use these samples to make predictions about future data from the same source. A common predictive distribution over future samples is the so-called plug-in distribution, formed by plugging a suitable estimate for the rate parameter λ into the exponential density function. A common choice of estimate is the one provided by the principle of maximum likelihood, and using this yields the predictive density over a future sample x_n+1, conditioned on the observed samples x = (x₁, ..., x_n) given by $${\displaystyle p_{\rm {ML}}(x_{n+1}\mid x_{1},\ldots ,x_{n})=\left({\frac {1}{\overline {x}}}\right)\exp \left(-{\frac {x_{n+1}}{\overline {x}}}\right).}$$

The Bayesian approach provides a predictive distribution which takes into account the uncertainty of the estimated parameter, although this may depend crucially on the choice of prior.

A predictive distribution free of the issues of choosing priors that arise under the subjective Bayesian approach is

$${\displaystyle p_{\rm {CNML}}(x_{n+1}\mid x_{1},\ldots ,x_{n})={\frac {n^{n+1}\left({\overline {x}}\right)^{n}}{\left(n{\overline {x}}+x_{n+1}\right)^{n+1}}},}$$

which can be considered as

1. a frequentist confidence distribution, obtained from the distribution of the pivotal quantity ${\displaystyle {x_{n+1}}/{\overline {x}}}$;^[22]
2. a profile predictive likelihood, obtained by eliminating the parameter λ from the joint likelihood of x_n+1 and λ by maximization;^[23]
3. an objective Bayesian predictive posterior distribution, obtained using the non-informative Jeffreys prior 1/λ, which is equal to the right Haar prior in this case. Predictions generated using the right Haar prior are guaranteed to give perfectly calibrated probabilities.^[24][25]
4. the Conditional Normalized Maximum Likelihood (CNML) predictive distribution, from information theoretic considerations.^[26]

The accuracy of a predictive distribution may be measured using the distance or divergence between the true exponential distribution with rate parameter, λ₀, and the predictive distribution based on the sample x. The Kullback–Leibler divergence is a commonly used, parameterisation free measure of the difference between two distributions. Letting Δ(λ₀||p) denote the Kullback–Leibler divergence between an exponential with rate parameter λ₀ and a predictive distribution p it can be shown that

$${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {E} _{\lambda _{0}}\left[\Delta (\lambda _{0}\parallel p_{\rm {ML}})\right]&=\psi (n)+{\frac {1}{n-1}}-\log(n)\\\operatorname {E} _{\lambda _{0}}\left[\Delta (\lambda _{0}\parallel p_{\rm {CNML}})\right]&=\psi (n)+{\frac {1}{n}}-\log(n)\end{aligned}}}$$

where the expectation is taken with respect to the exponential distribution with rate parameter λ₀ ∈ (0, ∞), and ψ( · ) is the digamma function. It is clear that the CNML predictive distribution is strictly superior to the maximum likelihood plug-in distribution in terms of average Kullback–Leibler divergence for all sample sizes n > 0.