Distribución hipoexponencial

En teoría de la probabilidad, la distribución hipoexponencial o distribución de Erlang generalizada es una distribución continua que se utiliza en campos similares a la distribución de Erlang, como la teoría de colas , la ingeniería de tráfico telefónico y, en general, en procesos estocásticos . Se denomina distribución hipoexponencial porque tiene un coeficiente de variación menor que uno, en comparación con la distribución hiperexponencial , cuyo coeficiente de variación es mayor que uno, y la distribución exponencial, cuyo coeficiente de variación es igual a uno.

La distribución de Erlang es una serie de k distribuciones exponenciales, todas con tasa${\displaystyle \lambda }$La hipoexponencial es una serie de k distribuciones exponenciales, cada una con su propia tasa${\displaystyle \lambda _{i}}$, la tasa de la${\displaystyle i^{th}}$distribución exponencial. Si tenemos k variables aleatorias exponenciales distribuidas independientemente${\displaystyle X_{i}}$, entonces la variable aleatoria,

${\displaystyle X=\sum _{i=1}^{k}X_{i}}$

tiene una distribución hipoexponencial. La distribución hipoexponencial tiene un coeficiente de variación mínimo de${\displaystyle 1/k}$.

Donde la distribución tiene dos parámetros (${\displaystyle \lambda _{1}\neq \lambda _{2}}$) Las formas explícitas de las funciones de probabilidad y las estadísticas asociadas son: ^{[ 3 ]}

CDF:${\displaystyle F(x)=1-{\frac {\lambda _{2}}{\lambda _{2}-\lambda _{1}}}e^{-\lambda _{1}x}-{\frac {\lambda _{1}}{\lambda _{1}-\lambda _{2}}}e^{-\lambda _{2}x}}$

PDF:${\displaystyle f(x)={\frac {\lambda _{1}\lambda _{2}}{\lambda _{1}-\lambda _{2}}}(e^{-x\lambda _{2}}-e^{-x\lambda _{1}})}$

Significar:${\displaystyle {\frac {1}{\lambda _{1}}}+{\frac {1}{\lambda _{2}}}}$

Diferencia:${\displaystyle {\frac {1}{\lambda _{1}^{2}}}+{\frac {1}{\lambda _{2}^{2}}}}$

Coeficiente de variación:${\displaystyle {\frac {\sqrt {\lambda _{1}^{2}+\lambda _{2}^{2}}}{\lambda _{1}+\lambda _{2}}}}$

El coeficiente de variación siempre es menor que 1.

Dado el promedio de la muestra (${\displaystyle {\bar {x}}}$) y coeficiente de variación de la muestra (${\displaystyle c}$), los parámetros${\displaystyle \lambda _{1}}$y${\displaystyle \lambda _{2}}$se puede estimar de la siguiente manera:

${\displaystyle \lambda _{1}={\frac {2}{\bar {x}}}\left[1+{\sqrt {1+2(c^{2}-1)}}\right]^{-1}}$

${\displaystyle \lambda _{2}={\frac {2}{\bar {x}}}\left[1-{\sqrt {1+2(c^{2}-1)}}\right]^{-1}}$

Estos estimadores se pueden derivar de los métodos de momentos estableciendo${\displaystyle {\frac {1}{\lambda _{1}}}+{\frac {1}{\lambda _{2}}}={\bar {x}}}$y${\displaystyle {\frac {\sqrt {\lambda _{1}^{2}+\lambda _{2}^{2}}}{\lambda _{1}+\lambda _{2}}}=c}$.

Los parámetros resultantes${\displaystyle \lambda _{1}}$y${\displaystyle \lambda _{2}}$son valores reales si${\displaystyle c^{2}\in [0.5,1]}$.

Una variable aleatoria${\displaystyle X\sim Hypo(\lambda _{1},\dots ,\lambda _{k})}$tiene una función de distribución acumulativa dada por,

${\displaystyle F(x)=1-{\boldsymbol {\alpha }}e^{x\Theta }{\boldsymbol {1}}}$

y función de densidad ,

${\displaystyle f(x)=-{\boldsymbol {\alpha }}e^{x\Theta }\Theta {\boldsymbol {1}}\;,}$

dónde${\displaystyle {\boldsymbol {1}}}$es un vector columna de unos de tamaño k y${\displaystyle e^{A}}$es la exponencial matricial de A. Cuando${\displaystyle \lambda _{i}\neq \lambda _{j}}$a pesar de${\displaystyle i\neq j}$, la función de densidad se puede escribir como

${\displaystyle f(x)=\sum _{i=1}^{k}\lambda _{i}e^{-x\lambda _{i}}\left(\prod _{j=1,j\neq i}^{k}{\frac {\lambda _{j}}{\lambda _{j}-\lambda _{i}}}\right)=\sum _{i=1}^{k}\ell _{i}(0)\lambda _{i}e^{-x\lambda _{i}}}$

dónde${\displaystyle \ell _{1}(x),\dots ,\ell _{k}(x)}$son los polinomios de la base de Lagrange asociados con los puntos${\displaystyle \lambda _{1},\dots ,\lambda _{k}}$.

La distribución tiene transformada de Laplace de

${\displaystyle {\mathcal {L}}\{f(x)\}=-{\boldsymbol {\alpha }}(sI-\Theta )^{-1}\Theta {\boldsymbol {1}}}$

Que se puede utilizar para encontrar momentos,

${\displaystyle E[X^{n}]=(-1)^{n}n!{\boldsymbol {\alpha }}\Theta ^{-n}{\boldsymbol {1}}\;.}$

En el caso general donde hay${\displaystyle a}$sumas distintas de distribuciones exponenciales con tasas${\displaystyle \lambda _{1},\lambda _{2},\cdots ,\lambda _{a}}$y un número de términos en cada suma es igual a${\displaystyle r_{1},r_{2},\cdots ,r_{a}}$respectivamente. La función de distribución acumulativa para${\displaystyle t\geq 0}$es dado por

${\displaystyle F(t)=1-\left(\prod _{j=1}^{a}\lambda _{j}^{r_{j}}\right)\sum _{k=1}^{a}\sum _{l=1}^{r_{k}}{\frac {\Psi _{k,l}(-\lambda _{k})t^{r_{k}-l}\exp(-\lambda _{k}t)}{(r_{k}-l)!(l-1)!}},}$

con

${\displaystyle \Psi _{k,l}(x)=-{\frac {\partial ^{l-1}}{\partial x^{l-1}}}\left(\prod _{j=0,j\neq k}^{a}\left(\lambda _{j}+x\right)^{-r_{j}}\right).}$

con la convención adicional${\displaystyle \lambda _{0}=0,r_{0}=1}$. ^{[ 4 ]}

Esta distribución se ha utilizado en genética de poblaciones, ^{[ 5 ]} biología celular, ^{[ 6 ] [ 7 ]} y teoría de colas. ^{[ 8 ] [ 9 ]}

• Distribución de tipo fase
• Distribución de Cox

• MF Neuts . (1981) Soluciones matriciales geométricas en modelos estocásticos: un enfoque algorítmico, Capítulo 2: Distribuciones de probabilidad de tipo fase; Dover Publications Inc.
• G. Latouche, V. Ramaswami. (1999) Introducción a los métodos analíticos matriciales en el modelado estocástico, 1.ª edición. Capítulo 2: Distribuciones PH; ASA SIAM,
• Colm A. O'Cinneide (1999). Distribución de tipo fase: problemas abiertos y algunas propiedades , Communication in Statistic - Stochastic Models, 15(4), 731 – 757.
• L. Leemis y J. McQueston (2008). Relaciones de distribución univariadas , The American Statistician, 62(1), 45—53.
• S. Ross. (2007) Introducción a los modelos de probabilidad, 9.ª edición, Nueva York: Academic Press