amnesia

En probabilidad y estadística , la ausencia de memoria es una propiedad de las distribuciones de probabilidad . Describe situaciones en las que los fallos previos o el tiempo transcurrido no afectan a los intentos futuros ni al tiempo de espera posterior. Solo las distribuciones geométrica y exponencial carecen de memoria.

Una variable aleatoria${\displaystyle X}$es sin memoria si$${\displaystyle \Pr(X>t+s\mid X>s)=\Pr(X>t)}$$dónde${\displaystyle \Pr }$es su función de masa de probabilidad o función de densidad de probabilidad cuando${\displaystyle X}$es discreto o continuo respectivamente y${\displaystyle t}$y${\displaystyle s}$son números no negativos . ^{[ 1 ] [ 2 ]} En casos discretos, la definición describe el primer éxito en una secuencia infinita de ensayos de Bernoulli independientes e idénticamente distribuidos , como el número de lanzamientos de moneda hasta que salga cara. ^{[ 3 ]} En situaciones continuas, la ausencia de memoria modela fenómenos aleatorios, como el tiempo entre dos terremotos. ^{[ 4 ]} La propiedad de ausencia de memoria afirma que el número de ensayos fallidos previos o el tiempo transcurrido es independiente , o no tiene efecto, en los ensayos futuros o el tiempo de anticipación.

La igualdad caracteriza las distribuciones geométrica y exponencial en contextos discretos y continuos respectivamente. ^{[ 1 ] [ 5 ]} En otras palabras, la variable aleatoria geométrica es la única distribución discreta sin memoria y la variable aleatoria exponencial es la única distribución continua sin memoria.

En contextos discretos, la definición se modifica a${\textstyle \Pr(X>t+s\mid X\geq s)=\Pr(X>t)}$cuando la distribución geométrica comienza en${\displaystyle 0}$en lugar de${\displaystyle 1}$por lo tanto, la igualdad aún se satisface. ^{[ 6 ] [ 7 ]}

Si una distribución de probabilidad continua no tiene memoria, entonces debe ser la distribución exponencial.

De la propiedad de falta de memoria,$${\displaystyle \Pr(X>t+s\mid X>s)=\Pr(X>t).}$$La definición de probabilidad condicional revela que$${\displaystyle {\frac {\Pr(X>t+s)}{\Pr(X>s)}}=\Pr(X>t).}$$Reorganizando la igualdad con la función de supervivencia ,${\displaystyle S(t)=\Pr(X>t)}$, da$${\displaystyle S(t+s)=S(t)S(s).}$$Esto implica que para cualquier número natural${\displaystyle k}$$${\displaystyle S(kt)=S(t)^{k}.}$$De manera similar, dividiendo la entrada de la función de supervivencia y tomando la${\displaystyle k}$-raíz,$${\displaystyle S\left({\frac {t}{k}}\right)=S(t)^{\frac {1}{k}}.}$$En general, la igualdad es verdadera para cualquier número racional en lugar de${\displaystyle k}$. Dado que la función de supervivencia es continua y los números racionales son densos en los números reales (en otras palabras, siempre hay un número racional arbitrariamente cercano a cualquier número real), la igualdad también se cumple para los reales. Como resultado,$${\displaystyle S(t)=S(1)^{t}=e^{t\ln S(1)}=e^{-\lambda t}}$$dónde${\displaystyle \lambda =-\ln S(1)\geq 0}$. Esta es la función de supervivencia de la distribución exponencial. ^{[ 5 ]}

Si una distribución de probabilidad discreta no tiene memoria, entonces debe ser la distribución geométrica.

De la propiedad de falta de memoria, $${\displaystyle \Pr(X>t+s\mid X\geq s)=\Pr(X>t).}$$ La definición de probabilidad condicional revela que $${\displaystyle {\frac {\Pr(X>t+s)}{\Pr(X\geq s)}}=\Pr(X>t).}$$ De esto se puede demostrar por inducción que $${\displaystyle \Pr(X>k)=\Pr(X>1)^{k}.}$$ Entonces se deduce que $${\displaystyle f_{X}(x)=\Pr(X\leq x)=1-\Pr(X>x)=1-\Pr(X>1)^{x},}$$ y si dejamos $${\displaystyle p:=1-\Pr(X>1)\in [0,1]}$$ podemos ver fácilmente que${\displaystyle X}$se distribuye geométricamente con algún parámetro${\displaystyle p}$; en otras palabras $${\displaystyle X\sim \operatorname {Geo} (p).}$$