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Distribución de confianza

En inferencia estadística , el concepto de distribución de confianza ( DC ) se ha descrito a menudo de forma imprecisa como una función de distribución en el espacio de parámetr...

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En inferencia estadística , el concepto de distribución de confianza ( DC ) se ha descrito a menudo de forma imprecisa como una función de distribución en el espacio de parámetros que puede representar intervalos de confianza de todos los niveles para un parámetro de interés. Históricamente, se ha construido invirtiendo los límites superiores de los intervalos de confianza inferiores de todos los niveles. También se ha asociado comúnmente con una interpretación fiducial [ 1 ] ( distribución fiducial ), aunque se trata de un concepto puramente frecuentista [ 2 ] . Una distribución de confianza no es una función de distribución de probabilidad del parámetro de interés, pero puede ser útil para realizar inferencias [ 3 ] .

En los últimos años, ha habido un resurgimiento del interés en las distribuciones de confianza. [ 3 ] En los desarrollos más recientes, el concepto de distribución de confianza ha surgido como un concepto puramente frecuentista , sin ninguna interpretación fiducial ni razonamiento. Conceptualmente, una distribución de confianza no difiere de un estimador puntual o un estimador de intervalo ( intervalo de confianza ), pero utiliza una función de distribución dependiente de la muestra en el espacio de parámetros (en lugar de un punto o un intervalo) para estimar el parámetro de interés.

Un ejemplo sencillo de distribución de confianza, ampliamente utilizado en la práctica estadística, es la distribución bootstrap . [ 4 ] El desarrollo e interpretación de una distribución bootstrap no implica ningún razonamiento fiducial; lo mismo ocurre con el concepto de distribución de confianza. Sin embargo, la noción de distribución de confianza es mucho más amplia que la de distribución bootstrap. En particular, investigaciones recientes sugieren que abarca y unifica una amplia gama de ejemplos, desde casos paramétricos regulares (incluyendo la mayoría de los ejemplos del desarrollo clásico de la distribución fiducial de Fisher) hasta distribuciones bootstrap, funciones de valor p , [ 5 ] funciones de verosimilitud normalizadas y, en algunos casos, distribuciones a priori y a posteriori bayesianas . [ 6 ]

Así como una distribución posterior bayesiana contiene abundante información para cualquier tipo de inferencia bayesiana , una distribución de confianza contiene abundante información para construir casi todos los tipos de inferencias frecuentistas, incluyendo estimaciones puntuales , intervalos de confianza , valores críticos, potencia estadística y valores p, [ 7 ] entre otros. Algunos desarrollos recientes han resaltado el potencial prometedor del concepto de CD como una herramienta inferencial eficaz. [ 3 ]

Historia

Neyman (1937) [ 8 ] introdujo la idea de "confianza" en su artículo fundamental sobre intervalos de confianza que aclaró la propiedad de repetición frecuentista. Según Fraser, [ 9 ] la semilla (idea) de la distribución de confianza puede incluso rastrearse hasta Bayes (1763) [ 10 ] y Fisher (1930). [ 1 ] Aunque la frase parece usarse por primera vez en Cox (1958). [ 11 ] Algunos investigadores ven la distribución de confianza como "la interpretación neymaniana de las distribuciones fiduciales de Fisher", [ 12 ] que fue "furiosamente disputada por Fisher". [ 13 ] También se cree que estas "disputas improductivas" y la "obstinada insistencia" de Fisher [ 13 ] podrían ser la razón por la que el concepto de distribución de confianza se ha malinterpretado durante mucho tiempo como un concepto fiducial y no se ha desarrollado completamente bajo el marco frecuentista. [ 6 ] [ 14 ] De hecho, la distribución de confianza es un concepto puramente frecuentista con una interpretación puramente frecuentista, aunque también tiene vínculos con conceptos de inferencia bayesiana y fiducial.

Definición

Definición clásica

Clásicamente, una distribución de confianza se define invirtiendo los límites superiores de una serie de intervalos de confianza inferiores. [ 15 ] [ 16 ] En particular,

Para cada α en (0,  1), sea (−∞, ξ n ( α )] un intervalo de confianza del lado inferior del 100α% para θ , donde ξ n ( α ) = ξ n ( X n ,α) es continua y creciente en α para cada muestra X n . Entonces, H n (•) = ξ n −1 (•) es una distribución de confianza para θ .     

Efron afirmó que esta distribución "asigna una probabilidad de 0,05 a θ que se encuentra entre los extremos superiores del intervalo de confianza de 0,90 y 0,95, etc. " y "tiene un poderoso atractivo intuitivo". [ 16 ] En la literatura clásica, [ 3 ] la función de distribución de confianza se interpreta como una función de distribución del parámetro θ , lo cual es imposible a menos que se involucre un razonamiento fiducial ya que, en un entorno frecuentista, los parámetros son fijos y no aleatorios.

Interpretar la función CD completamente desde un punto de vista frecuentista y no como una función de distribución de un parámetro (fijo/no aleatorio) es una de las principales divergencias del desarrollo reciente con respecto al enfoque clásico. Lo bueno de tratar las distribuciones de confianza como un concepto puramente frecuentista (similar a un estimador puntual) es que ahora está libre de las restricciones, si no controvertidas, establecidas por Fisher sobre las distribuciones fiduciales. [ 6 ] [ 14 ]

La definición moderna

Se aplica la siguiente definición; [ 12 ] [ 17 ] [ 18 ] Θ es el espacio de parámetros del parámetro desconocido de interés θ , y χ es el espacio muestral correspondiente a los datos X n ={ X 1 , ..., X n }:

Una función H n (•) = H n ( X n ,  •) en χ  × Θ → [0, 1] se denomina distribución de confianza (DC) para un parámetro θ , si cumple dos requisitos:     
  • (R1) Para cada X n ∈ χ dado , H n (•) = H n ( X n ,  •) es una función de distribución acumulativa continua en Θ ;
  • (R2) En el valor del parámetro verdadero θ  = θ 0 , H n ( θ 0 ) ≡ H n ( X n , θ 0 ), como función de la muestra X n , sigue la distribución uniforme U [0, 1].    

Además, la función H es una CD asintótica ( aCD ), si el requisito U [0,  1] es verdadero solo asintóticamente y se elimina el requisito de continuidad en H n (•).

En términos no técnicos, una distribución de confianza es una función tanto del parámetro como de la muestra aleatoria, con dos requisitos. El primer requisito (R1) simplemente exige que la distribución de confianza sea una distribución en el espacio de parámetros. El segundo requisito (R2) impone una restricción a la función para que las inferencias (estimadores puntuales, intervalos de confianza y pruebas de hipótesis, etc.) basadas en la distribución de confianza tengan las propiedades frecuentistas deseadas. Esto es similar a las restricciones en la estimación puntual para garantizar ciertas propiedades deseadas, como la insesgadez, la consistencia, la eficiencia, etc. [ 6 ] [ 19 ]

Una distribución de confianza derivada al invertir los límites superiores de los intervalos de confianza (definición clásica) también satisface los requisitos de la definición anterior y esta versión de la definición es consistente con la definición clásica. [ 18 ]

A diferencia de la inferencia fiducial clásica, en cualquier configuración específica puede haber más de una distribución de confianza disponible para estimar un parámetro. Asimismo, a diferencia de la inferencia fiducial clásica, la optimalidad no es un requisito. Dependiendo de la configuración y el criterio utilizado, a veces existe una única distribución de confianza "óptima" (en términos de optimalidad). Pero en ocasiones no hay una distribución de confianza óptima disponible o, en algunos casos extremos, puede que ni siquiera podamos encontrar una distribución de confianza significativa. Esto no difiere de la práctica de la estimación puntual.

Una definición con espacios medibles

Una distribución de confianza [ 20 ]do{\displaystyle C}para un parámetroγ{\displaystyle \gamma }en un espacio medible es un estimador de distribución condo(Apag)=pag{\displaystyle C(A_{p})=p}para una familia de regiones de confianzaApag{\displaystyle A_{p}}paraγ{\displaystyle \gamma }con nivelpag{\displaystyle p}para todos los niveles0<pag<1{\displaystyle 0<p<1}. La familia de regiones de confianza no es única. [ 21 ] SiApag{\displaystyle A_{p}}solo existe parapag∈I⊂(0,1){\displaystyle p\in I\subset (0,1)}, entoncesdo{\displaystyle C}es una distribución de confianza con conjunto de nivelesI{\displaystyle I}. Ambosdo{\displaystyle C}y todoApag{\displaystyle A_{p}}son funciones medibles de los datos. Esto implica quedo{\displaystyle C}es una medida aleatoria yApag{\displaystyle A_{p}}es un conjunto aleatorio. Si el requisito definitorioPAG(γ∈Apag)≥pag{\displaystyle P(\gamma \in A_{p})\geq p}se cumple con igualdad, entonces la distribución de confianza es por definición exacta. Si, además,γ{\displaystyle \gamma }Si se trata de un parámetro real, entonces la definición de la teoría de la medida coincide con la definición clásica anterior.

Ejemplos

Ejemplo 1: Media y varianza normales

Supongamos que se da una muestra normal X i  ~ N ( μ , σ 2 ), i = 1, 2, ..., n .       

Varianza conocida σ 2

Sea Φ la función de distribución acumulativa de la distribución normal estándar, yFtnorte−1{\displaystyle F_{t_{n-1}}}la función de distribución acumulativa de Studenttnorte−1{\displaystyle t_{n-1}}distribución. Ambas funcionesHΦ(μ){\displaystyle H_{\mathit {\Phi }}(\mu )}yHt(μ){\displaystyle H_{t}(\mu )}dado por

HΦ(μ)=Φ(norte(μ−incógnita¯)σ),yHt(μ)=Ftnorte−1(norte(μ−incógnita¯)s),{\displaystyle H_{\Phi }(\mu )={\mathit {\Phi }}{\left({\frac {{\sqrt {n}}(\mu -{\bar {X}})}{\sigma }}\right)},\quad {\text{and}}\quad H_{t}(\mu )=F_{t_{n-1}}{\left({\frac {{\sqrt {n}}(\mu -{\bar {X}})}{s}}\right)},}

satisfacen los dos requisitos de la definición de CD, y son funciones de distribución de confianza para μ . [ 3 ] Además, 

HA(μ)=Φ(norte(μ−incógnita¯)s){\displaystyle H_{A}(\mu )={\mathit {\Phi }}{\left({\frac {{\sqrt {n}}(\mu -{\bar {X}})}{s}}\right)}}

satisface la definición de una distribución de confianza asintótica cuando n →∞, y es una distribución de confianza asintótica para μ . Los usos deHt(μ){\displaystyle H_{t}(\mu )}yHA(μ){\displaystyle H_{A}(\mu )}son equivalentes a afirmar que usamosnorte(incógnita¯,σ2){\displaystyle N({\bar {X}},\sigma ^{2})}ynorte(incógnita¯,s2){\displaystyle N({\bar {X}},s^{2})}estimarμ{\displaystyle \mu }, respectivamente.

Varianza desconocida

Para el parámetro μ , ya queHΦ(μ){\displaystyle H_{\mathit {\Phi }}(\mu )}implica el parámetro desconocido σ y viola los dos requisitos de la definición de CD, ya no es un "estimador de distribución" ni una distribución de confianza para μ . [ 3 ] Sin embargo, Ht(μ){\displaystyle H_{t}(\mu )}sigue siendo un CD para μ yHA(μ){\displaystyle H_{A}(\mu )}es un aCD para μ . 

Para el parámetro σ 2 , la función de distribución acumulativa dependiente de la muestra

Hχ2(θ)=1−Fχnorte−12((norte−1)s2/θ){\displaystyle H_{\chi ^{2}}(\theta )=1-F_{\chi _{n-1}^{2}}{\left((n-1)s^{2}/\theta \right)}}

es una función de distribución de confianza para σ 2 . [ 6 ] Aquí,Fχnorte−12{\displaystyle F_{\chi _{n-1}^{2}}}es la función de distribución acumulativa de laχnorte−12{\displaystyle \chi _{n-1}^{2}}distribución .

En el caso de que se conozca la varianza σ 2 ,HΦ(μ)=Φ(norteσ(μ−incógnita¯)){\textstyle H_{\mathit {\Phi }}(\mu )={\mathit {\Phi }}\left({\frac {\sqrt {n}}{\sigma }}(\mu -{\bar {X}})\right)}es óptimo en términos de producir los intervalos de confianza más cortos en cualquier nivel dado. En el caso de que la varianza σ 2 sea desconocida,Ht(μ)=Ftnorte−1(nortes(μ−incógnita¯)){\textstyle H_{t}(\mu )=F_{t_{n-1}}\left({\frac {\sqrt {n}}{s}}(\mu -{\bar {X}})\right)}es una distribución de confianza óptima para μ .

Ejemplo 2: Correlación normal bivariada

Sea ρ el coeficiente de correlación de una población normal bivariada . Es bien sabido que la z de Fisher se define mediante la transformación de Fisher :

z=12ln⁡1+r1−r{\displaystyle z={\frac {1}{2}}\ln {1+r \over 1-r}}

tiene la distribución limitantenorte(12ln⁡1+ρ1−ρ,1norte−3){\textstyle N{\left({1 \over 2}\ln {{1+\rho } \over {1-\rho }},{1 \over n-3}\right)}}con una rápida tasa de convergencia , donde r es la correlación de la muestra y n es el tamaño de la muestra.

La función

Hnorte(ρ)=1−Φ(norte−3(12ln⁡1+r1−r−12ln⁡1+ρ1−ρ)){\displaystyle H_{n}(\rho )=1-{\mathit {\Phi }}\left({\sqrt {n-3}}\left({1 \over 2}\ln {1+r \over 1-r}-{1 \over 2}\ln {{1+\rho } \over {1-\rho }}\right)\right)}

es una distribución de confianza asintótica para ρ . [ 22 ]

Una densidad de confianza exacta para ρ es [ 23 ] [ 24 ]

π(ρ∣r)=ν(ν−1)Γ(ν−1)2πΓ(ν+12)(1−r2)ν−12⋅(1−ρ2)ν−22⋅(1−rρ)−ν+12F(32,−12;ν+12;1+rρ2){\displaystyle \pi (\rho \mid r)={\frac {\nu (\nu -1)\Gamma (\nu -1)}{{\sqrt {2\pi }}\Gamma (\nu +{\frac {1}{2}})}}\left(1-r^{2}\right)^{\frac {\nu -1}{2}}\cdot \left(1-\rho ^{2}\right)^{\frac {\nu -2}{2}}\cdot \left(1-r\rho \right)^{-\nu +{\frac {1}{2}}}F{\left({\frac {3}{2}},-{\frac {1}{2}};\nu +{\frac {1}{2}};{\frac {1+r\rho }{2}}\right)}}

dónde F{\displaystyle F}es la función hipergeométrica gaussiana yν=norte−1>1{\displaystyle \nu =n-1>1}. Esta es también la densidad posterior de una distribución a priori de ajuste bayesiano para los cinco parámetros en la distribución binormal. [ 25 ]

La última fórmula del libro clásico de Fisher da

π(ρ|r)=(1−r2)ν−12⋅(1−ρ2)ν−22π(ν−2)¡∂ρrν−2{θ−12pecado⁡2θpecado3⁡θ}{\displaystyle \pi (\rho |r)={\frac {(1-r^{2})^{\frac {\nu -1}{2}}\cdot (1-\rho ^{2})^{\frac {\nu -2}{2}}}{\pi (\nu -2)!}}\partial _{\rho r}^{\nu -2}\left\{{\frac {\theta -{\frac {1}{2}}\sin 2\theta }{\sin ^{3}\theta }}\right\}}

dóndeporque⁡θ=−ρr{\displaystyle \cos \theta =-\rho r}y0<θ<π{\displaystyle 0<\theta <\pi }Esta fórmula fue derivada por CR Rao . [ 26 ]

Ejemplo 3: Media binormal

Deje que los datos sean generados porY=γ+U{\displaystyle Y=\gamma +U}dóndeγ{\displaystyle \gamma }es un vector desconocido en el plano yU{\displaystyle U}tiene una distribución binormal y conocida en el plano. La distribución deΓy=y−U{\displaystyle \Gamma ^{y}=y-U}define una distribución de confianza paraγ{\displaystyle \gamma }Las regiones de confianzaApag{\displaystyle A_{p}}puede elegirse como el interior de elipses centradas enγ{\displaystyle \gamma }y ejes dados por los autovectores de la matriz de covarianza deΓy{\displaystyle \Gamma ^{y}}La distribución de confianza es en este caso binormal con mediaγ{\displaystyle \gamma }y las regiones de confianza se pueden elegir de muchas otras maneras. [ 21 ] La distribución de confianza coincide en este caso con la distribución posterior bayesiana utilizando la distribución previa de Haar derecha. [ 27 ] El argumento se generaliza al caso de una media desconocidaγ{\displaystyle \gamma }en un espacio de Hilbert de dimensión infinita , pero en este caso la distribución de confianza no es una distribución posterior bayesiana. [ 28 ]

Utilización de distribuciones de confianza para la inferencia

Intervalo de confianza

De la definición de CD, es evidente que el intervalo(−∞,Hnorte−1(1−α)],[Hnorte−1(α),∞){\displaystyle (-\infty ,H_{n}^{-1}(1-\alpha )],[H_{n}^{-1}(\alpha ),\infty )}y[Hnorte−1(α/2),Hnorte−1(1−α/2)]{\displaystyle [H_{n}^{-1}(\alpha /2),H_{n}^{-1}(1-\alpha /2)]}Proporcionar intervalos de confianza de nivel 100(1 − α )% de diferentes tipos, para θ , para cualquier α ∈ (0, 1). También     [Hnorte−1(α1),Hnorte−1(1−α2)]{\displaystyle [H_{n}^{-1}(\alpha _{1}),H_{n}^{-1}(1-\alpha _{2})]}es un intervalo de confianza de nivel 100(1 − α 1 − α 2 )% para el parámetro θ para cualquier α 1 > 0, α 2 > 0 y α 1 + α 2 < 1. Aquí,            Hnorte−1(β){\displaystyle H_{n}^{-1}(\beta )}es el cuantil β % del 100Hnorte(θ){\displaystyle H_{n}(\theta )}o resuelve para θ en la ecuaciónHnorte(θ)=β{\displaystyle H_{n}(\theta )=\beta }Lo mismo ocurre con un CD, donde el nivel de confianza se alcanza en el límite. Algunos autores han propuesto utilizarlos para visualizar gráficamente qué valores de parámetros son consistentes con los datos, en lugar de para fines de cobertura o rendimiento. [ 29 ] [ 30 ]

Estimación puntual

También se pueden construir estimadores puntuales a partir de un estimador de distribución de confianza para el parámetro de interés. Por ejemplo, dada H n ( θ ) la CD para un parámetro θ , las opciones naturales de estimadores puntuales incluyen la mediana M n  = H n − 1 (1/2), la media θ¯norte=∫−∞∞tdHnorte(t){\textstyle {\bar {\theta }}_{n}=\int _{-\infty }^{\infty }t\,\mathrm {d} H_{n}(t)}y el punto máximo de la densidad de CD

θ^norte=arg⁡máximoθhnorte(θ),hnorte(θ)=Hnorte′(θ).{\displaystyle {\widehat {\theta }}_{n}=\arg \max _{\theta }h_{n}(\theta ),h_{n}(\theta )=H'_{n}(\theta ).}

Bajo ciertas condiciones modestas, entre otras propiedades, se puede demostrar que todos estos estimadores puntuales son consistentes. [ 6 ] [ 22 ] Ciertas distribuciones de confianza pueden dar estimadores frecuentistas óptimos. [ 28 ]

Prueba de hipótesis

Se puede derivar un valor p para una prueba, ya sea unilateral o bilateral, con respecto al parámetro θ , a partir de su distribución de confianza H n ( θ ). [ 6 ] [ 22 ] Denotemos por la masa de probabilidad de un conjunto C bajo la función de distribución de confianza pags(do)=Hnorte(do)=∫dodH(θ).{\textstyle p_{s}(C)=H_{n}(C)=\int _{C}\mathrm {d} H(\theta ).}Este p s (C) se denomina "soporte" en la inferencia CD y también se conoce como "creencia" en la literatura fiducial. [ 31 ] Tenemos

  1. Para la prueba unilateral K 0 : θ  ∈ C vs. K 1 : θ ∈ C c , donde C es del tipo de ( − ∞, b ] o [ b , ∞), se puede demostrar a partir de la definición de CD que sup θ ∈ C P θ ( p s ( C ) ≤ α ) = α . Por lo tanto, p s ( C ) = H n ( C ) es el valor p correspondiente de la prueba.             
  2. Para la prueba de un solo elemento K 0 : θ  = b vs. K 1 : θ ≠ b , P { K 0 : θ = b } (2 min{ p s ( C lo ), se puede demostrar a partir de la definición de CD que p s ( C up )} ≤ α ) = α . Por lo tanto, 2 min{ p s ( C lo ), p s ( C up )} = 2 min{ H n ( b ), 1 − H n ( b )} es el valor p correspondiente de la prueba. Aquí, C lo = ( − ∞, b ] y C up = [ b , ∞).                     

Consulte la Figura 1 de Xie y Singh (2011) [ 6 ] para una ilustración gráfica de la inferencia CD.

Implementaciones

Algunos programas estadísticos han implementado la capacidad de construir y graficar distribuciones de confianza.

Véase también

Referencias

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Bibliografía

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