Un ensayo para resolver un problema en la doctrina de las probabilidades

« Ensayo para resolver un problema en la doctrina de las probabilidades » es una obra sobre la teoría matemática de la probabilidad de Thomas Bayes , publicada en 1763, ^{[ 1 ]} dos años después de la muerte de su autor, y que contiene múltiples enmiendas y adiciones de su amigo Richard Price . El título proviene del uso contemporáneo de la frase «doctrina de las probabilidades» para referirse a la teoría de la probabilidad, que había sido introducida a través del título de un libro de Abraham de Moivre . Las reimpresiones contemporáneas del ensayo llevan un título más específico y significativo: « Un método para calcular la probabilidad exacta de todas las conclusiones basadas en la inducción» . ^{[ 2 ]}

El ensayo incluye teoremas de probabilidad condicional que forman la base de lo que ahora se llama Teorema de Bayes , junto con un tratamiento detallado del problema de establecer una probabilidad a priori .

Bayes supuso una secuencia de experimentos independientes, cada uno con un resultado de éxito o fracaso, siendo la probabilidad de éxito un número p entre 0 y  1. Pero luego supuso que p era una cantidad incierta, cuya probabilidad de estar en cualquier intervalo entre 0 y 1 es la longitud del intervalo. En términos modernos, p se consideraría una variable aleatoria uniformemente distribuida entre 0 y  1. Condicionadamente al valor de p , los ensayos que resultan en éxito o fracaso son independientes, pero incondicionalmente (o " marginalmente ") no lo son. Esto se debe a que si se observa un gran número de éxitos, entonces es más probable que p sea grande, por lo que el éxito en el siguiente ensayo es más probable. La pregunta que Bayes abordó fue: ¿cuál es la distribución de probabilidad condicional de p , dados los números de éxitos y fracasos observados hasta ahora? La respuesta es que su función de densidad de probabilidad es

${\displaystyle f(p)={\frac {(n+1)!}{k!(n-k)!}}p^{k}(1-p)^{n-k}{\text{ for }}0\leq p\leq 1}$

(y ƒ ( p )  =  0 para p  <  0 o p  >  1) donde k es el número de éxitos observados hasta el momento, y n es el número de ensayos observados hasta el momento. Esto es lo que hoy se denomina distribución Beta con parámetros k  +  1 y n − k + 1.    

Los resultados preliminares de Bayes en probabilidad condicional (especialmente las Proposiciones 3, 4 y 5) implican la veracidad del teorema que lleva su nombre. Él afirma: «Si hay dos eventos consecutivos, la probabilidad del segundo es b/N y la probabilidad de ambos juntos es P/N, y se descubre primero que el segundo evento también ha ocurrido, por lo tanto deduzco que el primer evento también ha ocurrido, la probabilidad de que tenga razón es P/b». Simbólicamente, esto implica (véase Stigler 1982):

${\displaystyle P(B\mid A)={\frac {P(A\cap B)}{P(A)}},{\text{ if }}P(A)\neq 0,}$

lo que nos lleva al teorema de Bayes para probabilidades condicionales:

${\displaystyle \Rightarrow P(A\mid B)={\frac {P(B\mid A)\,P(A)}{P(B)}},{\text{ if }}P(B)\neq 0.}$

Sin embargo, no parece que Bayes hiciera hincapié o se centrara en este hallazgo. Más bien, se centró en encontrar la solución a un problema inferencial mucho más amplio:

"Dado el número de veces que ha ocurrido y fallado un evento desconocido [...], encuentre la posibilidad de que la probabilidad de que ocurra en un solo ensayo se encuentre en algún punto entre dos grados de probabilidad cualesquiera que se puedan nombrar." ^{[ 1 ]}

El ensayo incluye el ejemplo de un hombre que intenta adivinar la proporción de "segmentos en blanco" y "premios" en una lotería. Hasta el momento, el hombre ha visto cómo se sorteaban diez espacios en blanco y un premio. Con estos datos, Bayes mostró en detalle cómo calcular la probabilidad de que la proporción de espacios en blanco a premios esté entre 9:1 y 11:1 (la probabilidad es baja, alrededor del 7,7%). Continuó describiendo ese cálculo después de que el hombre viera cómo se sorteaban veinte espacios en blanco y dos premios, cuarenta espacios en blanco y cuatro premios, y así sucesivamente. Finalmente, tras haber sorteado 10 000 espacios en blanco y 1 000 premios, la probabilidad alcanza aproximadamente el 97%. ^{[ 1 ]}

El resultado principal de Bayes (Proposición 9) es el siguiente en términos modernos:

Supongamos una distribución previa uniforme del parámetro binomial.${\displaystyle p}$Después de observar${\displaystyle m}$éxitos y${\displaystyle n}$fracasos,

${\displaystyle P(a<p<b\mid m;n)={\dfrac {\displaystyle \int _{a}^{b}{n+m \choose m}p^{m}(1-p)^{n}\,dp}{\displaystyle \int _{0}^{1}{n+m \choose m}p^{m}(1-p)^{n}\,dp}}\;.}$

No está claro si Bayes era un "bayesiano" en el sentido moderno. Es decir, si estaba interesado en la inferencia bayesiana o simplemente en la probabilidad . La proposición 9 parece "bayesiana" en su presentación como una probabilidad sobre el parámetro.${\displaystyle p}$Sin embargo, Bayes planteó su pregunta de una manera que sugiere un punto de vista frecuentista: supuso que se lanza una bola al azar sobre una mesa cuadrada (esta mesa a menudo se representa erróneamente como una mesa de billar, y la bola como una bola de billar, pero Bayes nunca las describe como tales), y consideró otras bolas que caen a la izquierda o a la derecha de la primera bola con probabilidades${\displaystyle p}$y${\displaystyle 1-p}$El álgebra es, por supuesto, idéntica independientemente del punto de vista que se adopte.

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• Ensayo para la resolución de un problema en la doctrina de las probabilidades en elDepartamento de Estadística de la UCLA.