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Articulo de referencia

Distribución exponencial de Kaniadakis

La distribución exponencial de Kaniadakis (o distribución κ -exponencial) es una distribución de probabilidad que surge de la maximización de la entropía de Kaniadakis bajo rest...

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La distribución exponencial de Kaniadakis (o distribución κ -exponencial) es una distribución de probabilidad que surge de la maximización de la entropía de Kaniadakis bajo restricciones apropiadas. Es un ejemplo de una distribución de Kaniadakis . La κ -exponencial es una generalización de la distribución exponencial de la misma manera que la entropía de Kaniadakis es una generalización de la entropía estándar de Boltzmann-Gibbs o la entropía de Shannon . [ 1 ] La distribución κ -exponencial de Tipo I es un caso particular de la distribución κ -Gamma , mientras que la distribución κ -exponencial de Tipo II es un caso particular de la distribución κ -Weibull .

Tipo I

Función de densidad de probabilidad

La distribución exponencial κ de Kaniadakis de tipo I forma parte de una clase de distribuciones estadísticas derivadas de la estadística κ de Kaniadakis que presentan colas de ley de potencias. Esta distribución tiene la siguiente función de densidad de probabilidad : [ 2 ]

Fκ(incógnita)=(1−κ2)βexpκ⁡(−βincógnita){\displaystyle f_{_{\kappa }}(x)=(1-\kappa ^{2})\beta \exp _{\kappa }(-\beta x)}

válido paraincógnita≥0{\displaystyle x\geq 0}, dónde0≤|κ|<1{\displaystyle 0\leq |\kappa |<1}es el índice entrópico asociado con la entropía de Kaniadakis yβ>0{\displaystyle \beta >0}se conoce como parámetro de tasa . La distribución exponencial se recupera comoκ→0.{\displaystyle \kappa \rightarrow 0.}

Función de distribución acumulativa

La función de distribución acumulativa de la distribución κ -exponencial de Tipo I viene dada por

Fκ(incógnita)=1−(1+κ2β2incógnita2+κ2βincógnita)expk⁡(−βincógnita){\displaystyle F_{\kappa }(x)=1-{\Big (}{\sqrt {1+\kappa ^{2}\beta ^{2}x^{2}}}+\kappa ^{2}\beta x{\Big )}\exp _{k}({-\beta x)}}

paraincógnita≥0{\displaystyle x\geq 0}La distribución exponencial acumulativa se recupera en el límite clásico .κ→0{\displaystyle \kappa \rightarrow 0}.

Propiedades

Momentos, valor esperado y varianza

La distribución κ -exponencial de tipo I tiene un momento de ordenmetro∈norte{\displaystyle m\in \mathbb {N} }dado por [ 2 ]

mi⁡[incógnitametro]=1−κ2∏norte=0metro+1[1−(2norte−metro−1)κ]metro¡βmetro{\displaystyle \operatorname {E} [X^{m}]={\frac {1-\kappa ^{2}}{\prod _{n=0}^{m+1}[1-(2n-m-1)\kappa ]}}{\frac {m!}{\beta ^{m}}}}

dóndeFκ(incógnita){\displaystyle f_{\kappa }(x)}es finito si0<metro+1<1/κ{\displaystyle 0<m+1<1/\kappa }.

La expectativa se define como:

mi⁡[incógnita]=1β1−κ21−4κ2{\displaystyle \operatorname {E} [X]={\frac {1}{\beta }}{\frac {1-\kappa ^{2}}{1-4\kappa ^{2}}}}

y la varianza es:

Var⁡[incógnita]=σκ2=1β22(1−4κ2)2−(1−κ2)2(1−9κ2)(1−4κ2)2(1−9κ2){\displaystyle \operatorname {Var} [X]=\sigma _{\kappa }^{2}={\frac {1}{\beta ^{2}}}{\frac {2(1-4\kappa ^{2})^{2}-(1-\kappa ^{2})^{2}(1-9\kappa ^{2})}{(1-4\kappa ^{2})^{2}(1-9\kappa ^{2})}}}

Curtosis

La curtosis de la distribución exponencial κ de tipo I puede calcularse mediante:

Kurt⁡[incógnita]=mi⁡[[incógnita−1β1−κ21−4κ2]4σκ4]{\displaystyle \operatorname {Kurt} [X]=\operatorname {E} \left[{\frac {\left[X-{\frac {1}{\beta }}{\frac {1-\kappa ^{2}}{1-4\kappa ^{2}}}\right]^{4}}{\sigma _{\kappa }^{4}}}\right]}

Por lo tanto, la curtosis de la distribución exponencial κ de tipo I viene dada por:

Kurt⁡[incógnita]=9(1−κ2)(1200κ14−6123κ12+562κ10+1539κ8−544κ6+143κ4−18κ2+1)β4σκ4(1−4κ2)4(3600κ8−4369κ6+819κ4−51κ2+1)para0≤κ<1/5{\displaystyle \operatorname {Kurt} [X]={\frac {9(1-\kappa ^{2})(1200\kappa ^{14}-6123\kappa ^{12}+562\kappa ^{10}+1539\kappa ^{8}-544\kappa ^{6}+143\kappa ^{4}-18\kappa ^{2}+1)}{\beta ^{4}\sigma _{\kappa }^{4}(1-4\kappa ^{2})^{4}(3600\kappa ^{8}-4369\kappa ^{6}+819\kappa ^{4}-51\kappa ^{2}+1)}}\quad {\text{for}}\quad 0\leq \kappa <1/5}

o

Kurt⁡[incógnita]=9(9κ2−1)2(κ2−1)(1200κ14−6123κ12+562κ10+1539κ8−544κ6+143κ4−18κ2+1)β2(1−4κ2)2(9κ6+13κ4−5κ2+1)(3600κ8−4369κ6+819κ4−51κ2+1)para0≤κ<1/5{\displaystyle \operatorname {Kurt} [X]={\frac {9(9\kappa ^{2}-1)^{2}(\kappa ^{2}-1)(1200\kappa ^{14}-6123\kappa ^{12}+562\kappa ^{10}+1539\kappa ^{8}-544\kappa ^{6}+143\kappa ^{4}-18\kappa ^{2}+1)}{\beta ^{2}(1-4\kappa ^{2})^{2}(9\kappa ^{6}+13\kappa ^{4}-5\kappa ^{2}+1)(3600\kappa ^{8}-4369\kappa ^{6}+819\kappa ^{4}-51\kappa ^{2}+1)}}\quad {\text{for}}\quad 0\leq \kappa <1/5}

La curtosis de la distribución exponencial ordinaria se recupera en el límiteκ→0{\displaystyle \kappa \rightarrow 0}.

Oblicuidad

La asimetría de la distribución exponencial κ de tipo I puede calcularse mediante:

Sesgar⁡[incógnita]=mi⁡[[incógnita−1β1−κ21−4κ2]3σκ3]{\displaystyle \operatorname {Skew} [X]=\operatorname {E} \left[{\frac {\left[X-{\frac {1}{\beta }}{\frac {1-\kappa ^{2}}{1-4\kappa ^{2}}}\right]^{3}}{\sigma _{\kappa }^{3}}}\right]}

Por lo tanto, la asimetría de la distribución exponencial κ de la distribución de tipo I viene dada por:

Mostrar⁡[incógnita]=2(1−κ2)(144κ8+23κ6+27κ4−6κ2+1)β3σκ3(4κ2−1)3(144κ4−25κ2+1)para0≤κ<1/4{\displaystyle \operatorname {Shew} [X]={\frac {2(1-\kappa ^{2})(144\kappa ^{8}+23\kappa ^{6}+27\kappa ^{4}-6\kappa ^{2}+1)}{\beta ^{3}\sigma _{\kappa }^{3}(4\kappa ^{2}-1)^{3}(144\kappa ^{4}-25\kappa ^{2}+1)}}\quad {\text{for}}\quad 0\leq \kappa <1/4}

La curtosis de la distribución exponencial ordinaria se recupera en el límiteκ→0{\displaystyle \kappa \rightarrow 0}.

Tipo II

Función de densidad de probabilidad

La distribución exponencial κ de Kaniadakis de tipo II también forma parte de una clase de distribuciones estadísticas que surgen de la estadística κ de Kaniadakis que exhiben colas de ley de potencias, pero con diferentes restricciones. Esta distribución es un caso particular de la distribución κ de Kaniadakis -Weibull conα=1{\displaystyle \alpha =1}es: [ 2 ]

Fκ(incógnita)=β1+κ2β2incógnita2expκ⁡(−βincógnita){\displaystyle f_{_{\kappa }}(x)={\frac {\beta }{\sqrt {1+\kappa ^{2}\beta ^{2}x^{2}}}}\exp _{\kappa }(-\beta x)}

válido paraincógnita≥0{\displaystyle x\geq 0}, dónde0≤|κ|<1{\displaystyle 0\leq |\kappa |<1}es el índice entrópico asociado con la entropía de Kaniadakis yβ>0{\displaystyle \beta >0}se conoce como parámetro de velocidad .

La distribución exponencial se recupera comoκ→0.{\displaystyle \kappa \rightarrow 0.}

Función de distribución acumulativa

La función de distribución acumulativa de la distribución κ -exponencial de tipo II viene dada por

Fκ(incógnita)=1−expk⁡(−βincógnita){\displaystyle F_{\kappa }(x)=1-\exp _{k}({-\beta x)}}

paraincógnita≥0{\displaystyle x\geq 0}La distribución exponencial acumulativa se recupera en el límite clásico .κ→0{\displaystyle \kappa \rightarrow 0}.

Propiedades

Momentos, valor esperado y varianza

La distribución κ -exponencial de tipo II tiene un momento de ordenmetro<1/κ{\displaystyle m<1/\kappa }dado por [ 2 ]

mi⁡[incógnitametro]=β−metrometro¡∏norte=0metro[1−(2norte−metro)κ]{\displaystyle \operatorname {E} [X^{m}]={\frac {\beta ^{-m}m!}{\prod _{n=0}^{m}[1-(2n-m)\kappa ]}}}

El valor esperado y la varianza son:

mi⁡[incógnita]=1β11−κ2{\displaystyle \operatorname {E} [X]={\frac {1}{\beta }}{\frac {1}{1-\kappa ^{2}}}}
Var⁡[incógnita]=σκ2=1β21+2κ4(1−4κ2)(1−κ2)2{\displaystyle \operatorname {Var} [X]=\sigma _{\kappa }^{2}={\frac {1}{\beta ^{2}}}{\frac {1+2\kappa ^{4}}{(1-4\kappa ^{2})(1-\kappa ^{2})^{2}}}}

La moda viene dada por:

incógnitamodo=1κβ2(1−κ2){\displaystyle x_{\textrm {mode}}={\frac {1}{\kappa \beta {\sqrt {2(1-\kappa ^{2})}}}}}

Curtosis

La curtosis de la distribución exponencial κ de tipo II se puede calcular mediante:

Kurt⁡[incógnita]=mi⁡[(incógnita−1β11−κ2σκ)4]{\displaystyle \operatorname {Kurt} [X]=\operatorname {E} \left[\left({\frac {X-{\frac {1}{\beta }}{\frac {1}{1-\kappa ^{2}}}}{\sigma _{\kappa }}}\right)^{4}\right]}

Por lo tanto, la curtosis de la distribución exponencial κ de tipo II viene dada por:

Kurt⁡[incógnita]=3(72κ10−360κ8−44κ6−32κ4+7κ2−3)β4σκ4(κ2−1)4(576κ6−244κ4+29κ2−1) para 0≤κ<1/4{\displaystyle \operatorname {Kurt} [X]={\frac {3(72\kappa ^{10}-360\kappa ^{8}-44\kappa ^{6}-32\kappa ^{4}+7\kappa ^{2}-3)}{\beta ^{4}\sigma _{\kappa }^{4}(\kappa ^{2}-1)^{4}(576\kappa ^{6}-244\kappa ^{4}+29\kappa ^{2}-1)}}\quad {\text{ for }}\quad 0\leq \kappa <1/4}

o

Kurt⁡[incógnita]=3(72κ10−360κ8−44κ6−32κ4+7κ2−3)(4κ2−1)−1(2κ4+1)2(144κ4−25κ2+1) para 0≤κ<1/4{\displaystyle \operatorname {Kurt} [X]={\frac {3(72\kappa ^{10}-360\kappa ^{8}-44\kappa ^{6}-32\kappa ^{4}+7\kappa ^{2}-3)}{(4\kappa ^{2}-1)^{-1}(2\kappa ^{4}+1)^{2}(144\kappa ^{4}-25\kappa ^{2}+1)}}\quad {\text{ for }}\quad 0\leq \kappa <1/4}

Oblicuidad

La asimetría de la distribución exponencial κ de tipo II se puede calcular mediante:

Sesgar⁡[incógnita]=mi⁡[[incógnita−1β11−κ2]3σκ3]{\displaystyle \operatorname {Skew} [X]=\operatorname {E} \left[{\frac {\left[X-{\frac {1}{\beta }}{\frac {1}{1-\kappa ^{2}}}\right]^{3}}{\sigma _{\kappa }^{3}}}\right]}

Por lo tanto, la asimetría de la distribución exponencial κ de la distribución de tipo II viene dada por:

Sesgar⁡[incógnita]=−2(15κ6+6κ4+2κ2+1)β3σκ3(κ2−1)3(36κ4−13κ2+1)para0≤κ<1/3{\displaystyle \operatorname {Skew} [X]=-{\frac {2(15\kappa ^{6}+6\kappa ^{4}+2\kappa ^{2}+1)}{\beta ^{3}\sigma _{\kappa }^{3}(\kappa ^{2}-1)^{3}(36\kappa ^{4}-13\kappa ^{2}+1)}}\quad {\text{for}}\quad 0\leq \kappa <1/3}

o

Sesgar⁡[incógnita]=2(15κ6+6κ4+2κ2+1)(1−9κ2)(2κ4+1)1−4κ21+2κ4para0≤κ<1/3{\displaystyle \operatorname {Skew} [X]={\frac {2(15\kappa ^{6}+6\kappa ^{4}+2\kappa ^{2}+1)}{(1-9\kappa ^{2})(2\kappa ^{4}+1)}}{\sqrt {\frac {1-4\kappa ^{2}}{1+2\kappa ^{4}}}}\quad {\text{for}}\quad 0\leq \kappa <1/3}

La asimetría de la distribución exponencial ordinaria se recupera en el límiteκ→0{\displaystyle \kappa \rightarrow 0}.

Cuantiles

Los cuantiles vienen dados por la siguiente expresión

incógnitacuantil(Fκ)=β−1lnκ⁡(11−Fκ){\displaystyle x_{\textrm {quantile}}(F_{\kappa })=\beta ^{-1}\ln _{\kappa }{\Bigg (}{\frac {1}{1-F_{\kappa }}}{\Bigg )}}

con0≤Fκ≤1{\displaystyle 0\leq F_{\kappa }\leq 1}, en el que la mediana es el caso  :

incógnitamediana(Fκ)=β−1lnκ⁡(2){\displaystyle x_{\textrm {median}}(F_{\kappa })=\beta ^{-1}\ln _{\kappa }(2)}

curva de Lorenz

La curva de Lorenz asociada a la distribución exponencial κ de tipo II viene dada por: [ 2 ]

Lκ(Fκ)=1+1−κ2κ(1−Fκ)1+κ−1+κ2κ(1−Fκ)1−κ{\displaystyle {\mathcal {L}}_{\kappa }(F_{\kappa })=1+{\frac {1-\kappa }{2\kappa }}(1-F_{\kappa })^{1+\kappa }-{\frac {1+\kappa }{2\kappa }}(1-F_{\kappa })^{1-\kappa }}

El coeficiente de Gini es

GRAMOκ=2+κ24−κ2{\displaystyle \operatorname {G} _{\kappa }={\frac {2+\kappa ^{2}}{4-\kappa ^{2}}}}

Comportamiento asintótico

La distribución κ -exponencial de tipo II se comporta asintóticamente de la siguiente manera: [ 2 ]

límiteincógnita→+∞Fκ(incógnita)∼κ−1(2κβ)−1/κincógnita(−1−κ)/κ{\displaystyle \lim _{x\to +\infty }f_{\kappa }(x)\sim \kappa ^{-1}(2\kappa \beta )^{-1/\kappa }x^{(-1-\kappa )/\kappa }}
límiteincógnita→0+Fκ(incógnita)=β{\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}f_{\kappa }(x)=\beta }

Aplicaciones

La distribución exponencial κ se ha aplicado en varias áreas, tales como:

Véase también

Referencias

  1. ↑ Kaniadakis, G. (2001). "Cinética no lineal subyacente a la estadística generalizada" . Physica A: Mecánica estadística y sus aplicaciones . 296 ( 3–4 ): 405–425 . arXiv : cond-mat/0103467 . Bibcode : 2001PhyA..296..405K . doi : 10.1016/S0378-4371(01)00184-4 . S2CID 44275064 . 
  2. 1 2 3 4 5 6 Kaniadakis, G. (2021-01-01). "Nuevas distribuciones con cola de ley de potencias que emergen en la estadística κ (a)" . Europhysics Letters . 133 (1) 10002. arXiv : 2203.01743 . Bibcode : 2021EL....13310002K . doi : 10.1209/0295-5075/133/10002 . ISSN 0295-5075 . S2CID 234144356 .  
  3. ↑ Oreste, Pierpaolo; Spagnoli, Giovanni (3 de abril de 2018). «Análisis estadístico de algunas principales formulaciones geomecánicas evaluadas con la ley exponencial de Kaniadakis» . Geomecánica y Geoingeniería . 13 (2): 139– 145. doi : 10.1080/17486025.2017.1373201 . ISSN 1748-6025 . S2CID 133860553 .  
  4. ↑ Ourabah, Kamel; Tribeche, Mouloud (2014). "Reexamen de la ley de radiación de Planck y los coeficientes de Einstein en la estadística κ de Kaniadakis" . Physical Review E. 89 ( 6) 062130. Bibcode : 2014PhRvE..89f2130O . doi : 10.1103/PhysRevE.89.062130 . ISSN 1539-3755 . PMID 25019747 .  
  5. ↑ da Silva, Sérgio Luiz EF; dos Santos Lima, Gustavo Z.; Volpe, Ernani V.; de Araújo, João M.; Corso, Gilberto (2021). "Enfoques robustos para problemas inversos basados ​​en estadísticas generalizadas de Tsallis y Kaniadakis" . La revista física europea Plus . 136 (5): 518. Bibcode : 2021EPJP..136..518D . doi : 10.1140/epjp/s13360-021-01521-w . ISSN 2190-5444 . S2CID 236575441 .  
  6. ↑ Macedo-Filho, A.; Moreira, DA; Silva, R.; da Silva, Luciano R. (2013). "Principio de máxima entropía para estadísticas y redes de Kaniadakis" . Physics Letters A. 377 ( 12): 842– 846. Bibcode : 2013PhLA..377..842M . doi : 10.1016/j.physleta.2013.01.032 .
  • Página de Google Scholar de Giorgio Kaniadakis
  • Estadísticas de Kaniadakis en arXiv.org