Conjunto convexo

Los subconjuntos convexos de R (el conjunto de los números reales) son los intervalos y los puntos de R. Algunos ejemplos de subconjuntos convexos del plano euclidiano son los polígonos regulares , los triángulos y las intersecciones de triángulos. Algunos ejemplos de subconjuntos convexos de un espacio euclidiano tridimensional son los sólidos arquimedianos y los sólidos platónicos . Los poliedros de Kepler-Poinsot son ejemplos de conjuntos no convexos.

Un conjunto que no es convexo se llama conjunto no convexo . Un polígono que no es convexo a veces se llama polígono cóncavo , ^{[ 5 ]} y algunas fuentes usan más generalmente el término conjunto cóncavo para referirse a un conjunto no convexo, ^{[ 6 ]} pero la mayoría de las autoridades prohíben este uso. ^{[ 7 ] [ 8 ]}

El complemento de un conjunto convexo, como el epígrafo de una función cóncava , a veces se denomina conjunto convexo inverso , especialmente en el contexto de la optimización matemática . ^{[ 9 ]}

La colección de subconjuntos convexos de un espacio vectorial, un espacio afín o un espacio euclidiano tiene las siguientes propiedades: ^{[ 10 ] [ 11 ]}

1. El conjunto vacío y todo el espacio son convexos.
2. La intersección de cualquier conjunto de conjuntos convexos es convexa.
3. La unión de un conjunto de conjuntos convexos es convexa si dichos conjuntos forman una cadena (un conjunto totalmente ordenado) bajo la condición de inclusión. Para esta propiedad, la restricción a cadenas es importante, ya que la unión de dos conjuntos convexos no tiene por qué ser convexa.

Los conjuntos convexos cerrados son conjuntos convexos que contienen todos sus puntos límite . Se pueden caracterizar como las intersecciones de semiplanos cerrados (conjuntos de puntos en el espacio que se encuentran sobre un hiperplano y a un lado del mismo ).

De lo expuesto anteriormente, resulta evidente que dichas intersecciones son convexas y, por lo tanto, conjuntos cerrados. Para demostrar lo contrario, es decir, que todo conjunto convexo cerrado puede representarse como una intersección de este tipo, se requiere el teorema del hiperplano de soporte, que establece que para un conjunto convexo cerrado C dado y un punto P fuera de él, existe un semiplano cerrado H que contiene a C pero no a P. El teorema del hiperplano de soporte es un caso particular del teorema de Hahn-Banach del análisis funcional .

Una cara de un conjunto convexo${\displaystyle C}$es un subconjunto convexo${\displaystyle F}$de${\displaystyle C}$de tal manera que siempre que un punto${\displaystyle p}$en${\displaystyle F}$se encuentra estrictamente entre dos puntos${\displaystyle x}$y${\displaystyle y}$en${\displaystyle C}$, ambos${\displaystyle x}$y${\displaystyle y}$debe estar en${\displaystyle F}$. ^{[ 12 ]} De manera equivalente, para cualquier${\displaystyle x,y\in C}$y cualquier número real${\displaystyle 0<t<1}$de tal manera que${\displaystyle (1-t)x+ty}$está en${\displaystyle F}$,${\displaystyle x}$y${\displaystyle y}$debe estar en${\displaystyle F}$. Según esta definición,${\displaystyle C}$sí mismo y el conjunto vacío son caras de${\displaystyle C}$; a veces se les llama las caras triviales de${\displaystyle C}$. Un punto extremo de${\displaystyle C}$es un punto que es una cara de${\displaystyle C}$.

Dejar${\displaystyle C}$sea ​​un conjunto convexo en${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$que sea compacto (o equivalentemente, cerrado y acotado ). Entonces${\displaystyle C}$es la envoltura convexa de sus puntos extremos. ^{[ 13 ]} De manera más general, cada conjunto convexo compacto en un espacio vectorial topológico localmente convexo es la envoltura convexa cerrada de sus puntos extremos (el teorema de Krein-Milman ).

Por ejemplo:

• Un triángulo en el plano (incluida la región interior) es un conjunto convexo compacto. Sus caras no triviales son los tres vértices y las tres aristas. (Por lo tanto, los únicos puntos extremos son los tres vértices).
• Las únicas caras no triviales del disco de unidad cerrada${\displaystyle \{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}:x^{2}+y^{2}\leq 1\}}$son sus puntos extremos, es decir, los puntos en el círculo unitario.${\displaystyle S^{1}=\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}:x^{2}+y^{2}=1\}}$.

Sea C un cuerpo convexo en el plano (un conjunto convexo cuyo interior no es vacío). Podemos inscribir un rectángulo r en C tal que una copia homotética R de r esté circunscrita a C. La razón de homotecia positiva es como máximo 2 y: ^{[ 14 ]}$${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\cdot \operatorname {Area} (R)\leq \operatorname {Area} (C)\leq 2\cdot \operatorname {Area} (r)}$$

El conjunto ${\displaystyle {\mathcal {K}}^{2}}$ de todos los cuerpos convexos planos se puede parametrizar en términos del diámetro del cuerpo convexo D , su radio de entrada r (el círculo más grande contenido en el cuerpo convexo) y su radio de circunscripción R (el círculo más pequeño que contiene el cuerpo convexo). De hecho, este conjunto se puede describir mediante el conjunto de desigualdades dadas por ^{[ 15 ] [ 16 ].}$${\displaystyle 2r\leq D\leq 2R}$$$${\displaystyle R\leq {\frac {\sqrt {3}}{3}}D}$$$${\displaystyle r+R\leq D}$$$${\displaystyle D^{2}{\sqrt {4R^{2}-D^{2}}}\leq 2R(2R+{\sqrt {4R^{2}-D^{2}}})}$$ y puede visualizarse como la imagen de la función g que mapea un cuerpo convexo al ^punto R² dado por ( r / R , D /2R ) . La imagen de esta función se conoce como diagrama de Blachke-Santaló ( r , D , R ). ^{[ 16 ]}

Alternativamente, el conjunto ${\displaystyle {\mathcal {K}}^{2}}$También se puede parametrizar por su ancho (la distancia más pequeña entre dos hiperplanos de soporte paralelos diferentes), perímetro y área. ^{[ 15 ] [ 16 ]}

Sea X un espacio vectorial topológico y${\displaystyle C\subseteq X}$ser convexo.

• ${\displaystyle \operatorname {Cl} C}$y${\displaystyle \operatorname {Int} C}$ambos son convexos (es decir, la clausura y el interior de los conjuntos convexos son convexos).
• Si${\displaystyle a\in \operatorname {Int} C}$y${\displaystyle b\in \operatorname {Cl} C}$entonces${\displaystyle [a,b[\,\subseteq \operatorname {Int} C}$(dónde${\displaystyle [a,b[\,:=\left\{(1-r)a+rb:0\leq r<1\right\}}$).
• Si${\displaystyle \operatorname {Int} C\neq \emptyset }$entonces:
  • ${\displaystyle \operatorname {cl} \left(\operatorname {Int} C\right)=\operatorname {Cl} C}$, y
  • ${\displaystyle \operatorname {Int} C=\operatorname {Int} \left(\operatorname {Cl} C\right)=C^{i}}$, dónde${\displaystyle C^{i}}$es el interior algebraico de C.

Cada subconjunto A del espacio vectorial está contenido dentro de un conjunto convexo mínimo (llamado envoltura convexa de A ), es decir, la intersección de todos los conjuntos convexos que contienen a A. El operador de envoltura convexa Conv() tiene las propiedades características de un operador de cierre :

• extenso : S  ⊆  Conv( S ) ,
• no decreciente : S  ⊆ T  implica que Conv( S )  ⊆  Conv( T ) , y
• idempotente : Conv(Conv( S )) = Conv( S ) .

La operación de envoltura convexa es necesaria para que el conjunto de conjuntos convexos forme un retículo , en el cual la operación de " unión " es la envoltura convexa de la unión de dos conjuntos convexos. $${\displaystyle \operatorname {Conv} (S)\vee \operatorname {Conv} (T)=\operatorname {Conv} (S\cup T)=\operatorname {Conv} {\bigl (}\operatorname {Conv} (S)\cup \operatorname {Conv} (T){\bigr )}.}$$ La intersección de cualquier colección de conjuntos convexos es también convexa, por lo que los subconjuntos convexos de un espacio vectorial (real o complejo) forman un retículo completo .

En un espacio vectorial real, la suma de Minkowski de dos conjuntos (no vacíos), S ₁ y S ₂ , se define como el conjunto S ₁  + S ₂  formado por la suma de vectores elemento a elemento de los conjuntos sumandos. $${\displaystyle S_{1}+S_{2}=\{x_{1}+x_{2}:x_{1}\in S_{1},x_{2}\in S_{2}\}.}$$ De forma más general, la suma de Minkowski de una familia finita de conjuntos (no vacíos) S _n es el conjunto formado por la suma elemento a elemento de vectores. $${\displaystyle \sum _{n}S_{n}=\left\{\sum _{n}x_{n}:x_{n}\in S_{n}\right\}.}$$

Para  la suma de Minkowski, el conjunto cero {0} que contiene solo el vector cero 0 tiene especial importancia : para cada subconjunto no vacío S de un espacio vectorial     $${\displaystyle S+\{0\}=S;}$$ En terminología algebraica, {0} es el elemento identidad de la suma de Minkowski (sobre la colección de conjuntos no vacíos). ^{[ 17 ]}

La suma de Minkowski se comporta bien con respecto a la operación de tomar envolventes convexas, como lo demuestra la siguiente proposición:

Sean S ₁ , S ₂ subconjuntos de un espacio vectorial real, la envoltura convexa de su suma de Minkowski es la suma de Minkowski de sus envolturas convexas. $${\displaystyle \operatorname {Conv} (S_{1}+S_{2})=\operatorname {Conv} (S_{1})+\operatorname {Conv} (S_{2}).}$$

Este resultado es válido de forma más general para cada colección finita de conjuntos no vacíos: $${\displaystyle {\text{Conv}}\left(\sum _{n}S_{n}\right)=\sum _{n}{\text{Conv}}\left(S_{n}\right).}$$

En terminología matemática, las operaciones de suma de Minkowski y de formación de envolventes convexas son operaciones conmutativas . ^{[ 18 ] [ 19 ]}

La suma de Minkowski de dos conjuntos convexos compactos es compacta. La suma de un conjunto convexo compacto y un conjunto convexo cerrado es cerrada. ^{[ 20 ]}

El siguiente teorema famoso, demostrado por Dieudonné en 1966, proporciona una condición suficiente para que la diferencia de dos subconjuntos convexos cerrados sea cerrada. ^{[ 21 ]} Utiliza el concepto de cono de recesión de un subconjunto convexo no vacío S , definido como: $${\displaystyle \operatorname {rec} S=\left\{x\in X\,:\,x+S\subseteq S\right\},}$$ donde este conjunto es un cono convexo que contiene${\displaystyle 0\in X}$y satisfactorio${\displaystyle S+\operatorname {rec} S=S}$. Tenga en cuenta que si S es cerrado y convexo entonces${\displaystyle \operatorname {rec} S}$está cerrado y para todos${\displaystyle s_{0}\in S}$, $${\displaystyle \operatorname {rec} S=\bigcap _{t>0}t(S-s_{0}).}$$

Teorema (Dieudonné). Sean A y B subconjuntos no vacíos, cerrados y convexos de un espacio vectorial topológico localmente convexo tales que${\displaystyle \operatorname {rec} A\cap \operatorname {rec} B}$es un subespacio lineal. Si A o B es localmente compacto, entonces A  − B es cerrado. 

Sea C un conjunto en un espacio vectorial real o complejo. C es estrellado convexo (en forma de estrella) si existe un x₀ en C tal que el segmento de recta que va desde x₀ hasta cualquier punto y en C está contenido en C. Por lo tanto _, un conjunto convexo no vacío siempre es estrellado convexo, pero un conjunto estrellado convexo no siempre es convexo _.

Un ejemplo de convexidad generalizada es la convexidad ortogonal . ^{[ 22 ]}

Un conjunto S en el espacio euclidiano se denomina ortogonalmente convexo u ortoconvexo si cualquier segmento paralelo a cualquiera de los ejes de coordenadas que conecta dos puntos de S se encuentra totalmente dentro de S. Es fácil demostrar que la intersección de cualquier colección de conjuntos ortoconvexos es también ortoconvexa. Otras propiedades de los conjuntos convexos también son válidas.

La definición de conjunto convexo y envoltura convexa se extiende naturalmente a geometrías que no son euclidianas al definir un conjunto geodésicamente convexo como aquel que contiene las geodésicas que unen cualesquiera dos puntos del conjunto.

La convexidad puede extenderse a un conjunto totalmente ordenado X dotado de la topología de orden . ^{[ 23 ]}

Sea Y ⊆ X. El subespacio Y es un conjunto convexo si para cada par de puntos a , b en Y tales que a ≤ b , el intervalo [ a , b ] = { x ∈ X | a ≤ x ≤ b } está contenido en Y. Es decir, Y es convexo si y solo si para todo a , b en Y , a ≤ b implica [ a , b ] ⊆ Y.

Un conjunto convexo no es conexo en general: un contraejemplo lo da el subespacio {1,2,3} en Z , que es a la vez convexo y no conexo.

La noción de convexidad puede generalizarse a otros objetos si se seleccionan ciertas propiedades de convexidad como axiomas .

Dado un conjunto X , una convexidad sobre X es una colección 𝒞 de subconjuntos de X que satisfacen los siguientes axiomas: ^{[ 10 ] [ 11 ] [ 24 ]}

1. El conjunto vacío y X están en 𝒞 .
2. La intersección de cualquier colección de 𝒞 está en 𝒞 .
3. La unión de una cadena (con respecto a la relación de inclusión ) de elementos de 𝒞 está en 𝒞 .

Los elementos de 𝒞 se denominan conjuntos convexos y el par ( X , 𝒞 ) se denomina espacio de convexidad . Para la convexidad ordinaria, se cumplen los dos primeros axiomas, y el tercero es trivial.

Para una definición alternativa de convexidad abstracta, más adecuada a la geometría discreta , véanse las geometrías convexas asociadas a los antimatroides .

La convexidad puede generalizarse como una estructura algebraica abstracta: un espacio es convexo si es posible tomar combinaciones convexas de puntos.