Sólido arquimediano

En geometría , un sólido arquimediano es uno de los 13 poliedros convexos cuyas caras son polígonos regulares y cuyos vértices son todos simétricos entre sí. Fueron enumerados por primera vez por Arquímedes . Pertenecen a la clase de poliedros convexos uniformes , los poliedros convexos con caras regulares y vértices simétricos, que se divide en los sólidos arquimedianos, los cinco sólidos platónicos (cada uno con un solo tipo de cara poligonal) y las dos familias infinitas de prismas y antiprismas . El pseudorrombicuboctaedro es un poliedro adicional con caras regulares y vértices congruentes, pero generalmente no se cuenta como un sólido arquimediano porque no es transitivo por vértices . ^[1] Una clase aún más grande que los poliedros uniformes convexos son los sólidos de Johnson , cuyas caras poligonales regulares no necesitan encontrarse en vértices idénticos.

En estos poliedros, los vértices son idénticos, en el sentido de que una isometría global de todo el sólido lleva cualquier vértice a cualquier otro. Branko Grünbaum  (2009) observó que un poliedro número 14, la girobicúpula cuadrada alargada (o pseudo-rombicuboctaedro), cumple con una definición más débil de un sólido arquimediano, en la que "vértices idénticos" significa simplemente que las partes del poliedro cerca de dos vértices cualesquiera parecen iguales (tienen las mismas formas de caras que se encuentran alrededor de cada vértice en el mismo orden y forman los mismos ángulos). Grünbaum señaló un error frecuente en el que los autores definen los sólidos arquimedianos utilizando alguna forma de esta definición local pero omiten el poliedro número 14. Si solo se deben enumerar 13 poliedros, la definición debe utilizar simetrías globales del poliedro en lugar de vecindarios locales.

Los prismas y antiprismas , cuyos grupos de simetría son los grupos diedros , generalmente no se consideran sólidos arquimedianos, aunque sus caras sean polígonos regulares y sus grupos de simetría actúen transitivamente sobre sus vértices. Excluyendo estas dos familias infinitas, hay 13 sólidos arquimedianos. Todos los sólidos arquimedianos (pero no la girobicúpula cuadrada alargada) se pueden hacer mediante construcciones de Wythoff a partir de los sólidos platónicos con simetría tetraédrica , octaédrica e icosaédrica .

Los sólidos arquimedianos toman su nombre de Arquímedes , quien los analizó en una obra ahora perdida. Pappus se refiere a ella, afirmando que Arquímedes enumeró 13 poliedros. ^[2] Durante el Renacimiento , los artistas y matemáticos valoraban las formas puras con alta simetría, y alrededor de 1620 Johannes Kepler había completado el redescubrimiento de los 13 poliedros, ^[3] además de definir los prismas , antiprismas y los sólidos no convexos conocidos como poliedros de Kepler-Poinsot . (Véase Schreiber, Fischer & Sternath 2008 para más información sobre el redescubrimiento de los sólidos arquimedianos durante el renacimiento.)

Kepler también pudo haber descubierto la girobicúpula cuadrada alargada (pseudorrombicuboctaedro): al menos, una vez afirmó que había 14 sólidos arquimedianos. Sin embargo, su enumeración publicada solo incluye los 13 poliedros uniformes, y la primera declaración clara de la existencia del pseudorrombicuboctaedro fue hecha en 1905 por Duncan Sommerville . ^[2]

Hay 13 sólidos arquimedianos (sin contar la girobicúpula cuadrada alargada ; 15 si se cuentan por separado las imágenes especulares de dos enantiomorfos , el cubo romo y el dodecaedro romo).

Aquí, la configuración de vértices se refiere al tipo de polígonos regulares que se encuentran en un vértice determinado. Por ejemplo, una configuración de vértices de 4.6.8 significa que un cuadrado , un hexágono y un octógono se encuentran en un vértice (en el orden en el que se toman las coordenadas de las agujas del reloj alrededor del vértice).

Algunas definiciones de poliedro semirregular incluyen una figura más, la girobicúpula cuadrada alargada o "pseudo-rombicuboctaedro". ^[4]

El número de vértices es 720° dividido por el defecto del ángulo del vértice .

El cuboctaedro y el icosidodecaedro son uniformes en sus aristas y se denominan cuasirregulares .

Los sólidos duales de Arquímedes se denominan sólidos catalanes . Junto con las bipirámides y los trapezoedros , son los sólidos de caras uniformes con vértices regulares.

El cubo romo y el dodecaedro romo se conocen como quirales , ya que se presentan en forma levógira (del latín: levomorfo o laevomorfo) y en forma diestra (del latín: dextromorfo). Cuando algo se presenta en múltiples formas que son la imagen especular tridimensional de cada una , estas formas pueden llamarse enantiomorfos. (Esta nomenclatura también se utiliza para las formas de ciertos compuestos químicos ).

Los diferentes sólidos arquimedianos y platónicos se pueden relacionar entre sí mediante un puñado de construcciones generales. Comenzando con un sólido platónico, el truncamiento implica cortar las esquinas. Para preservar la simetría, el corte se realiza en un plano perpendicular a la línea que une una esquina con el centro del poliedro y es el mismo para todas las esquinas. Dependiendo de cuánto se trunca (ver la tabla a continuación), se pueden crear diferentes sólidos platónicos y arquimedianos (y otros). Si el truncamiento es lo suficientemente profundo como para que cada par de caras de vértices adyacentes comparta exactamente un punto, se conoce como rectificación. Una expansión , o cantelación , implica alejar cada cara del centro (por la misma distancia para preservar la simetría del sólido platónico) y tomar la envoltura convexa. La expansión con torsión también implica rotar las caras, dividiendo así cada rectángulo correspondiente a una arista en dos triángulos por una de las diagonales del rectángulo. La última construcción que utilizamos aquí es el truncamiento de las esquinas y los bordes. Ignorando el escalado, la expansión también puede verse como la rectificación de la rectificación. Del mismo modo, el truncamiento en cantitulación puede verse como el truncamiento de la rectificación.

Obsérvese la dualidad entre el cubo y el octaedro, y entre el dodecaedro y el icosaedro. Además, en parte porque el tetraedro es autodual, solo hay un sólido arquimediano que tenga como máximo simetría tetraédrica. (Todos los sólidos platónicos tienen al menos simetría tetraédrica, ya que la simetría tetraédrica es una operación de simetría de (es decir, está incluida en) las simetrías octaédricas e isoédricas, lo que se demuestra por el hecho de que un octaedro puede verse como un tetraedro rectificado, y un icosaedro puede usarse como un tetraedro romo).

• Teselación aperiódica
• Gráfica de Arquímedes
• Maclas icosaédricas
• Lista de poliedros uniformes
• El cubo del príncipe Rupert#Generalizaciones
• Cuasicristal
• Poliedro regular
• Poliedro semirregular
• Poliedro toroidal
• Poliedro uniforme

• Grünbaum, Branko (2009), "Un error duradero", Elemente der Mathematik , 64 (3): 89–101, doi : 10.4171/EM/120 , MR  2520469. Reimpreso en Pitici, Mircea, ed. (2011), The Best Writing on Mathematics 2010 , Princeton University Press, págs. 18-31.
• Malkevitch, Joseph (1988), "Hitos en la historia de los poliedros", en Senechal, M. ; Fleck, G. (eds.), Shaping Space: A Polyhedral Approach , Boston: Birkhäuser, págs. 80–92.

• Jayatilake, Udaya (marzo de 2005). "Cálculos sobre poliedros regulares de caras y vértices". Mathematical Gazette . 89 (514): 76–81. doi :10.1017/S0025557200176818. S2CID  125675814..
• Pugh, Anthony (1976). Poliedros: un enfoque visual . California: University of California Press Berkeley. ISBN 0-520-03056-7.Capítulo 2
• Williams, Robert (1979). La base geométrica de la estructura natural: un libro de consulta sobre diseño . Dover Publications, Inc. ISBN 0-486-23729-X.(Sección 3–9)
• Schreiber, Peter; Fischer, Gisela; Sternath, Maria Luise (2008). "Nueva luz sobre el redescubrimiento de los sólidos de Arquímedes durante el Renacimiento". Archivo de Historia de las Ciencias Exactas . 62 (4): 457–467. Bibcode :2008AHES...62..457S. doi :10.1007/s00407-008-0024-z. ISSN  0003-9519. S2CID  122216140..

• Weisstein, Eric W. "Sólido de Arquímedes". MundoMatemático .
• Sólidos arquimedianos por Eric W. Weisstein , Proyecto de demostraciones Wolfram .
• Modelos de papel de sólidos arquimedianos y sólidos catalanes
• Modelos de papel gratuitos (redes) de sólidos arquimedianos
• Los poliedros uniformes del Dr. R. Mäder
• Sólidos arquimedianos en Visual Polyhedra por David I. McCooey
• Poliedros de realidad virtual, La enciclopedia de poliedros de George W. Hart
• El penúltimo origami modular de James S. Plank
• Poliedros 3D interactivos en Java
• Solid Body Viewer es un visor de poliedros 3D interactivo que le permite guardar el modelo en formato svg, stl u obj.
• Stella: Polyhedron Navigator: Software utilizado para crear muchas de las imágenes de esta página.
• Modelos de papel de poliedros de Arquímedes (y otros)