Punto (geometría)

En geometría , un punto es una idealización abstracta de una posición exacta , sin tamaño, en el espacio físico , ^{[ 1 ]} o su generalización a otros tipos de espacios matemáticos . Como objetos cero-dimensionales , los puntos suelen considerarse los elementos fundamentales indivisibles que componen el espacio, del cual constan curvas unidimensionales , superficies bidimensionales y objetos de dimensiones superiores .

En la geometría euclidiana clásica , un punto es una noción primitiva , definida como «aquello que no tiene partes». Los puntos y otras nociones primitivas no se definen en términos de otros conceptos, sino únicamente por ciertas propiedades formales, llamadas axiomas , que deben satisfacer; por ejemplo, «hay exactamente una línea recta que pasa por dos puntos distintos» . Como diagramas físicos, las figuras geométricas se crean con herramientas como un compás , un punzón o una pluma, cuya punta afilada puede marcar un pequeño punto o perforar un pequeño agujero que represente un punto, o puede trazarse sobre una superficie para representar una curva.

Un punto también puede determinarse mediante la intersección de dos curvas o tres superficies, denominadas vértice o esquina . Desde el advenimiento de la geometría analítica , los puntos se definen o representan a menudo en términos de coordenadas numéricas . En matemáticas modernas, un espacio de puntos se suele tratar como un conjunto , un conjunto de puntos .

Un punto aislado es un elemento de un subconjunto de puntos que tiene un vecindario que no contiene ningún otro punto de dicho subconjunto.

Los puntos, considerados dentro del marco de la geometría euclidiana , son uno de los objetos más fundamentales. Euclides definió originalmente el punto como "aquello que no tiene partes". ^{[ 2 ]} En el plano euclidiano bidimensional , un punto se representa mediante un par ordenado ( x , y ) de números, donde el primer número representa convencionalmente la horizontal y se suele denotar por x , y el segundo número representa convencionalmente la vertical y se suele denotar por y . Esta idea se generaliza fácilmente al espacio euclidiano tridimensional , donde un punto se representa mediante una terna ordenada ( x , y , z ) con el tercer número adicional que representa la profundidad y se suele denotar por z . Otras generalizaciones se representan mediante una tupla ordenada de n términos, ( a ₁ , a ₂ , … , a _n ) donde n es la dimensión del espacio en el que se encuentra el punto. ^{[ 3 ]}

Muchas construcciones dentro de la geometría euclidiana consisten en una colección infinita de puntos que se ajustan a ciertos axiomas. Esto generalmente se representa mediante un conjunto de puntos; por ejemplo, una línea es un conjunto infinito de puntos de la forma $${\displaystyle L=\lbrace (a_{1},a_{2},...a_{n})\mid a_{1}c_{1}+a_{2}c_{2}+...a_{n}c_{n}=d\rbrace ,}$$donde c ₁ a c _n y d son constantes y n es la dimensión del espacio. Existen construcciones similares que definen el plano , el segmento de línea y otros conceptos relacionados. ^{[ 4 ]} Un segmento de línea que consta de un solo punto se llama segmento de línea degenerado .

Además de definir puntos y construcciones relacionadas con ellos, Euclides postuló una idea clave sobre los puntos: que dos puntos cualesquiera pueden conectarse mediante una línea recta. ^{[ 5 ]} Esto se confirma fácilmente con las extensiones modernas de la geometría euclidiana y tuvo consecuencias duraderas en su introducción, permitiendo la construcción de casi todos los conceptos geométricos conocidos en aquel entonces. Sin embargo, la postulación de Euclides sobre los puntos no fue ni completa ni definitiva, y en ocasiones asumió hechos sobre los puntos que no se derivaban directamente de sus axiomas, como el orden de los puntos en la línea o la existencia de puntos específicos. A pesar de ello, las expansiones modernas del sistema sirven para eliminar estas suposiciones. ^{[ 6 ]}

En matemáticas existen varias definiciones no equivalentes de dimensión . En todas las definiciones comunes, un punto es de dimensión cero.

Aunque la noción de punto se considera fundamental en la geometría y la topología convencionales, existen algunos sistemas que la han omitido, como la geometría no conmutativa y la topología sin puntos . Un espacio "sin puntos" o "libre de puntos" se define no como un conjunto , sino mediante alguna estructura ( algebraica o lógica, respectivamente) que se asemeja a un espacio de funciones bien conocido sobre el conjunto: un álgebra de funciones continuas o un álgebra de conjuntos, respectivamente. Más precisamente, dichas estructuras generalizan espacios de funciones bien conocidos de tal manera que la operación "tomar un valor en este punto" puede no estar definida. ^{[ 7 ]} Otra tradición se remonta a algunos libros de A. N. Whitehead en los que la noción de región se asume como una primitiva junto con la de inclusión o conexión . ^{[ 8 ]}

A menudo, en física y matemáticas, es útil pensar en un punto como si tuviera masa o carga no nula (esto es especialmente común en el electromagnetismo clásico , donde los electrones se idealizan como puntos con carga no nula). La función delta de Dirac , o función δ , es (informalmente) una función generalizada en la recta real que es cero en todas partes excepto en cero, con una integral de uno sobre toda la recta real. ^{[ 9 ]} La función delta a veces se piensa como un pico infinitamente alto e infinitamente delgado en el origen, con un área total de uno bajo el pico, y representa físicamente una masa puntual o carga puntual idealizada . ^{[ 10 ]} Fue introducida por el físico teórico Paul Dirac . En el contexto del procesamiento de señales, a menudo se la denomina símbolo (o función) de impulso unitario. ^{[ 11 ]} Su análogo discreto es la función delta de Kronecker , que generalmente se define en un dominio finito y toma valores 0 y 1.

• "Punto" . PlanetMath .
• Weisstein, Eric W. "Punto" . MathWorld .