Hiperplano de soporte

{\displaystyle S} — Un conjunto convexo $S$ (en rosa), un hiperplano de soporte de $S$ (la línea discontinua), y el semiespacio de soporte delimitado por el hiperplano que contiene $S$ (en azul claro).

En geometría , un hiperplano de soporte de un conjunto $S$ en el espacio euclidiano $\mathbb {R} ^{n}$ es un hiperplano que tiene las dos propiedades siguientes: ^{[ 1 ]}

$S$ está completamente contenido en uno de los dos semiplanos cerrados delimitados por el hiperplano,
$S$ tiene al menos un punto límite en el hiperplano.

En este caso, un semiplano cerrado es el semiplano que incluye los puntos dentro del hiperplano.

Apoyo al teorema del hiperplano

Este teorema establece que si $S$ es un conjunto convexo en el espacio vectorial topológico $X=\mathbb {R} ^{n},$ y $x_{0}$ es un punto en el límite de $S,$ entonces existe un hiperplano de soporte que contiene $x_{0}.$ Si $x^{*}\in X^{*}\backslash \{0\}$ ( $X^{*}$ es el espacio dual de $X$ , $x^{*}$ es un funcional lineal no nulo ) tal que $x^{*}\left(x_{0}\right)\geq x^{*}(x)$ a pesar de $x\in S$ , entonces

H=\{x\in X:x^{*}(x)=x^{*}\left(x_{0}\right)\}

define un hiperplano de soporte. ^{[ 2 ]}

Por el contrario, si $S$ es un conjunto cerrado con interior no vacío tal que cada punto en la frontera tiene un hiperplano de soporte, entonces $S$ es un conjunto convexo, y es la intersección de todos sus semiplanos cerrados de soporte. ^{[ 2 ]}

El hiperplano en el teorema puede no ser único, como se observa en la segunda imagen de la derecha. Si el conjunto cerrado $S$ no es convexa, el enunciado del teorema no es verdadero en todos los puntos del límite de $S,$ como se ilustra en la tercera imagen de la derecha.

Los hiperplanos de soporte de conjuntos convexos también se denominan tac-planos o tac-hiperplanos . ^{[ 3 ]}

La dirección hacia adelante se puede demostrar como un caso especial del teorema del hiperplano separador (ver la página para la demostración ). Para la dirección inversa,

Prueba

Definir $T$ ser la intersección de todos sus semiespacios cerrados de soporte. Claramente $S\subset T$ Ahora dejemos... $y\not \in S$ , espectáculo $y\not \in T$ .

Dejar $x\in \mathrm {int} (S)$ y consideremos el segmento de línea $[x,y]$ . Dejar $t$ sea el mayor número tal que $[x,t(yx)+x]$ está contenido en $S$ . Entonces $t\in (0,1)$ .

Dejar $b=t(yx)+x$ , entonces $b\in \partial S$ . Dibuja un hiperplano de soporte a través de $b$ . Representémoslo como un funcional lineal no nulo $f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ de tal manera que $\forall a\in T,f(a)\geq f(b)$ . Entonces, desde entonces $x\in \mathrm {int} (S)$ , tenemos $f(x)>f(b)$ . Así pues por ${\frac {f(y)-f(b)}{1-t}}={\frac {f(b)-f(x)}{t-0}}<0$ , tenemos $f(y)<f(b)$ , entonces $y\not \in T$ .

Véase también

Función de soporte
Línea de soporte (hiperplanos de soporte en $\mathbb {R} ^{2}$ )

Notas

↑ Luenberger, David G. (1969). Optimización mediante métodos de espacios vectoriales . Nueva York: John Wiley & Sons. pág. 133. ISBN 978-0-471-18117-0.
1 2 Boyd, Stephen P.; Vandenberghe, Lieven (2004). Optimización convexa (pdf) . Cambridge University Press. págs. 50–51 . ISBN 978-0-521-83378-3. Consultado el 15 de octubre de 2011 .
↑ Cassels, John WS (1997), An Introduction to the Geometry of Numbers , Springer Classics in Mathematics (reimpresión de 1959[3] y 1971 Springer-Verlag ed.), Springer-Verlag.

Referencias y lecturas adicionales

Ostaszewski, Adam (1990). Métodos matemáticos avanzados, Serie de Matemáticas de la London School of Economics . Cambridge; Nueva York: Cambridge University Press. pág . 129. ISBN 0-521-28964-5.

Giaquinta, Mariano; Hildebrandt, Stefan (1996). Cálculo de variaciones . Berlina; Nueva York: Springer. pag. 57.ISBN 3-540-50625-X.

Goh, CJ; Yang, XQ (2002). Dualidad en optimización y desigualdades variacionales . Londres; Nueva York: Taylor & Francis. pág. 13. ISBN 0-415-27479-6.

Soltan, V. (2021). Propiedades de soporte y separación de conjuntos convexos en dimensión finita . Extracta Math. Vol. 36, no. 2, 241-278.

[1] Luenberger, David G. (1969). Optimización mediante métodos de espacios vectoriales . Nueva York: John Wiley & Sons. pág. 133. ISBN 978-0-471-18117-0.

[Boyd-2] 1 2 Boyd, Stephen P.; Vandenberghe, Lieven (2004). Optimización convexa (pdf) . Cambridge University Press. págs. 50–51 . ISBN 978-0-521-83378-3. Consultado el 15 de octubre de 2011 .

[3] Cassels, John WS (1997), An Introduction to the Geometry of Numbers , Springer Classics in Mathematics (reimpresión de 1959[3] y 1971 Springer-Verlag ed.), Springer-Verlag.

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