Intervalo (matemáticas)

Un intervalo es un subconjunto de los números reales que contiene todos los números reales que se encuentran entre cualesquiera dos números del subconjunto. Ejemplos de ello son los números${\displaystyle x}$de uno a dos,${\displaystyle 1\leq x\leq 2}$y los números${\displaystyle y}$mayor que 10, es decir${\displaystyle y>10}$. Según esta definición, el conjunto vacío${\displaystyle \varnothing }$y todo el conjunto de números reales${\displaystyle \mathbb {R} }$son ambos intervalos. ^{[ 1 ]}

Los extremos de un intervalo son su supremo (límite superior mínimo) y su ínfimo (límite inferior máximo), si existen como números reales. ^{[ 1 ]} Si el ínfimo no existe y el intervalo no está vacío, se suele decir que el extremo correspondiente es el infinito negativo, escrito${\displaystyle -\infty .}$De manera similar, si el supremo de un intervalo no vacío no existe, se dice que el extremo correspondiente es infinito positivo, escrito${\displaystyle +\infty .}$

Los intervalos no vacíos están completamente determinados por sus extremos y por si cada extremo pertenece al intervalo. Esto es consecuencia de la propiedad del límite superior mínimo de los números reales, que implica que si los elementos de un intervalo no vacío son todos menores que algún valor finito, entonces el intervalo tiene un supremo. Esta caracterización se utiliza para especificar intervalos mediantenotación de intervalo , donde un corchete cuadrado o redondeado (paréntesis) indica si un punto final pertenece o no al intervalo.

UnEl intervalo abierto no incluye ningún punto final y puede indicarse sucintamente con paréntesis. ^{[ 2 ]} Por ejemplo,${\displaystyle (0,1)=\{x\mid 0<x<1\}}$es el intervalo de todos los números reales mayor que${\displaystyle 0}$y menos de${\displaystyle 1}$. (Este intervalo también puede denotarse por${\displaystyle ]0,1[}$(véase más abajo). El intervalo abierto${\displaystyle (0,+\infty )}$consta de números reales mayores que${\displaystyle 0}$, es decir, números reales positivos. Los intervalos abiertos tienen, por lo tanto, una de las formas

${\displaystyle {\begin{aligned}(a,b)&=\{x\in \mathbb {R} \mid a<x<b\},\\(-\infty ,b)&=\{x\in \mathbb {R} \mid x<b\},\\(a,+\infty )&=\{x\in \mathbb {R} \mid a<x\},\\(-\infty ,+\infty )&=\mathbb {R} ,\\(a,a)&=\emptyset ,\end{aligned}}}$

dónde${\displaystyle a}$y${\displaystyle b}$son números reales tales que${\displaystyle a<b.}$En el último caso, el intervalo resultante es el conjunto vacío y no depende de${\displaystyle a}$Los intervalos abiertos son aquellos intervalos que son conjuntos abiertos para la topología usual en los números reales, y forman una base de los conjuntos abiertos.

AUn intervalo cerrado es un intervalo que incluye ambos extremos, los cuales son finitos. ^{[ 2 ]} Un intervalo cerrado se denota con corchetes. Por ejemplo,[0, 1]es el intervalo cerrado con contenido mayor o igual a0y menor o igual a1.Los intervalos cerrados son, por definición, no vacíos. Por lo tanto, todo intervalo cerrado tiene la forma

${\displaystyle {\begin{aligned}\;[a,b]&=\{x\in \mathbb {R} \mid a\leq x\leq b\}\end{aligned}}}$

dónde${\displaystyle a<b}$. El intervalo que consta de un solo punto${\displaystyle [a,a]=\{a\}}$A veces se le llama intervalo cerrado degenerado . ^{[ 3 ]}

Además de los intervalos cerrados${\displaystyle [a,b]}$común en análisis, intervalos no acotados que incluyen su extremo finito como${\displaystyle [a,\infty )}$o${\displaystyle (-\infty ,b]}$son topológicamente cerrados (lo que significa que contienen todos sus puntos frontera que son números reales), pero no se suelen llamar "intervalos cerrados" en análisis, ya que ese término se reserva para el caso cerrado y acotado. Los intervalos cerrados (acotados) junto con los intervalos cerrados semiinfinitos y el intervalo${\displaystyle (-\infty,\infty)}$comprenden aquellos intervalos que son conjuntos cerrados para la topología usual en los números reales.

AUn intervalo semiabierto tiene dos extremos finitos distintos e incluye uno pero no el otro. Se dice que esabierto por la izquierdaoabierto por la derechadependiendo de si el extremo excluido está a la izquierda o a la derecha. Estos intervalos se denotan mezclando notaciones para intervalos abiertos y cerrados. ^{[ 4 ]} Por ejemplo,(0, 1 ] significa mayor que0y menor o igual que1, mientras que [ 0, 1)significa mayor o igual que0y menor que1. Los intervalos semiabiertos tienen la forma

${\displaystyle {\begin{aligned}\left(a,b\right]&=\{x\in \mathbb {R} \mid a<x\leq b\},\\\left[a,b\right)&=\{x\in \mathbb {R} \mid a\leq x<b\}.\\\end{aligned}}}$

En resumen, un conjunto de los números reales es un intervalo si y solo si es un intervalo abierto, un intervalo cerrado o un intervalo semiabierto. Los únicos intervalos que aparecen dos veces en la clasificación anterior son :${\displaystyle \emptyset }$y​​${\displaystyle \mathbb {R} }$que son tanto abiertos como cerrados. ^{[ 5 ] [ 6 ]}

AUn intervalo degenerado es cualquierconjunto que consta de un solo número real(es decir, un intervalo de la forma [ a , a ] ). ^{[ 7 ]} Algunos autores incluyen el conjunto vacío en esta definición. Un intervalo real que no es ni vacío ni degenerado se dice que espropio , y tiene infinitos elementos.

Se dice que un intervalo está acotado por la izquierda o por la derecha si existe algún número real que sea, respectivamente, menor o mayor que todos sus elementos. Se dice que un intervalo está acotado si está acotado tanto por la izquierda como por la derecha; y se dice que no está acotado en caso contrario. Los intervalos que están acotados solo en un extremo se denominan semiacotados . El conjunto vacío está acotado, y el conjunto de todos los números reales es el único intervalo que no está acotado en ambos extremos. Los intervalos acotados también se conocen comúnmente como intervalos finitos .

Los intervalos acotados son conjuntos acotados , en el sentido de que su diámetro (que es igual a la diferencia absoluta entre los extremos) es finito. El diámetro puede denominarse longitud , anchura , medida , rango o tamaño del intervalo. El tamaño de los intervalos no acotados se define generalmente como +∞ , y el tamaño del intervalo vacío puede definirse como 0 (o dejarse sin definir).

El centro ( punto medio ) de un intervalo acotado con extremos a y b es ( a + b )/2 , y su radio es la mitad de la longitud | a − b | /2 . Estos conceptos no están definidos para intervalos vacíos o no acotados.

Se dice que un intervalo es abierto por la izquierda si y solo si no contiene ningún mínimo (un elemento menor que todos los demás); abierto por la derecha si no contiene ningún máximo ; y abierto si no contiene ninguno de los dos. El intervalo [ 0, 1) = { x | 0 ≤ x < 1} , por ejemplo, es cerrado por la izquierda y abierto por la derecha. El conjunto de los números reales no negativos es un intervalo cerrado que es abierto por la derecha pero no por la izquierda.

Se dice que un intervalo es cerrado por la izquierda si tiene un elemento mínimo o no está acotado por la izquierda, cerrado por la derecha si tiene un máximo o no está acotado por la derecha; es simplemente cerrado si es cerrado tanto por la izquierda como por la derecha.

Un intervalo I es un subintervalo de un intervalo J si I es un subconjunto de J. Un intervalo I es un subintervalo propio de J si I es un subconjunto propio de J.

El interior de un intervalo I es el intervalo abierto más grande contenido en I ; también es el conjunto de puntos en I que no son extremos de I. La clausura de I es el intervalo cerrado más pequeño que contiene a I ; que también es el conjunto I aumentado con sus extremos finitos.

Para cualquier conjunto X de números reales, el intervalo encerrado o intervalo generado por X es el único intervalo que contiene a X , y no contiene propiamente ningún otro intervalo que también contenga a X.

Existe terminología contradictoria para los términos segmento e intervalo , que se han empleado en la literatura de dos maneras esencialmente opuestas, lo que genera ambigüedad al utilizarlos. La Enciclopedia de Matemáticas ^{[ 8 ]} define intervalo (sin calificativo) para excluir ambos extremos (es decir, intervalo abierto) y segmento para incluir ambos extremos (es decir, intervalo cerrado), mientras que los Principios de Análisis Matemático de Rudin ^{[ 9 ]} denominan intervalos a conjuntos de la forma [ a , b ] y segmentos a conjuntos de la forma ( a , b ) . Estos términos tienden a aparecer en obras más antiguas; los textos modernos favorecen cada vez más el término intervalo (calificado como abierto , cerrado o semiabierto ), independientemente de si se incluyen o no los extremos.

Para indicar que uno de los extremos debe excluirse del conjunto, el corchete correspondiente puede reemplazarse por un paréntesis o invertirse. Ambas notaciones se describen en la norma internacional ISO 31-11 . Por lo tanto, en la notación de construcción de conjuntos ,

${\displaystyle {\begin{aligned}(a,b)={\mathopen {]}}a,b{\mathclose {[}}&=\{x\in \mathbb {R} \mid a<x<b\},\\[5mu][a,b)={\mathopen {[}}a,b{\mathclose {[}}&=\{x\in \mathbb {R} \mid a\leq x<b\},\\[5mu](a,b]={\mathopen {]}}a,b{\mathclose {]}}&=\{x\in \mathbb {R} \mid a<x\leq b\},\\[5mu][a,b]={\mathopen {[}}a,b{\mathclose {]}}&=\{x\in \mathbb {R} \mid a\leq x\leq b\}.\end{aligned}}}$

Cada intervalo ( a , a ) , [ a , a ) y ( a , a ] representa el conjunto vacío , mientras que [ a , a ] denota el conjunto unitario { a } . Cuando a > b , las cuatro notaciones se suelen tomar para representar el conjunto vacío. 

Ambas notaciones pueden superponerse con otros usos de paréntesis y corchetes en matemáticas. Por ejemplo, la notación ( a , b ) se usa a menudo para denotar un par ordenado en teoría de conjuntos, las coordenadas de un punto o vector en geometría analítica y álgebra lineal , o (a veces) un número complejo en álgebra . Por eso Bourbaki introdujo la notación ] a , b [ para denotar el intervalo abierto. ^{[ 10 ]} La notación [ a , b ] también se usa ocasionalmente para pares ordenados, especialmente en ciencias de la computación .

Algunos autores como Yves Tillé usan ] a , b [ para denotar el complemento del intervalo ( a , b ) ; es decir, el conjunto de todos los números reales que son menores o iguales a a , o mayores o iguales a b . 

En algunos contextos, un intervalo puede definirse como un subconjunto de los números reales extendidos , el conjunto de todos los números reales aumentados con −∞ y +∞ .

En esta interpretación, las notaciones [ −∞, b ] , (−∞, b ] , [ a , +∞ ] , y [ a , +∞) son todas significativas y distintas. En particular, (−∞, +∞) denota el conjunto de todos los números reales ordinarios, mientras que [ −∞, +∞ ] denota los números reales extendidos.

Incluso en el contexto de los números reales ordinarios, se puede usar un punto final infinito para indicar que no hay límite en esa dirección. Por ejemplo, (0, +∞) es el conjunto de los números reales positivos , también escrito como${\displaystyle \mathbb {R} _{+}.}$El contexto afecta algunas de las definiciones y la terminología anteriores. Por ejemplo, el intervalo (−∞, +∞)  = ${\displaystyle \mathbb {R} }$está cerrado en el ámbito de los reales ordinarios, pero no en el ámbito de los reales extendidos.

Cuando a y b son enteros , las notaciones ⟦ a, b ⟧, [ a .. b ] , { a .. b } , o simplemente a .. b , se utilizan a veces para indicar el intervalo de todos los enteros entre a y b incluidos. La notación [ a .. b ] se utiliza en algunos lenguajes de programación ; en Pascal , por ejemplo, se utiliza para definir formalmente un tipo de subrango, que se usa con mayor frecuencia para especificar los límites inferior y superior de los índices válidos de un arreglo .

Otra forma de interpretar los intervalos enteros es como conjuntos definidos por enumeración , utilizando la notación de puntos suspensivos .

Un intervalo entero que tiene un extremo inferior o superior finito siempre incluye ese extremo. Por lo tanto, la exclusión de los extremos se puede denotar explícitamente escribiendo a .. b − 1 , a + 1 .. b , o a + 1 .. b − 1 . Las notaciones de corchetes alternos como [ a .. b ) o [ a .. b [ rara vez se utilizan para intervalos enteros.

Un intervalo diádico es un intervalo real acotado cuyos extremos son${\displaystyle {\tfrac {j}{2^{n}}}}$y${\displaystyle {\tfrac {j+1}{2^{n}}},}$dónde${\displaystyle j}$y${\displaystyle n}$son números enteros. Dependiendo del contexto, cualquiera de los extremos puede o no estar incluido en el intervalo.

Los intervalos diádicos tienen las siguientes propiedades:

• La longitud de un intervalo diádico es siempre una potencia entera de dos .
• Cada intervalo diádico está contenido en exactamente un intervalo diádico del doble de longitud.
• Cada intervalo diádico está formado por dos intervalos diádicos de la mitad de la longitud.
• Si dos intervalos diádicos abiertos se superponen, entonces uno de ellos es un subconjunto del otro.

En consecuencia, los intervalos diádicos tienen una estructura que refleja la de un árbol binario infinito .

Los intervalos diádicos son relevantes para varias áreas del análisis numérico , incluyendo el refinamiento adaptativo de malla , los métodos multigrid y el análisis de ondículas . Otra forma de representar dicha estructura es el análisis p-ádico (para p = 2 ). ^{[ 12 ]}

Los intervalos son omnipresentes en el análisis matemático , donde se utilizan para expresar ideas y suelen aparecer en resultados clave.

La integral de una función real se define sobre un intervalo. Los extremos del intervalo en cuestión suelen aparecer como subíndice y superíndice, por lo que la integral${\textstyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx}$Se aplica a todos${\displaystyle x}$perteneciente al intervalo${\displaystyle [a,b]}$.

Los intervalos aparecen implícitamente en la definición épsilon-delta de continuidad de una función.${\displaystyle f(x)}$: la siguiente explicación los hace explícitos. La función${\displaystyle f}$Se dice que es continuo en un punto${\displaystyle a}$si para cualquier valor dado${\displaystyle \varepsilon >0}$(épsilon mayor que cero) hay un valor${\displaystyle \delta >0}$(delta mayor que cero) para el cual${\displaystyle f(x)}$se encuentra en el intervalo abierto${\displaystyle \left(f(a)-\varepsilon ,f(a)+\varepsilon \right)}$cuando sea${\displaystyle x}$se elige del intervalo${\displaystyle \left(a-\delta ,a+\delta \right)}$. Los posibles valores de${\displaystyle \varepsilon }$y${\displaystyle \delta }$ellos mismos pertenecen al intervalo ilimitado${\displaystyle (0,+\infty )}$pero generalmente se consideran para describir pequeños incrementos positivos. La idea es que un pequeño intervalo simétrico alrededor del punto${\displaystyle a}$existe donde el valor de${\displaystyle f(x)}$permanece dentro de un intervalo abierto de radio${\displaystyle \varepsilon }$centrado en${\displaystyle f(a)}$.

El teorema del valor intermedio capta la intuición de que si${\displaystyle f\colon [a,b]\to \mathbb {R} }$es una función continua de valor real en un intervalo${\displaystyle [a,b]}$y${\displaystyle d}$es cualquier valor entre${\displaystyle f(a)}$y${\displaystyle f(b)}$, entonces esperamos encontrar un valor${\displaystyle c}$entre${\displaystyle a}$y${\displaystyle b}$dónde${\displaystyle f(c)=d}$. Por ejemplo, si${\displaystyle f(x)=x^{2}}$se define en el intervalo${\displaystyle [3,4]}$, luego dado${\displaystyle d=10}$entre${\displaystyle f(3)=3^{2}=9}$y${\displaystyle f(4)=4^{2}=16}$, hay un valor${\displaystyle c}$entre${\displaystyle 3}$y${\displaystyle 4}$dónde${\displaystyle f(c)=c^{2}=10}$Una formulación equivalente del teorema afirma que la imagen de un intervalo mediante una función continua es un intervalo.

Los intervalos de confianza son importantes en la inferencia estadística y proporcionan un rango de valores estimados para un parámetro estadístico desconocido , como la media poblacional . A diferencia de otros tipos de intervalos, un intervalo de confianza se calcula a partir de una muestra aleatoria y sus extremos son variables aleatorias de valor real . Una muestra diferente podría arrojar un resultado distinto.

Al repetir el muestreo, existe una probabilidad preestablecida, conocida como nivel de confianza , de que un intervalo correspondiente contenga el valor real del parámetro desconocido. Por ejemplo, si el nivel de confianza elegido fuera 0,95 y el mismo procedimiento de muestreo se repitiera muchas veces, a largo plazo se esperaría que aproximadamente el 95 % de los intervalos resultantes contuvieran el valor real.

La distribución normal proporciona una ilustración simplificada. Tiene una función de densidad de probabilidad cuya gráfica es la conocida curva de campana. El pico se produce en su media.${\displaystyle \mu }$(la letra griega mu) y su anchura se puede describir mediante su desviación estándar.${\displaystyle \sigma }$(sigma). Estos dos parámetros distinguen una curva de campana de otra, pero en todos los casos la región dentro de dos desviaciones estándar a cada lado de la media representa una probabilidad de aproximadamente 0,95. Esto se puede escribir

$${\displaystyle P(\mu -2\sigma \leq X\leq \mu +2\sigma )\approx 0.95}$$

para una variable aleatoria con distribución normal${\displaystyle X}$.

Llevar${\displaystyle {\bar {X}}}$ser la media muestral para un tamaño de muestra fijo, que es un estimador para${\displaystyle \mu }$También tiene una distribución normal con su propia desviación estándar.${\displaystyle \sigma _{\bar {X}}}$. Las desigualdades anteriores se pueden escribir entonces en términos de${\displaystyle \mu }$dar

$${\displaystyle P({\bar {X}}-2\sigma _{\bar {X}}\leq \mu \leq {\bar {X}}+2\sigma _{\bar {X}})\approx 0.95.}$$

Si el valor de la desviación estándar${\displaystyle \sigma _{\bar {X}}}$Se conoce el intervalo${\displaystyle [{\bar {X}}-2\sigma _{\bar {X}},{\bar {X}}+2\sigma _{\bar {X}}]}$será un intervalo de confianza para${\displaystyle \mu }$con un nivel de confianza de aproximadamente 0,95. Sus extremos son las variables aleatorias.${\displaystyle {\bar {X}}-2\sigma _{\bar {X}}}$y${\displaystyle {\bar {X}}+2\sigma _{\bar {X}}}$cuyos valores reales dependerán de la muestra tomada.

Todo espacio de Tychonoff se puede incrustar en un espacio producto de los intervalos unitarios cerrados.${\displaystyle [0,1].}$En realidad, todo espacio de Tychonoff que tenga una base de cardinalidad${\displaystyle \kappa }$es integrable en el producto${\displaystyle [0,1]^{\kappa }}$de${\displaystyle \kappa }$copias de los intervalos. ^{[ 13 ] : pág. 83, Teorema 2.3.23}

Los conceptos de conjuntos convexos y componentes convexas se utilizan en una demostración de que todo conjunto totalmente ordenado dotado de la topología de orden es completamente normal ^{[ 14 ]} o, además, monótonamente normal . ^{[ 15 ]}

Un intervalo finito abierto${\displaystyle (a,b)}$es una bola abierta unidimensional con un centro en${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}(a+b)}$y un radio de${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}(b-a).}$El intervalo finito cerrado${\displaystyle [a,b]}$es la bola cerrada correspondiente y los dos puntos extremos del intervalo${\displaystyle \{a,b\}}$forman una esfera de dimensión 0. Generalizado a${\displaystyle n}$En el espacio euclidiano de -dimensiones , una bola es el conjunto de puntos cuya distancia al centro es menor que el radio. En el caso de 2 dimensiones, una bola se llama disco .

Si se considera un semiplano como una especie de bola degenerada (sin un centro o radio bien definidos), se puede tomar un semiplano como análogo a un intervalo semiacotado, con su plano límite como la esfera (degenerada) correspondiente al punto final finito.

Un intervalo finito es (el interior de) un hiperrectángulo unidimensional . Generalizado al espacio de coordenadas reales.${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$un hiperrectángulo (o caja) alineado con los ejes es el producto cartesiano de${\displaystyle n}$intervalos finitos. Para${\displaystyle n=2}$este es un rectángulo ; para${\displaystyle n=3}$Se trata de un cuboide rectangular (también llamado " caja ").

Permitiendo una mezcla de extremos abiertos, cerrados e infinitos, el producto cartesiano de cualquier${\displaystyle n}$intervalos,${\displaystyle I=I_{1}\times I_{2}\times \cdots \times I_{n}}$a veces se le llama${\displaystyle n}$intervalo -dimensional .

Una faceta de dicho intervalo${\displaystyle I}$es el resultado de reemplazar cualquier factor de intervalo no degenerado${\displaystyle I_{k}}$por un intervalo degenerado que consiste en un punto final finito de${\displaystyle I_{k}.}$Los rostros de${\displaystyle I}$comprender${\displaystyle I}$ella misma y todas las caras de sus facetas. Las esquinas de${\displaystyle I}$son las caras que consisten en un solo punto de${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$

Cualquier intervalo finito puede construirse como la intersección de intervalos semiacotados (considerando una intersección vacía como la recta real completa), y la intersección de cualquier número de intervalos semiacotados es un intervalo (posiblemente vacío). Generalizado a${\displaystyle n}$Espacio afín de dimensión , una intersección de semiplanos (de orientación arbitraria) es (el interior de) un politopo convexo , o en el caso bidimensional un polígono convexo .

Un intervalo abierto es un conjunto abierto conexo de números reales. Generalizado a espacios topológicos en general, un conjunto abierto conexo no vacío se denomina dominio .

Los intervalos de números complejos pueden definirse como regiones del plano complejo , ya sean rectangulares o circulares . ^{[ 16 ]}