espacio monótonamente normal

El espacio${\displaystyle X}$es T ₁ y hay una función${\displaystyle G}$que asigna a cada par ordenado${\displaystyle (A,B)}$de conjuntos cerrados disjuntos en${\displaystyle X}$un conjunto abierto${\displaystyle G(A,B)}$de tal manera que:

(i)${\displaystyle A\subseteq G(A,B)\subseteq {\overline {G(A,B)}}\subseteq X\setminus B}$;

(ii)${\displaystyle G(A,B)\subseteq G(A',B')}$cuando sea${\displaystyle A\subseteq A'}$y${\displaystyle B'\subsetequ B}$.

La condición (i) dice${\displaystyle X}$es un espacio normal, como lo demuestra la función${\displaystyle G}$La condición (ii) dice que${\displaystyle G(A,B)}$varía de forma monótona, de ahí la terminología monótonamente normal . El operador${\displaystyle G}$se denomina operador de normalidad monótona .

Siempre se puede elegir${\displaystyle G}$para satisfacer la propiedad

${\displaystyle G(A,B)\cap G(B,A)=\emptyset }$,

reemplazando cada uno${\displaystyle G(A,B)}$por${\displaystyle G(A,B)\setminus {\overline {G(B,A)}}}$.

El espacio${\displaystyle X}$es T ₁ y hay una función${\displaystyle G}$que asigna a cada par ordenado${\displaystyle (A,B)}$de conjuntos separados en${\displaystyle X}$(es decir, de tal manera que${\displaystyle A\cap {\overline {B}}=B\cap {\overline {A}}=\emptyset }$) un conjunto abierto${\displaystyle G(A,B)}$que cumplen las mismas condiciones (i) y (ii) de la Definición 1.

El espacio${\displaystyle X}$es T ₁ y hay una función${\displaystyle \mu }$que asigna a cada par${\displaystyle (x,U)}$con${\displaystyle U}$abierto en${\displaystyle X}$y${\displaystyle x\in U}$un conjunto abierto${\displaystyle \mu (x,U)}$de tal manera que:

(i)${\displaystyle x\in \mu (x,U)}$;

(ii) si${\displaystyle \mu (x,U)\cap \mu (y,V)\neq \emptyset }$, entonces${\displaystyle x\in V}$o${\displaystyle y\in U}$.

Tal función${\displaystyle \mu }$satisface automáticamente

${\displaystyle x\in \mu (x,U)\subseteq {\overline {\mu (x,U)}}\subseteq U}$.

( Razón : Supongamos${\displaystyle y\in X\setminus U}$. Desde${\displaystyle X}$es T ₁ , hay un vecindario abierto${\displaystyle V}$de${\displaystyle y}$de tal manera que${\displaystyle x\notin V}$. Por la condición (ii),${\displaystyle \mu (x,U)\cap \mu (y,V)=\emptyset }$, eso es,${\displaystyle \mu (y,V)}$es un barrio de${\displaystyle y}$disjunto de${\displaystyle \mu (x,U)}$. Entonces${\displaystyle y\notin {\overline {\mu (x,U)}}}$.) ^{[ 5 ]}

Dejar${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ser una base para la topología de${\displaystyle X}$El espacio${\displaystyle X}$es T ₁ y hay una función${\displaystyle \mu }$que asigna a cada par${\displaystyle (x,U)}$con${\displaystyle U\in {\mathcal {B}}}$y${\displaystyle x\in U}$un conjunto abierto${\displaystyle \mu (x,U)}$que cumplen las mismas condiciones (i) y (ii) de la Definición 3.

El espacio${\displaystyle X}$es T ₁ y hay una función${\displaystyle \mu }$que asigna a cada par${\displaystyle (x,U)}$con${\displaystyle U}$abierto en${\displaystyle X}$y${\displaystyle x\in U}$un conjunto abierto${\displaystyle \mu (x,U)}$de tal manera que:

(i)${\displaystyle x\in \mu (x,U)}$;

(ii) si${\displaystyle U}$y${\displaystyle V}$están abiertos y${\displaystyle x\in U\subseteq V}$, entonces${\displaystyle \mu (x,U)\subseteq \mu (x,V)}$;

(iii) si${\displaystyle x}$y${\displaystyle y}$son puntos distintos, entonces${\displaystyle \mu (x,X\setminus \{y\})\cap \mu (y,X\setminus \{x\})=\emptyset }$.

Tal función${\displaystyle \mu }$satisface automáticamente todas las condiciones de la Definición 3.