Axioma de elección

En matemáticas , el axioma de elección , abreviado AC o AoC , es un axioma de la teoría de conjuntos . En términos informales, el axioma de elección afirma que, dada cualquier colección de conjuntos no vacíos, se puede identificar otro conjunto que contenga un elemento elegido de cada conjunto, incluso si la colección es infinita . Formalmente, el axioma establece la existencia en lugar de una construcción ; afirma que para cada conjunto${\displaystyle I}$y cada${\displaystyle I}$- familia indexada${\displaystyle (S_{i})_{i\in I}}$de conjuntos no vacíos , existe un${\displaystyle I}$-conjunto indexado${\displaystyle (x_{i})_{i\in I}}$de elementos de${\displaystyle \cup _{i\in I}S_{i}}$de tal manera que${\displaystyle x_{i}\in S_{i}}$por cada${\displaystyle i\in I}$El axioma de elección fue formulado en 1904 por Ernst Zermelo con el fin de formalizar su demostración del teorema del buen ordenamiento . ^{[ 1 ]}

En muchos casos, se puede crear un conjunto eligiendo elementos sin invocar el axioma de elección, especialmente si el número de conjuntos de los que elegir los elementos es finito (en cuyo caso se puede aplicar la inducción), o si se dispone de una regla canónica sobre cómo elegir los elementos: alguna propiedad distintiva que se cumple para exactamente un elemento en cada conjunto. Un ejemplo ilustrativo son los conjuntos elegidos a partir de los números naturales. De tales conjuntos, siempre se puede seleccionar el número más pequeño; por ejemplo, dados los conjuntos { {4, 5, 6}, {10, 12}, {1, 400, 617, 8000 } }, el conjunto que contiene cada elemento más pequeño es {4, 10, 1}. En este caso, "seleccionar el número más pequeño" es una función de elección . Incluso si se recopilan infinitos conjuntos de los números naturales, siempre será posible formar una función de elección eligiendo el elemento más pequeño de cada conjunto para producir un conjunto; aquí no se necesita el axioma de elección. Por otro lado, para el conjunto de todos los subconjuntos no vacíos de los números reales, no existe una regla canónica conocida que permita elegir un elemento de cada uno de estos subconjuntos. En ese caso, es necesario recurrir al axioma de elección para construir la función de elección deseada.

Bertrand Russell acuñó una analogía: para cualquier colección (incluso infinita) de pares de zapatos no ordenados, se puede elegir el zapato izquierdo de cada par para obtener una colección (es decir, un conjunto) de zapatos apropiada; esto permite definir una función de elección sin utilizar el axioma de elección. Sin embargo, para una colección infinita de pares de calcetines no ordenados (que se supone que no tienen características distintivas como ser un calcetín izquierdo en lugar de uno derecho), no existe una forma natural (es decir, canónica) de elegir un calcetín de cada par, por lo que se debe recurrir al axioma de elección para construir la función de elección deseada. ^{[ 2 ]}

Aunque inicialmente controvertido, el axioma de elección es utilizado actualmente sin reservas por la mayoría de los matemáticos ^{[ 3 ]} y se incluye en la forma estándar de la teoría axiomática de conjuntos , la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel con el axioma de elección (ZFC). Una de las razones para ello es que varios resultados matemáticos generalmente aceptados, como el teorema de Tychonoff , requieren el axioma de elección para sus demostraciones. Los teóricos de conjuntos contemporáneos también estudian axiomas que no son compatibles con el axioma de elección, como el axioma de determinación . Si bien algunas variedades de matemáticas constructivas evitan el axioma de elección, otras lo adoptan.

Una función de elección (también llamada selector o selección) es una función${\displaystyle f}$, definido en una colección${\displaystyle X}$de conjuntos no vacíos, de tal manera que para cada conjunto${\displaystyle A}$en${\displaystyle X}$,${\displaystyle f(A)}$es un elemento de${\displaystyle A}$Con este concepto, se puede enunciar el axioma:

Formalmente, esto puede expresarse de la siguiente manera:

$${\displaystyle \forall X\left[\varnothing \in X\lor \exists f\left[\mathrm {dom} \ f=X\land \forall A\in X\left[f\left(A\right)\in A\right]\right]\right].}$$

Cada función de elección en una familia${\displaystyle X}$de conjuntos no vacíos es un elemento del producto cartesiano de los conjuntos en${\displaystyle X}$y viceversa. Por lo tanto, una forma equivalente del axioma de elección es:

Esta forma implica una forma más general donde el producto cartesiano es de una familia general de conjuntos indexados (que pueden contener duplicados), ya que siempre se puede seleccionar el mismo elemento de los factores duplicados.

Variantes

Existen muchas otras formulaciones equivalentes del axioma de elección. Estas son equivalentes en el sentido de que, en presencia de otros axiomas básicos de la teoría de conjuntos, implican el axioma de elección y, a su vez, se derivan de él.

Una variante evita el uso de funciones de elección, sustituyendo, en efecto, cada función de elección por su rango:

Dado cualquier conjunto${\displaystyle X}$, si el conjunto vacío no es un elemento de${\displaystyle X}$y los elementos de${\displaystyle X}$son disjuntos por pares , entonces existe un conjunto${\displaystyle C}$de tal manera que su intersección con cualquiera de los elementos de${\displaystyle X}$contiene exactamente un elemento. ^{[ 5 ]}

Esto se puede formalizar en lógica de primer orden como:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\forall x(&\\&\exists e(e\in x\land \lnot \exists y(y\in e))\lor \\&\exists a\,\exists b\,\exists c\,(a\in x\land b\in x\land c\in a\land c\in b\land \lnot (a=b))\lor \\&\exists c\,\forall e\,(e\in x\implies \exists a\,(a\in e\land a\in c\land \forall b\,((b\in e\land b\in c)\implies a=b))))\end{aligned}}}$$

Tenga en cuenta que${\displaystyle P\lor Q\lor R}$es lógicamente equivalente a${\displaystyle (\lnot P\land \lnot Q)\implies R}$En inglés, esta oración de primer orden se lee:

Dado cualquier conjunto${\displaystyle X}$,

${\displaystyle X}$contiene el conjunto vacío como un elemento o

los elementos de${\displaystyle X}$no son disjuntos por pares o

existe un conjunto${\displaystyle C}$de tal manera que su intersección con cualquiera de los elementos de${\displaystyle X}$contiene exactamente un elemento.

Esto garantiza cualquier partición de un conjunto.${\displaystyle X}$la existencia de un subconjunto${\displaystyle C}$de${\displaystyle X}$que contiene exactamente un elemento de cada parte de la partición.

Otro axioma equivalente solo considera colecciones.${\displaystyle X}$que son esencialmente conjuntos potencia de otros conjuntos:

Para cualquier conjunto${\displaystyle A}$, el conjunto de potencias de${\displaystyle A}$(con el conjunto vacío eliminado) tiene una función de elección.

Los autores que utilizan esta formulación a menudo hablan de la función de elección en${\displaystyle A}$, pero esta es una noción ligeramente diferente de función de elección. Su dominio es el conjunto potencia de${\displaystyle A}$(con el conjunto vacío eliminado), y por lo tanto tiene sentido para cualquier conjunto${\displaystyle A}$, mientras que con la definición utilizada en otras partes de este artículo, el dominio de una función de elección en una colección de conjuntos es esa colección, y por lo tanto solo tiene sentido para conjuntos de conjuntos. Con esta noción alternativa de función de elección, el axioma de elección se puede enunciar de forma compacta como

Cada conjunto tiene una función de elección. ^{[ 6 ]}

lo cual es equivalente a

Para cualquier conjunto${\displaystyle A}$hay una función${\displaystyle f:{\mathcal {P}}(A)\setminus \{\emptyset \}\to A}$de tal manera que para cualquier subconjunto no vacío${\displaystyle B}$de${\displaystyle A}$,${\displaystyle f(B)}$se encuentra en${\displaystyle B}$.

La negación del axioma puede expresarse, por lo tanto, como:

Hay un conjunto${\displaystyle A}$de tal manera que para todas las funciones${\displaystyle f}$(en el conjunto de subconjuntos no vacíos de${\displaystyle A}$), hay un subconjunto${\displaystyle B}$de tal manera que${\displaystyle f(B)}$no miente en${\displaystyle B}$.

Hasta finales del siglo XIX, el axioma de elección se utilizaba a menudo de forma implícita, aunque aún no se había enunciado formalmente. Por ejemplo, tras establecer que el conjunto X contiene únicamente conjuntos no vacíos, un matemático podría haber dicho «sea F ( s ) uno de los elementos de s para todo s en X » para definir una función F. En general, es imposible demostrar que F existe sin el axioma de elección, pero esto parece haber pasado desapercibido hasta Zermelo.

Una demostración que requiere el axioma de elección puede establecer la existencia de un objeto sin definirlo canónicamente en el lenguaje de la teoría de conjuntos. Por ejemplo, si bien el axioma de elección implica que existe un buen ordenamiento de los números reales, existen modelos de teoría de conjuntos con dicho axioma en los que no se puede definir ningún buen ordenamiento individual de los reales. De manera similar, aunque se puede demostrar la existencia de un subconjunto de los números reales que no es medible según Lebesgue utilizando el axioma de elección, es consistente que no se pueda definir tal conjunto. ^{[ 8 ]}

El axioma de elección afirma la existencia de estos intangibles (objetos cuya existencia está probada, pero que no pueden construirse de forma canónica ), lo que puede entrar en conflicto con algunos principios filosóficos. ^{[ 9 ]} Dado que no existe un buen ordenamiento canónico de todos los conjuntos, una construcción que se base en un buen ordenamiento puede no producir un resultado canónico, incluso si se desea un resultado canónico (como suele ocurrir en la teoría de categorías ). Esto se ha utilizado como argumento en contra del uso del axioma de elección.

Otro argumento en contra del axioma de elección es que implica la existencia de objetos que pueden parecer contraintuitivos. ^{[ 10 ]} Un ejemplo es la paradoja de Banach-Tarski , que dice que es posible descomponer la bola unitaria sólida tridimensional en un número finito de piezas y, usando solo rotaciones y traslaciones, reensamblar las piezas en dos bolas sólidas cada una con el mismo volumen que la original. Las piezas en esta descomposición, construida usando el axioma de elección, son conjuntos no medibles .

A pesar de estos resultados aparentemente paradójicos, la mayoría de los matemáticos aceptan el axioma de elección como un principio válido para demostrar nuevos resultados en matemáticas. Sin embargo, el debate es lo suficientemente interesante como para considerarse relevante cuando un teorema en ZFC (ZF más AC) es lógicamente equivalente (con solo los axiomas de ZF) al axioma de elección, y los matemáticos buscan resultados que requieran que el axioma de elección sea falso, aunque este tipo de deducción es menos común que la que requiere que el axioma de elección sea verdadero.

Los teoremas de ZF son válidos en cualquier modelo de dicha teoría, independientemente de la veracidad o falsedad del axioma de elección en ese modelo en particular. Las implicaciones de elección que se presentan a continuación, incluyendo versiones más débiles del propio axioma, se enumeran porque no son teoremas de ZF. La paradoja de Banach-Tarski, por ejemplo, no se puede demostrar ni refutar únicamente con ZF: es imposible construir la descomposición requerida de la bola unitaria en ZF, pero también es imposible demostrar que no existe tal descomposición. Tales afirmaciones se pueden reformular como enunciados condicionales; por ejemplo, «Si AC se cumple, entonces existe la descomposición en la paradoja de Banach-Tarski». Dichos enunciados condicionales se pueden demostrar en ZF cuando los enunciados originales se pueden demostrar con ZF y el axioma de elección.

Como se mencionó anteriormente, en la teoría clásica de ZFC, el axioma de elección permite demostraciones no constructivas en las que se prueba la existencia de un tipo de objeto sin una construcción canónica explícita de una instancia de dicho tipo. De hecho, en la teoría de conjuntos y la teoría de topos , el teorema de Diaconescu demuestra que el axioma de elección implica la ley del tercero excluido . Por lo tanto, este principio no está disponible en la teoría constructiva de conjuntos , donde se emplea la lógica no clásica.

La situación es diferente cuando el principio se formula en la teoría de tipos de Martin-Löf . Allí, y en la aritmética de Heyting de orden superior , la formulación apropiada del axioma de elección se incluye (según el enfoque) como un axioma o se puede demostrar como un teorema. ^{[ 11 ]} Una causa de esta diferencia es que el axioma de elección en la teoría de tipos no tiene las propiedades de extensionalidad que sí tiene el axioma de elección en la teoría constructiva de conjuntos. ^{[ 12 ]} El contexto de la teoría de tipos se analiza más adelante.

Se han estudiado exhaustivamente diferentes principios de elección en contextos constructivos, y el estatus de estos principios varía entre las distintas escuelas y variedades de las matemáticas constructivas. Algunos resultados en la teoría constructiva de conjuntos utilizan el axioma de elección contable o el axioma de elección dependiente , que no implican la ley del tercero excluido. Errett Bishop , conocido por desarrollar un marco para el análisis constructivo , argumentó que un axioma de elección era constructivamente aceptable, afirmando:

En matemáticas constructivas existe una función de elección, porque la elección está implícita en el significado mismo de la existencia. ^{[ 13 ]}

Aunque el axioma de elección contable en particular se usa comúnmente en matemáticas constructivas, su uso también ha sido cuestionado. ^{[ 14 ]}

Se sabe desde 1922 que el axioma de elección puede fallar en una variante de ZF con urelementos , a través de la técnica de modelos de permutación introducida por Abraham Fraenkel _{[15] y desarrollada posteriormente por Andrzej Mostowski. [16] La técnica básica se puede ilustrar de la siguiente manera: Sean x n e y n} ^{urelementos distintos para} n = 1 ^{, 2 ,} 3 ... _, y construyamos un modelo donde cada conjunto es simétrico bajo el intercambio x _n ↔ y _n para todos excepto un número finito de n . Entonces el conjunto X = {{ x ₁ , y ₁ }, { x ₂ , y ₂ }, { x ₃ , y ₃ }, ...} puede estar en el modelo, pero conjuntos como { x ₁ , x ₂ , x ₃ , ...} no pueden, y por lo tanto X no puede tener una función de elección.

En 1938, ^{[ 17 ]} Kurt Gödel demostró que la negación del axioma de elección no es un teorema de ZF mediante la construcción de un modelo interno (el universo construible ) que satisface ZFC, demostrando así que ZFC es consistente si ZF mismo es consistente. En 1963, Paul Cohen empleó la técnica de forzamiento , desarrollada para este propósito, para demostrar que, suponiendo que ZF es consistente, el axioma de elección mismo no es un teorema de ZF. Lo hizo construyendo un modelo mucho más complejo que satisface ZF¬C (ZF con la negación de AC añadida como axioma) y demostrando así que ZF¬C es consistente. El modelo de Cohen es un modelo simétrico , similar a los modelos de permutación, pero utiliza subconjuntos "genéricos" de los números naturales (justificados por forzamiento) en lugar de urelementos. ^{[ 18 ]}

En conjunto, estos resultados demuestran que el axioma de elección es lógicamente independiente de ZF. La suposición de que ZF es consistente es inofensiva, ya que añadir otro axioma a un sistema ya inconsistente no puede empeorar la situación. Debido a esta independencia, la decisión de usar el axioma de elección (o su negación) en una demostración no puede basarse en otros axiomas de la teoría de conjuntos, sino en otros fundamentos.

Un argumento a favor del uso del axioma de elección es su conveniencia, ya que permite demostrar proposiciones simplificadoras que de otro modo serían imposibles. Muchos teoremas demostrables mediante el axioma de elección poseen un elegante carácter general: las cardinalidades de dos conjuntos cualesquiera son comparables, todo anillo unitario no trivial tiene un ideal maximal , todo espacio vectorial tiene una base , todo grafo conexo tiene un árbol generador y todo producto de espacios compactos es compacto, entre muchos otros. Con frecuencia, el axioma de elección permite generalizar un teorema a objetos de mayor envergadura. Por ejemplo, se puede demostrar sin el axioma de elección que todo espacio vectorial de dimensión finita tiene una base, pero la generalización a todos los espacios vectoriales requiere dicho axioma. Del mismo modo, se puede demostrar que un producto finito de espacios compactos es compacto sin el axioma de elección, pero la generalización a productos infinitos ( teorema de Tychonoff ) requiere su uso.

La demostración del resultado de independencia también muestra que una amplia clase de enunciados matemáticos, incluyendo todos los enunciados que pueden formularse en el lenguaje de la aritmética de Peano , son demostrables en ZF si y solo si son demostrables en ZFC. ^{[ 19 ]} Los enunciados de esta clase incluyen el enunciado de que P = NP , la hipótesis de Riemann y muchos otros problemas matemáticos sin resolver. Al intentar resolver problemas de esta clase, no importa si se emplea ZF o ZFC si la única cuestión es la existencia de una demostración. Sin embargo, es posible que exista una demostración más corta de un teorema en ZFC que en ZF.

El axioma de elección no es la única afirmación significativa independiente de ZF. Por ejemplo, la hipótesis del continuo generalizado (HCG) no solo es independiente de ZF, sino también de ZFC. Sin embargo, ZF más HCG implica AC, lo que convierte a HCG en una afirmación estrictamente más fuerte que AC, aunque ambas sean independientes de ZF.

El axioma de constructibilidad y la hipótesis del continuo generalizado implican el axioma de elección y son estrictamente más fuertes que él. En teorías de clases como la teoría de conjuntos de Von Neumann-Bernays-Gödel y la teoría de conjuntos de Morse-Kelley , existe un axioma llamado axioma de elección global que es más fuerte que el axioma de elección para conjuntos porque también se aplica a clases propias. El axioma de elección global se deriva del axioma de limitación de tamaño . El axioma de Tarski, que se usa en la teoría de conjuntos de Tarski-Grothendieck y establece (en lenguaje común) que todo conjunto pertenece a algún universo de Grothendieck , es más fuerte que el axioma de elección.

Hay afirmaciones importantes que, asumiendo los axiomas de ZF pero no los de AC ni los de ¬AC, son equivalentes al axioma de elección (es decir, sus valores de verdad en ZF, aunque indecidibles, son los mismos que los de AC). ^{[ 20 ]} Las más importantes entre ellas son el lema de Zorn y el teorema del buen ordenamiento . De hecho, Zermelo introdujo inicialmente el axioma de elección para formalizar su demostración del teorema del buen ordenamiento.

• teoría de conjuntos
  • Tricotomía: Las cardinalidades de dos conjuntos cualesquiera son comparables entre sí. Es decir, dados dos conjuntos cualesquiera, existe una inyección desde (al menos) uno de ellos hacia el otro.
  • Teorema de Tarski sobre la elección : Para cada conjunto infinito${\displaystyle A}$, los conjuntos${\displaystyle A}$y${\displaystyle A\times A}$tienen la misma cardinalidad ; es decir, existe una biyección entre ellas.
  • Cada sobreyección${\displaystyle f:S\to T}$tiene una inversa derecha ; es decir, existe una función${\displaystyle g:T\to S}$de tal manera que${\displaystyle f\circ g=\mathrm {id} _ {T}}$.
  • Por cada colección inconexa${\displaystyle {\mathcal {C}}}$de conjuntos no vacíos, existe un conjunto${\displaystyle C\subseteq \cup _{S\in {\mathcal {C}}}(S)}$que interseca a cada miembro de${\displaystyle {\mathcal {C}}}$en exactamente un elemento. Es decir, cada partición de un conjunto tiene una transversal . ^{[ 21 ]}
  • Si una relación${\displaystyle R}$de un conjunto${\displaystyle X}$a un conjunto${\displaystyle Y}$tiene la propiedad de que para cada${\displaystyle x\in X}$, hay un${\displaystyle y\in Y}$con${\displaystyle xRy}$, entonces existe una función${\displaystyle f:X\to Y}$de tal manera que${\displaystyle xRf(x)}$a pesar de${\displaystyle x\in X}$.
  • El producto cartesiano de cualquier familia indexada de conjuntos no vacíos es no vacío. Es decir, para cualquier conjunto${\displaystyle I}$y cualquier${\displaystyle I}$-familia indexada${\displaystyle (S_{i})_{i\in I}}$de conjuntos no vacíos, existe un${\displaystyle I}$-conjunto indexado${\displaystyle (s_{i})_{i\in I}}$de elementos en${\displaystyle \cup _{i\in I}(S_{i})}$de tal manera que${\displaystyle s_{i}\in S_{i}}$a pesar de${\displaystyle i\in I}$.
  • En cualquier colección${\displaystyle {\mathcal {A}}}$de conjuntos no vacíos, existe una subcolección disjunta${\displaystyle {\mathcal {C}}}$de conjuntos cuya unión${\displaystyle \cup _{S\in {\mathcal {C}}}(S)}$interseca a todos los miembros de${\displaystyle {\mathcal {A}}}$(Nótese que dicha subcolección disjunta es precisamente aquella que es máxima con respecto a la inclusión de conjuntos).
  • Para cualquier conjunto${\displaystyle X}$, existe una colección máxima (bajo inclusión de conjuntos)${\displaystyle {\mathcal {A}}}$de subconjuntos de${\displaystyle X}$para la cual cada subcolección finita${\displaystyle {\mathcal {C}}}$de${\displaystyle {\mathcal {A}}}$tiene una intersección no vacía${\displaystyle \cap _{S\in {\mathcal {C}}}(S)}$(Esta afirmación es clave para una demostración estándar del teorema de Tychonoff ).
  • Teorema del buen orden : Cada conjunto${\displaystyle A}$tiene un buen ordenamiento (es decir, un ordenamiento total en el que cada subconjunto no vacío de${\displaystyle A}$tiene un elemento mínimo). En consecuencia, cada cardinal tiene un ordinal inicial .
  • Para cada ordinal${\displaystyle \alpha }$, el conjunto potencia (es decir, el conjunto de todos los subconjuntos) de${\displaystyle \alpha }$tiene un buen orden.
  • Principio maximal de Hausdorff : Todo conjunto parcialmente ordenado tiene una cadena maximal (con respecto a la inclusión). De forma equivalente, en un conjunto parcialmente ordenado, toda cadena puede extenderse a una cadena maximal.
  • Principio de anticadenas : Todo conjunto parcialmente ordenado tiene una anticadena maximal (con respecto a la inclusión). De forma equivalente, en cualquier conjunto parcialmente ordenado, toda anticadena puede extenderse a una anticadena maximal.
  • Lema de Zorn : Si${\displaystyle (A,<)}$es cualquier conjunto parcialmente ordenado en el que cada cadena tiene un límite superior en${\displaystyle A}$, entonces${\displaystyle (A,<)}$tiene al menos un elemento maximal.
  • Lema de Kuratowski : Si${\displaystyle {\mathcal {A}}}$es cualquier familia de conjuntos con la propiedad que para cualquier subfamilia${\displaystyle {\mathcal {C}}}$de${\displaystyle {\mathcal {A}}}$totalmente ordenado por inclusión de conjuntos, la unión${\displaystyle \cup _{A\in {\mathcal {C}}}(A)}$es un elemento de${\displaystyle {\mathcal {A}}}$, entonces${\displaystyle {\mathcal {A}}}$tiene al menos un elemento maximal con respecto a la inclusión.
  • Lema de Tukey : Si${\displaystyle {\mathcal {A}}}$es cualquier familia de subconjuntos de un conjunto${\displaystyle X}$con la propiedad de que un conjunto${\displaystyle B\subsetequ X}$es un elemento de${\displaystyle {\mathcal {A}}}$si y solo si cada subconjunto finito de${\displaystyle B}$es un elemento de${\displaystyle {\mathcal {A}}}$, entonces${\displaystyle {\mathcal {A}}}$tiene al menos un elemento maximal con respecto a la inclusión.
  • Teorema de König : De manera informal, la suma de una sucesión de cardinales es estrictamente menor que el producto de una sucesión de cardinales mayores. (El motivo del término "de manera informal" es que la suma o el producto de una "sucesión" de cardinales no pueden definirse sin algún aspecto del axioma de elección).
• Álgebra abstracta
  • Todo espacio vectorial tiene una base ; equivalentemente, todo subconjunto linealmente independiente de un espacio vectorial puede extenderse a una base, mientras que todo subconjunto generador contiene una base. En el lenguaje de la teoría de módulos , todos los espacios vectoriales son módulos libres . ^{[ 22 ]}
  • Teorema de Krull : Todo anillo unitario no trivial contiene un ideal maximal ; equivalentemente, todo ideal propio de un anillo unitario puede extenderse a un ideal maximal.
  • Para cada conjunto no vacío${\displaystyle S}$Hay una operación binaria definida en${\displaystyle S}$eso le da una estructura de grupo . ^{[ 23 ]} (Una operación binaria cancelativa es suficiente; véase Estructura de grupo y el axioma de elección ).
  • Todo grupo abeliano libre es proyectivo . ^{[ 24 ]}
  • Criterio de Baer: Todo grupo abeliano divisible es inyectivo . ^{[ 24 ]}
  • Todo conjunto es un objeto proyectivo en la categoría de conjuntos . ^{[ 25 ] [ 26 ]}
• Análisis funcional
  • La bola unitaria cerrada del dual de un espacio vectorial normado sobre los números reales tiene un punto extremo .
• Topología de conjuntos de puntos
  • Teorema de Tychonoff : El producto de cualquier familia indexada de espacios topológicos compactos es compacto.
  • La clausura del producto de cualquier familia indexada de subconjuntos de un espacio topológico es igual al producto de las clausuras de esos subconjuntos.
• Lógica matemática
  • Si${\displaystyle S}$es un conjunto de oraciones de lógica de primer orden y${\displaystyle B}$es un subconjunto consistente de${\displaystyle S}$, entonces${\displaystyle B}$está incluido en un conjunto que es máximo entre subconjuntos consistentes de${\displaystyle S}$. El caso especial donde${\displaystyle S}$es el conjunto de todas las sentencias de primer orden en una signatura dada es más débil, equivalente al teorema del ideal primo booleano ; véase la sección "Formas más débiles" a continuación.
  • Teorema de Löwenheim-Skolem : Si una teoría de primer orden tiene un modelo infinito, entonces tiene un modelo infinito de cada cardinalidad posible mayor o igual que la cardinalidad del lenguaje de esta teoría.
• teoría de grafos
  • Todo grafo conexo tiene un árbol de expansión ; equivalentemente, todo árbol en un grafo conexo puede extenderse a un árbol de expansión, mientras que todo subgrafo de expansión contiene un árbol de expansión. ^{[ 27 ] [ 28 ]}

En ZF existen varias afirmaciones más débiles que no se pueden demostrar, pero que están lógicamente implicadas por el axioma de elección (AC) dentro de ZF, aunque no son equivalentes a AC. Un ejemplo es el axioma de elección dependiente (DC). Un ejemplo aún más débil es el axioma de elección numerable (AC _ω o CC), que establece que existe una función de elección para cualquier familia numerable de conjuntos no vacíos. Estos axiomas son suficientes para muchas demostraciones en análisis matemático elemental y son consistentes con algunos principios, como la mensurabilidad de Lebesgue de todos los subconjuntos de números reales, que se pueden refutar a partir del axioma de elección completo.

Dado un parámetro ordinal α ≥ ω +2 , para todo conjunto S con rango menor que α , S es bien ordenable. Dado un parámetro ordinal α ≥ 1 , para todo conjunto S con número de Hartog menor que ω _α , S es bien ordenable. A medida que aumenta el parámetro ordinal, estas condiciones se aproximan cada vez más al axioma de elección completo.

Otros axiomas de elección más débiles que el axioma de elección incluyen el teorema del ideal primo booleano y el axioma de uniformización . El primero es equivalente en ZF al lema del ultrafiltro de Tarski de 1930 : todo filtro es un subconjunto de algún ultrafiltro .

Si abreviamos por BP la afirmación de que todo conjunto de números reales tiene la propiedad de Baire , entonces BP es más fuerte que ¬AC, que afirma la no existencia de cualquier función de elección en tal vez solo un único conjunto de conjuntos no vacíos. Las negaciones reforzadas pueden ser compatibles con formas debilitadas de AC. Por ejemplo, ZF + DC ^{[ 39 ]} + BP es consistente, si ZF lo es.

También es consistente con ZF + DC que todo conjunto de números reales sea medible según Lebesgue , pero este resultado de consistencia, debido a Robert M. Solovay , no puede probarse en ZFC mismo, sino que requiere una suposición de cardinal grande leve (la existencia de un cardinal inaccesible ). El axioma de determinatividad mucho más fuerte , o AD, implica que todo conjunto de números reales es medible según Lebesgue, tiene la propiedad de Baire y tiene la propiedad de conjunto perfecto (estos tres resultados son refutados por AC mismo). ZF + DC + AD es consistente siempre que un axioma de cardinal grande suficientemente fuerte sea consistente (la existencia de infinitos cardinales de Woodin ).

El sistema de teoría axiomática de conjuntos de Quine , New Foundations (NF), toma su nombre del título ("New Foundations for Mathematical Logic") del artículo de 1937 que lo introdujo. En el sistema axiomático NF, el axioma de elección puede refutarse. ^{[ 40 ]}

Existen modelos de la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel en los que el axioma de elección es falso. Abreviaremos "teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel más la negación del axioma de elección" como ZF¬C. Para ciertos modelos de ZF¬C, es posible validar la negación de algunos teoremas estándar de ZFC. Dado que cualquier modelo de ZF¬C es también un modelo de ZF, para cada una de las siguientes afirmaciones existe un modelo de ZF en el que dicha afirmación es verdadera.

• La negación del principio de partición débil : Existe un conjunto que puede particionarse en más clases de equivalencia que elementos tiene el conjunto original, y una función cuyo dominio es estrictamente menor que su rango. De hecho, esto se cumple en todos los modelos conocidos .
• Existe una función f de los números reales a los números reales tal que f no es continua en a , pero f es secuencialmente continua en a , es decir, para cualquier secuencia { x _n } que converge a a , lim _n f( x _n )=f(a).
• Existe un conjunto infinito de números reales sin un subconjunto infinito numerable.
• Los números reales son una unión numerable de conjuntos numerables. ^{[ 41 ]} Esto no implica que los números reales sean numerables: como se señaló anteriormente, para demostrar que una unión numerable de conjuntos numerables es en sí misma numerable se requiere el axioma de elección numerable .
• Existe un cuerpo sin clausura algebraica.
• Existe un cuerpo con dos clausuras algebraicas no isomorfas.
• En todos los modelos de ZF¬C existe un espacio vectorial sin base.
• Existe un espacio vectorial con dos bases de cardinalidades diferentes.
• Existe un álgebra booleana completa y libre sobre una cantidad numerable de generadores. ^{[ 42 ]}
• Existe un conjunto que no puede ordenarse linealmente .
• Existe un modelo de ZFC en el que todo conjunto en R ⁿ es medible . Por lo tanto, es posible excluir resultados contraintuitivos como la paradoja de Banach-Tarski , que son demostrables en ZFC. Además, esto es posible asumiendo el Axioma de elección dependiente , que es más débil que el AC pero suficiente para desarrollar la mayor parte del análisis real .
• En todos los modelos de ZF¬C, la hipótesis del continuo generalizado no se cumple.

Para ver las demostraciones, consulte Jech (2008) .

Además, al imponer condiciones de definibilidad a los conjuntos (en el sentido de la teoría descriptiva de conjuntos ), a menudo se pueden demostrar versiones restringidas del axioma de elección a partir de axiomas incompatibles con la elección general. Esto aparece, por ejemplo, en el lema de codificación de Moschovakis .

En la teoría de tipos , existe un tipo diferente de enunciado conocido como axioma de elección. Esta formulación comienza con dos tipos, σ y τ, y una relación R entre objetos de tipo σ y objetos de tipo τ. El axioma de elección establece que si para cada x de tipo σ existe un y de tipo τ tal que R ( x , y ), entonces existe una función f de objetos de tipo σ a objetos de tipo τ tal que R ( x , f ( x )) se cumple para todo x de tipo σ:

$${\displaystyle (\forall x^{\sigma })(\exists y^{\tau })R(x,y)\to (\exists f^{\sigma \to \tau })(\forall x^{\sigma })R(x,f(x)).}$$

A diferencia de la teoría de conjuntos, el axioma de elección en la teoría de tipos se suele enunciar como un esquema axiomático , en el que R varía sobre todas las fórmulas o sobre todas las fórmulas de una forma lógica particular.

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Traducido en: Jean van Heijenoort , 2002. De Frege a Gödel: Un libro de referencia en lógica matemática, 1879-1931 . Nueva edición. Harvard University Press . ISBN 0-674-32449-8

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• Consecuencias del axioma de elección Archivado el 15 de mayo de 2021 en Wayback Machine , basado en el libro de Paul Howard Archivado el 26 de febrero de 2021 en Wayback Machine y Jean Rubin.
• Entrada "El axioma de la elección"Por John Lane Bell en la Enciclopedia de Filosofía de Stanford .