Propiedad perfectamente ubicada

En el campo matemático de la teoría descriptiva de conjuntos , un subconjunto de un espacio polaco posee la propiedad de conjunto perfecto si es numerable o si tiene un subconjunto perfecto no vacío (Kechris 1995, p. 150). Cabe señalar que poseer la propiedad de conjunto perfecto no es lo mismo que ser un conjunto perfecto .  

Como los conjuntos perfectos no vacíos en un espacio polaco siempre tienen la cardinalidad del continuo , y los números reales forman un espacio polaco, un conjunto de números reales con la propiedad de conjunto perfecto no puede ser un contraejemplo a la hipótesis del continuo , enunciada de la forma en que todo conjunto no numerable de números reales tiene la cardinalidad del continuo.

El teorema de Cantor-Bendixson establece que los conjuntos cerrados de un espacio polaco X poseen la propiedad de conjunto perfecto en una forma particularmente fuerte: cualquier subconjunto cerrado de X puede escribirse de forma única como la unión disjunta de un conjunto perfecto y un conjunto numerable. En particular, todo espacio polaco no numerable posee la propiedad de conjunto perfecto y puede escribirse como la unión disjunta de un conjunto perfecto y un conjunto abierto numerable .

Como consecuencia, si un subconjunto${\displaystyle S\subset X}$de un espacio polaco${\displaystyle X}$es tal que sus conjuntos derivados eventualmente alcanzan el conjunto vacío, es decir,${\displaystyle S^{(\alpha )}=\emptyset }$para algún ordinal${\displaystyle \alpha }$, entonces${\displaystyle S}$es contable.

El axioma de elección implica la existencia de conjuntos de números reales que no poseen la propiedad de conjunto perfecto, como los conjuntos de Bernstein . Sin embargo, en el modelo de Solovay , que satisface todos los axiomas de ZF pero no el axioma de elección, todo conjunto de números reales posee la propiedad de conjunto perfecto, por lo que el uso del axioma de elección es necesario. Todo conjunto analítico posee la propiedad de conjunto perfecto. De la existencia de cardinales suficientemente grandes se deduce que todo conjunto proyectivo posee la propiedad de conjunto perfecto.

Dejar${\displaystyle \omega _{1}}$sea ​​el ordinal no contable más pequeño . En un análogo del espacio de Baire derivado del${\displaystyle \omega _{1}}$-producto cartesiano plegado de${\displaystyle \omega _{1}}$Consigo mismo, cualquier conjunto cerrado es la unión disjunta de un${\displaystyle \omega _{1}}$-conjunto perfecto y un conjunto de cardinalidad${\displaystyle \leq \aleph _{1}}$, dónde${\displaystyle \omega _{1}}$-La cerrazón de un conjunto se define mediante un juego topológico en el que los miembros de${\displaystyle \omega _ {1}^{\ omega _ {1}}}$se juegan. ^{[ 1 ]}

• Kechris, Alexander S. (1995), Teoría clásica descriptiva de conjuntos , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-1-4612-8692-9