Modelo de permutación

En la teoría matemática de conjuntos , un modelo de permutación es un modelo de teoría de conjuntos con átomos (ZFA) construido utilizando un grupo de permutaciones de los átomos. Un modelo simétrico es similar excepto que es un modelo de ZF (sin átomos) y se construye utilizando un grupo de permutaciones de un poset forzante . Una aplicación es mostrar la independencia del axioma de elección de los demás axiomas de ZFA o ZF. Los modelos de permutación fueron introducidos por Fraenkel ( 1922 ) y desarrollados posteriormente por Mostowski ( 1938 ) . Los modelos simétricos fueron introducidos por Paul Cohen .  

Supongamos que A es un conjunto de átomos y G es un grupo de permutaciones de A. Un filtro normal de G es una colección F de subgrupos de G tales que

• G está en F
• La intersección de dos elementos de F está en F.
• Cualquier subgrupo que contenga un elemento de F está en F.
• Cualquier conjugado de un elemento de F está en F.
• El subgrupo que fija cualquier elemento de A está en F.

Si V es un modelo de ZFA con A como conjunto de átomos, entonces un elemento de V se denomina simétrico si el subgrupo que lo define pertenece a F , y se denomina simétrico hereditario si tanto él como todos los elementos de su clausura transitiva son simétricos. El modelo de permutación consta de todos los elementos simétricos hereditarios y es un modelo de ZFA.

Un filtro sobre un grupo puede construirse a partir de un ideal invariante del álgebra booleana de subconjuntos de A que contienen todos los elementos de A. Aquí, un ideal es una colección I de subconjuntos de A cerrada bajo uniones finitas y subconjuntos, y se llama invariante si es invariante bajo la acción del grupo G. Para cada elemento S del ideal se puede tomar el subgrupo de G que consta de todos los elementos que fijan cada elemento S. Estos subgrupos generan un filtro normal de G.

• Fraenkel, A. (1922), "Der Begriff "definit" und die Unabhängigkeit des Auswahlaxioms", Sitzungsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften : 253– 257, JFM 48.0199.02 
• Mostowski, Andrzej (1938), "Über den Begriff einer Endlichen Menge", Comptes Rendus des Séances de la Société des Sciences et des Lettres de Varsovie, Classe III , 31 (8): 13– 20