Paridad de cero

Dado un conjunto de objetos, se utiliza un número para describir cuántos objetos hay en el conjunto. Cero representa la ausencia de objetos ; en términos más formales, es el número de objetos en el conjunto vacío . El concepto de paridad se utiliza para formar grupos de dos objetos. Si los objetos de un conjunto se pueden agrupar de dos en dos, sin que sobre ninguno, entonces el número de objetos es par. Si sobra algún objeto, entonces el número de objetos es impar. El conjunto vacío contiene cero grupos de dos, y no sobra ningún objeto de esta agrupación, por lo que cero es par. ^{[ 5 ]}

Estas ideas se pueden ilustrar dibujando objetos en pares. Es difícil representar grupos de dos sin objetos, o enfatizar la ausencia de un objeto sobrante, por lo que resulta útil dibujar otras agrupaciones y compararlas con cero. Por ejemplo, en el grupo de cinco objetos, hay dos pares. Más importante aún, hay un objeto sobrante, por lo que 5 es impar. En el grupo de cuatro objetos, no hay ningún objeto sobrante, por lo que 4 es par. En el grupo de un solo objeto, no hay pares y hay un objeto sobrante, por lo que 1 es impar. En el grupo de cero objetos, no hay ningún objeto sobrante, por lo que 0 es par. ^{[ 6 ]}

Existe otra definición concreta de paridad: si los objetos de un conjunto se pueden colocar en dos grupos de igual tamaño, entonces el número de objetos es par. Esta definición es equivalente a la primera. Nuevamente, cero es par porque el conjunto vacío se puede dividir en dos grupos de cero elementos cada uno. ^{[ 7 ]}

Los números también pueden visualizarse como puntos en una recta numérica . Cuando se distinguen los números pares de los impares, su patrón se hace evidente, especialmente si se incluyen los números negativos:

Los números pares e impares se alternan. Partiendo de cualquier número par, contando de dos en dos hacia arriba o hacia abajo se llega a los demás números pares, y no hay razón para saltarse el cero. ^{[ 8 ]}

Con la introducción de la multiplicación , la paridad puede abordarse de manera más formal mediante expresiones aritméticas. Cada número entero es de la forma (2 × ▢) + 0 o (2 × ▢) + 1; los primeros son pares y los segundos impares. Por ejemplo, 1 es impar porque 1 = (2 × 0) + 1, y 0 es par porque 0 = (2 × 0) + 0. Al crear una tabla con estos datos, se refuerza la representación en la recta numérica anterior. ^{[ 9 ]}

La definición precisa de un término matemático, como "par" que significa "múltiplo entero de dos", es en última instancia una convención . A diferencia de "par", algunos términos matemáticos se construyen deliberadamente para excluir casos triviales o degenerados . Los números primos son un ejemplo famoso. Antes del siglo XX, las definiciones de primalidad eran inconsistentes, y matemáticos importantes como Goldbach , Lambert , Legendre , Cayley y Kronecker escribieron que 1 era primo. ^{[ 10 ]} La definición moderna de "número primo" es "entero positivo con exactamente 2 factores ", por lo que 1 no es primo. Esta definición se puede justificar observando que se ajusta más naturalmente a los teoremas matemáticos que conciernen a los primos. Por ejemplo, el teorema fundamental de la aritmética es más fácil de enunciar cuando 1 no se considera primo. ^{[ 11 ]}

Sería posible redefinir de manera similar el término "par" de modo que ya no incluya el cero. Sin embargo, en este caso, la nueva definición dificultaría la formulación de teoremas sobre los números pares. El efecto ya se puede observar en las reglas algebraicas que rigen los números pares e impares . ^{[ 12 ]} Las reglas más relevantes se refieren a la suma , la resta y la multiplicación :

par ± par = par

impar ± impar = par

par × entero = par

Al insertar los valores apropiados en los lados izquierdos de estas reglas, se puede obtener 0 en los lados derechos:

2 − 2 = 0

−3 + 3 = 0

4 × 0 = 0

Por lo tanto, las reglas anteriores serían incorrectas si el cero no fuera par. ^{[ 12 ]} En el mejor de los casos, habría que modificarlas. Por ejemplo, una guía de estudio para exámenes afirma que los números pares se caracterizan como múltiplos enteros de dos, pero el cero "no es ni par ni impar". ^{[ 13 ]} En consecuencia, las reglas de la guía para números pares e impares contienen excepciones:

par ± par = par (o cero)

impar ± impar = par (o cero)

par × entero distinto de cero = par ^{[ 13 ]}

Hacer una excepción para el cero en la definición de paridad obliga a hacer tales excepciones en las reglas para los números pares. Desde otra perspectiva, tomar las reglas que obedecen los números pares positivos y exigir que sigan siendo válidas para los enteros impone la definición usual y la paridad del cero. ^{[ 12 ]}

Un número n es impar si existe un entero k tal que n = 2k + 1. Una forma de demostrar que cero no es impar es por contradicción : si 0 = 2k + 1, entonces k = −1/2 , que no es un entero. ^{[ 15 ]} Dado que cero no es impar, si se demuestra que un número desconocido es impar, entonces no puede ser cero. Esta observación aparentemente trivial puede proporcionar una demostración conveniente y reveladora que explica por qué un número impar es distinto de cero.

Un resultado clásico de la teoría de grafos afirma que un grafo de orden impar (con un número impar de vértices) siempre tiene al menos un vértice de grado par . (La afirmación en sí requiere que cero sea par: el grafo vacío tiene un orden par y un vértice aislado tiene un grado par). ^{[ 16 ]} Para demostrar la afirmación, en realidad es más fácil demostrar un resultado más fuerte: cualquier grafo de orden impar tiene un número impar de vértices de grado par. La aparición de este número impar se explica por un resultado aún más general, conocido como el lema del apretón de manos : cualquier grafo tiene un número par de vértices de grado impar. ^{[ 17 ]} Finalmente, el número par de vértices impares se explica naturalmente por la fórmula de la suma de grados .

El lema de Sperner es una aplicación más avanzada de la misma estrategia. El lema afirma que un cierto tipo de coloración en una triangulación de un simplex tiene un subsímplex que contiene todos los colores. En lugar de construir directamente dicho subsímplex, es más conveniente demostrar que existe un número impar de tales subsímplexes mediante un argumento de inducción . ^{[ 18 ]} Una formulación más fuerte del lema explica entonces por qué este número es impar: se descompone naturalmente como ( n + 1) + n cuando se consideran las dos posibles orientaciones de un simplex. ^{[ 19 ]}

El hecho de que el cero sea par, junto con el hecho de que los números pares e impares se alternan, es suficiente para determinar la paridad de cualquier otro número natural . Esta idea puede formalizarse en una definición recursiva del conjunto de números naturales pares:

• 0 es par.
• ( n + 1) es par si y solo si n no es par.

Esta definición tiene la ventaja conceptual de basarse únicamente en los fundamentos mínimos de los números naturales: la existencia de 0 y de sucesores . Por ello, resulta útil para sistemas de lógica computacional como LF y el demostrador de teoremas Isabelle . ^{[ 20 ]} Con esta definición, la paridad del cero no es un teorema, sino un axioma. De hecho, «el cero es un número par» puede interpretarse como uno de los axiomas de Peano , de los cuales los números naturales pares son un modelo. ^{[ 21 ]} Una construcción similar extiende la definición de paridad a los números ordinales transfinitos : todo ordinal límite es par, incluido el cero, y los sucesores de los ordinales pares son impares. ^{[ 22 ]}

La prueba clásica de punto dentro de un polígono de la geometría computacional aplica las ideas anteriores. Para determinar si un punto se encuentra dentro de un polígono , se lanza un rayo desde el infinito hasta el punto y se cuenta el número de veces que el rayo cruza el borde del polígono. El número de cruces es par si y solo si el punto está fuera del polígono. Este algoritmo funciona porque si el rayo nunca cruza el polígono, entonces su número de cruces es cero, que es par, y el punto está fuera. Cada vez que el rayo cruza el polígono, el número de cruces alterna entre par e impar, y el punto en su extremo alterna entre fuera y dentro. ^{[ 23 ]}

En teoría de grafos, un grafo bipartito es un grafo cuyos vértices se dividen en dos colores , de manera que los vértices vecinos tienen colores diferentes. Si un grafo conexo no tiene ciclos impares , se puede construir una bipartición eligiendo un vértice base v y coloreando cada vértice de negro o blanco, según si su distancia a v es par o impar. Dado que la distancia entre v y sí mismo es 0, y 0 es par, el vértice base se colorea de forma diferente a sus vecinos, que se encuentran a una distancia de 1. ^{[ 24 ]}

En álgebra abstracta , los enteros pares forman diversas estructuras algebraicas que requieren la inclusión del cero. El hecho de que la identidad aditiva (cero) sea par, junto con la paridad de las sumas y los inversos aditivos de los números pares y la asociatividad de la suma, significa que los enteros pares forman un grupo . Además, el grupo de los enteros pares bajo la suma es un subgrupo del grupo de todos los enteros; este es un ejemplo elemental del concepto de subgrupo. ^{[ 16 ]} La observación anterior de que la regla "par − par = par" obliga a que el 0 sea par forma parte de un patrón general: cualquier subconjunto no vacío de un grupo aditivo que sea cerrado bajo la resta debe ser un subgrupo y, en particular, debe contener la identidad . ^{[ 25 ]}

Dado que los enteros pares forman un subgrupo de los enteros, los dividen en clases laterales . Estas clases laterales pueden describirse como las clases de equivalencia de la siguiente relación de equivalencia : x ~ y si ( x − y ) es par. Aquí, la paridad del cero se manifiesta directamente como la reflexividad de la relación binaria ~. ^{[ 26 ]} Solo hay dos clases laterales de este subgrupo: los números pares e impares, por lo que tiene índice 2.

De forma análoga, el grupo alternante es un subgrupo de índice 2 en el grupo simétrico de n letras. Los elementos del grupo alternante, llamados permutaciones pares , son productos de un número par de transposiciones . La aplicación identidad , un producto vacío de ninguna transposición, es una permutación par, ya que cero es par; es el elemento identidad del grupo. ^{[ 27 ]}

La regla "par × entero = par" significa que los números pares forman un ideal en el anillo de los enteros, y la relación de equivalencia anterior puede describirse como equivalencia módulo este ideal . En particular, los enteros pares son precisamente aquellos enteros k donde k ≡ 0 (mod 2). Esta formulación es útil para investigar las raíces enteras de los polinomios . ^{[ 28 ]}

En cierto sentido, algunos múltiplos de 2 son más pares que otros. Los múltiplos de 4 se denominan doblemente pares , ya que se pueden dividir por 2 dos veces. El cero no solo es divisible por 4, sino que además tiene la propiedad única de ser divisible por cualquier potencia de 2 , por lo que supera a todos los demás números en cuanto a paridad. ^{[ 1 ]}

Una consecuencia de este hecho se manifiesta en el orden de bits invertidos de los tipos de datos enteros utilizados por algunos algoritmos informáticos, como la transformada rápida de Fourier de Cooley-Tukey . Este orden tiene la propiedad de que cuanto más a la izquierda aparezca el primer 1 en la expansión binaria de un número , o cuantas más veces sea divisible por 2, antes aparecerá. La inversión de bits del cero sigue siendo cero; puede ser divisible por 2 cualquier número de veces, y su expansión binaria no contiene ningún 1, por lo que siempre aparece primero. ^{[ 29 ]}

Aunque el 0 es divisible por 2 más veces que cualquier otro número, no es sencillo cuantificar con exactitud cuántas veces es. Para cualquier entero distinto de cero n , se puede definir el orden 2-ádico de n como el número de veces que n es divisible por 2. Esta descripción no funciona para el 0; no importa cuántas veces se divida por 2, siempre se puede volver a dividir por 2. En cambio, la convención habitual es establecer el orden 2 de 0 como infinito como un caso especial. ^{[ 30 ]} Esta convención no es exclusiva del orden 2; es uno de los axiomas de una valuación aditiva en álgebra superior. ^{[ 31 ]}

Las potencias de dos —1, 2, 4, 8, ...— forman una secuencia simple de números de orden 2 creciente. En los números 2-ádicos , dichas secuencias convergen a cero. ^{[ 32 ]}

El gráfico de la derecha ^{[ 33 ]} muestra las creencias de los niños acerca de la paridad del cero, a medida que avanzan desde el Año 1 (5-6 años) hasta el Año 6 (10-11 años) del sistema educativo inglés . Los datos provienen de Len Frobisher, quien realizó dos encuestas a escolares ingleses. Frobisher estaba interesado en cómo el conocimiento de la paridad de un dígito se traduce en conocimiento de la paridad de varios dígitos, y el cero figura prominentemente en los resultados. ^{[ 35 ]}

En una encuesta preliminar de casi 400 niños de siete años, el 45% eligió par sobre impar cuando se les preguntó sobre la paridad del cero. ^{[ 36 ]} Una investigación de seguimiento ofreció más opciones: ninguno , ambos y no sé . Esta vez, el número de niños en el mismo rango de edad que identificaron el cero como par se redujo al 32%. ^{[ 37 ]} El éxito al decidir que el cero es par aumenta inicialmente y luego se estabiliza en alrededor del 50% en los años 3 a 6. ^{[ 38 ]} En comparación, la tarea más fácil, identificar la paridad de un solo dígito, se estabiliza en aproximadamente el 85% de éxito. ^{[ 39 ]}

En las entrevistas, Frobisher indagó sobre el razonamiento de los estudiantes. Un alumno de quinto año decidió que el 0 era par porque se encontraba en la tabla del 2. Un par de alumnos de cuarto año se dieron cuenta de que el cero se puede dividir en partes iguales. Otro alumno de cuarto año razonó: "El 1 es impar y si voy hacia abajo es par". ^{[ 40 ]} Las entrevistas también revelaron las ideas erróneas detrás de las respuestas incorrectas. Un alumno de segundo año estaba "bastante convencido" de que el cero era impar, basándose en que "es el primer número que cuentas". ^{[ 41 ]} Un alumno de cuarto año se refería al 0 como "ninguno" y pensaba que no era ni impar ni par, ya que "no es un número". ^{[ 42 ]} En otro estudio, Annie Keith observó una clase de 15 alumnos de segundo grado que se convencieron mutuamente de que el cero era un número par basándose en la alternancia par-impar y en la posibilidad de dividir un grupo de cero cosas en dos grupos iguales. ^{[ 43 ]}

Esther Levenson, Pessia Tsamir y Dina Tirosh llevaron a cabo investigaciones más exhaustivas, entrevistando a dos estudiantes de sexto grado en Estados Unidos con un excelente rendimiento en matemáticas. Un estudiante prefería las explicaciones deductivas de los enunciados matemáticos, mientras que el otro prefería los ejemplos prácticos. Ambos estudiantes inicialmente pensaban que el 0 no era ni par ni impar, por diferentes razones. Levenson et al. demostraron cómo el razonamiento de los estudiantes reflejaba sus conceptos de cero y división. ^{[ 44 ]}

Deborah Loewenberg Ball analizó las ideas de estudiantes estadounidenses de tercer grado sobre los números pares e impares y el cero, que acababan de discutir con un grupo de alumnos de cuarto grado. Los estudiantes hablaron sobre la paridad del cero, las reglas para los números pares y cómo se hacen las matemáticas. Las afirmaciones sobre el cero adoptaron diversas formas, como se observa en la lista de la derecha. ^{[ 45 ]} Ball y sus coautores argumentaron que el episodio demostraba cómo los estudiantes pueden "hacer matemáticas en la escuela", en contraposición a la habitual reducción de la disciplina a la solución mecánica de ejercicios. ^{[ 46 ]}

Uno de los temas recurrentes en la literatura de investigación es la tensión entre las imágenes conceptuales de paridad de los estudiantes y sus definiciones conceptuales. ^{[ 47 ]} Los alumnos de sexto grado de Levenson et al. definieron los números pares como múltiplos de 2 o números divisibles por 2, pero inicialmente no pudieron aplicar esta definición al cero, ya que desconocían cómo multiplicar o dividir cero por 2. El entrevistador finalmente los llevó a concluir que el cero era par; los estudiantes llegaron a esta conclusión por diferentes caminos, recurriendo a una combinación de imágenes, definiciones, explicaciones prácticas y explicaciones abstractas. En otro estudio, David Dickerson y Damien Pitman examinaron el uso de definiciones por parte de cinco estudiantes universitarios avanzados de matemáticas . Descubrieron que los estudiantes universitarios pudieron aplicar en gran medida la definición de "par" al cero, pero aún no estaban convencidos por este razonamiento, ya que entraba en conflicto con sus imágenes conceptuales. ^{[ 48 ]}

Investigadores de educación matemática de la Universidad de Michigan incluyeron la pregunta de verdadero o falso "0 es un número par" en una base de datos de más de 250 preguntas diseñadas para medir el conocimiento de los docentes sobre el contenido. Para ellos, la pregunta ejemplifica el "conocimiento común... que todo adulto bien educado debería tener" y es "ideológicamente neutral" ya que la respuesta no varía entre las matemáticas tradicionales y las reformadas . En un estudio realizado entre 2000 y 2004 con 700 maestros de primaria en Estados Unidos , el desempeño general en estas preguntas predijo significativamente mejoras en las puntuaciones de las pruebas estandarizadas de los estudiantes después de tomar las clases de los maestros. ^{[ 49 ]} En un estudio más exhaustivo de 2008  , los investigadores encontraron una escuela donde todos los maestros pensaban que el cero no era ni impar ni par, incluyendo un maestro que era ejemplar en todas las demás medidas. La idea errónea había sido difundida por un asesor de matemáticas en su escuela. ^{[ 50 ]}

Se desconoce cuántos maestros tienen ideas erróneas sobre el cero. Los estudios de Michigan no publicaron datos para preguntas individuales. Betty Lichtenberg, profesora asociada de educación matemática en la Universidad del Sur de Florida , informó en un estudio de 1972 que cuando a un grupo de futuros maestros de primaria se les administró una prueba de verdadero o falso que incluía el ítem "El cero es un número par", la encontraron una "pregunta capciosa", y aproximadamente dos tercios respondieron "Falso". ^{[ 51 ]}

Matemáticamente, demostrar que cero es par es tan sencillo como aplicar una definición, pero se necesita una explicación más detallada en el contexto educativo. Un problema radica en los fundamentos de la demostración; la definición de "par" como "múltiplo entero de 2" no siempre es apropiada. Un alumno de los primeros años de primaria puede que aún no haya aprendido qué significan "entero" o "múltiplo", y mucho menos cómo multiplicar por 0. ^{[ 52 ]} Además, enunciar una definición de paridad para todos los enteros puede parecer un atajo conceptual arbitrario si los únicos números pares investigados hasta ahora han sido positivos. Puede ser útil reconocer que, a medida que el concepto de número se extiende de los enteros positivos a incluir el cero y los enteros negativos, las propiedades numéricas como la paridad también se extienden de manera no trivial. ^{[ 53 ]}