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supergravedad de tipo IIB

En supersimetría , la supergravedad de tipo IIB es la única supergravedad en diez dimensiones con dos supercargas de la misma quiralidad . Fue construida por primera vez en 1983...

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En supersimetría , la supergravedad de tipo IIB es la única supergravedad en diez dimensiones con dos supercargas de la misma quiralidad . Fue construida por primera vez en 1983 por John Schwarz e independientemente por Paul Howe y Peter West a nivel de sus ecuaciones de movimiento . [ 1 ] [ 2 ] Si bien no admite una acción completamente covariante debido a la presencia de un campo autodual , puede describirse mediante una acción si la condición de autodualidad se impone manualmente en las ecuaciones de movimiento resultantes. Los otros tipos de supergravedad en diez dimensiones son la supergravedad de tipo IIA , que tiene dos supercargas de quiralidad opuesta, y la supergravedad de tipo I , que tiene una sola supercarga. La teoría juega un papel importante en la física moderna ya que es el límite de baja energía de la teoría de cuerdas de tipo IIB .

Historia

Después de que se descubrió la supergravedad en 1976, hubo un esfuerzo concentrado para construir las diversas supergravedades posibles que fueron clasificadas en 1978 por Werner Nahm . [ 3 ] Él demostró que existen tres tipos de supergravedad en diez dimensiones, más tarde denominados tipo I, tipo IIA y tipo IIB. [ 4 ] Si bien tanto el tipo I como el tipo IIA pueden realizarse a nivel de la acción , el tipo IIB no admite una acción covariante. En cambio, fue descrito por primera vez completamente a través de sus ecuaciones de movimiento, derivadas en 1983 por John Schwartz, [ 1 ] e independientemente por Paul Howe y Peter West. [ 2 ] En 1995 se comprendió que se puede describir de manera efectiva la teoría usando una pseudoacción donde la condición de autodualidad se impone como una restricción adicional en las ecuaciones de movimiento. [ 5 ] La principal aplicación de la teoría es como límite de baja energía de cuerdas de tipo IIB, y por lo tanto juega un papel importante en la teoría de cuerdas , la estabilización de módulos de tipo IIB y la correspondencia AdS/CFT .

Teoría

La supergravedad de diez dimensiones admite ambasnorte=1{\displaystyle {\mathcal {N}}=1}ynorte=2{\displaystyle {\mathcal {N}}=2}supergravedades, que difieren por el número de supercargas de espinores de Majorana - Weyl que poseen. La teoría de tipo IIB tiene dos supercargas de la misma quiralidad, equivalentes a una única supercarga de Weyl, y a veces se la denomina de diez dimensiones.norte=(2,0){\displaystyle {\mathcal {N}}=(2,0)}supergravedad. [ nb 1 ] El contenido de campo de esta teoría viene dado por la de diez dimensionesnorte=2{\displaystyle {\mathcal {N}}=2}supermultiplete quiral(gramoμν,B,do4,do2,do0,ψμ,λ,ϕ){\displaystyle (g_{\mu \nu },B,C_{4},C_{2},C_{0},\psi _{\mu },\lambda,\phi )}. [ 6 ] Aquígramoμν{\displaystyle g_{\mu \nu }}es la métrica correspondiente al gravitón , mientras quedopag{\displaystyle C_{p}}son campos de calibre de 4 formas, 2 formas y 0 formas . Mientras tanto,B{\displaystyle B}es el campo Kalb-Ramond yϕ{\displaystyle \phi }es el dilatón . [ 7 ] : 313 También hay un único gravitino de Weyl zurdo.ψμ{\displaystyle \psi _{\mu }}, equivalente a dos gravitinos de Majorana-Weyl levógiros y un único fermión de Weyl dextrógiroλ{\displaystyle \lambda }, también equivalente a dos fermiones de Majorana-Weyl diestros. [ 8 ] : 271 La teoría sí admite una constante cosmológica . [ 9 ]

Álgebra

La superálgebra para diez dimensionesnorte=(2,0){\displaystyle {\mathcal {N}}=(2,0)}La supersimetría viene dada por [ 10 ]

{Qαi,Qβj}=δij(PAGγμdo)αβPAGμ+(PAGγμdo)αβZ~μij+ϵij(PAGγμνρdo)αβZμνρ{\displaystyle \{Q_{\alpha }^{i},Q_{\beta }^{j}\}=\delta ^{ij}(P\gamma ^{\mu }C)_{\alpha \beta }P_{\mu }+(P\gamma ^{\mu }C)_{\alpha \beta }{\tilde {Z}}_{\mu }^{ij}+\epsilon ^{ij}(P\gamma ^{\mu \nu \rho }C)_{\alpha \beta }Z_{\mu \nu \rho }}
                 +δij(PAGγμνρσδdo)αβZμνρσδ+(PAGγμνρσδdo)αβ(Z~)μνρσδij.{\displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ +\delta ^{ij}(P\gamma ^{\mu \nu \rho \sigma \delta }C)_{\alpha \beta }Z_{\mu \nu \rho \sigma \delta }+(P\gamma ^{\mu \nu \rho \sigma \delta }C)_{\alpha \beta }({\tilde {Z}})_{\mu \nu \rho \sigma \delta }^{ij}.}

AquíQαi{\displaystyle Q_{\alpha }^{i}}coni=1,2{\displaystyle i=1,2}son las dos supercargas de Majorana-Weyl de la misma quiralidad. Por lo tanto, satisfacen la relación de proyección.PAGQαi=Qαi{\displaystyle PQ_{\alpha }^{i}=Q_{\alpha }^{i}}dóndePAG=12(1−γ∗){\displaystyle P={\tfrac {1}{2}}(1-\gamma _{*})}es el operador de proyección de quiralidad zurdo yγ∗{\displaystyle \gamma _{*}}es la matriz de quiralidad de diez dimensiones .

Elij{\displaystyle ij}Las matrices permitidas en el lado derecho están fijadas por el hecho de que deben ser representaciones de laENTONCES(2){\displaystyle {\text{SO}}(2)}Grupo de simetría R de la teoría de tipo IIB, [ 11 ] : 240 que solo permiteδij{\displaystyle \delta ^{ij}},ϵij{\displaystyle \epsilon ^{ij}}y matrices simétricas sin trazaZij{\displaystyle Z^{ij}}. Dado que el anticonmutador es simétrico bajo un intercambio del espinor yi,j{\displaystyle i,j}índices, la superálgebra máximamente extendida solo puede tener términos con la misma quiralidad y propiedad de simetría que el anticonmutador. Por lo tanto, los términos son un producto de uno de losij{\displaystyle ij}matrices conPAGγμ1⋯μpagdo{\displaystyle P\gamma ^{\mu _{1}\cdots \mu _{p}}C}, dóndedo{\displaystyle C}es el operador de conjugación de carga . En particular, cuando la matriz espinorial es simétrica, multiplicaZ~ij{\displaystyle {\tilde {Z}}^{ij}}oδij{\displaystyle \delta ^{ij}}mientras que cuando es antisimétrico se multiplicaϵij{\displaystyle \epsilon ^{ij}}En diez dimensionesγμ1⋯μpagdo{\displaystyle \gamma ^{\mu _{1}\cdots \mu _{p}}C}es simétrico parapag=1,2{\displaystyle p=1,2}módulo4{\displaystyle 4}y antisimétrico parapag=3,0{\displaystyle p=3,0}módulo4{\displaystyle 4}. [ 11 ] : 47–48 Dado que el operador de proyecciónPAG{\displaystyle P}es una suma de la matriz identidad y una matriz gamma , esto significa que la combinación simétrica funciona cuandopag=1{\displaystyle p=1}módulo4{\displaystyle 4}y la antisimétrica cuandopag=3{\displaystyle p=3}módulo4{\displaystyle 4}. Esto produce todas las cargas centrales encontradas en la superálgebra hasta la dualidad de Poincaré .

Cada una de las cargas centrales está asociada a varios estados BPS que se encuentran en la teoría.Z~ij{\displaystyle {\tilde {Z}}^{ij}}Las cargas centrales corresponden a la cuerda fundamental y a la brana D1 ,Zμνρ{\displaystyle Z_{\mu \nu \rho }}está asociada con la brana D3, mientras queZμνρσδ{\displaystyle Z_{\mu \nu \rho \sigma \delta }}yZ~μνρσδij{\displaystyle {\tilde {Z}}_{\mu \nu \rho \sigma \delta }^{ij}}dar tres cargas de 5-formas. [ 10 ] Una es la D5-brana, otra la NS5-brana y la última está asociada con el monopolo KK .

Campo autodual

Para que el multiplete de supergravedad tenga un número igual de grados de libertad bosónicos y fermiónicos , la forma cuádrupledo4{\displaystyle C_{4}}tiene que tener 35 grados de libertad. [ 8 ] : 271 Esto se logra cuando el tensor de intensidad de campo correspondiente es autodual⋆F~5=F~5{\displaystyle \star {\tilde {F}}_{5}={\tilde {F}}_{5}}, eliminando la mitad de los grados de libertad que de otro modo se encontrarían en un campo de calibre de 4 formas.

Esto presenta un problema al construir una acción, ya que el término cinético para el campo de 5-formas autodual se desvanece. [ nb 2 ] La forma original de sortear esto era trabajar solo a nivel de las ecuaciones de movimiento, donde la autodualidad es simplemente otra ecuación de movimiento. Si bien es posible formular una acción covariante con los grados de libertad correctos introduciendo un campo auxiliar y una simetría de calibre compensatoria , [ 13 ] el enfoque más común es trabajar con una pseudoacción donde la autodualidad se impone como una restricción adicional en las ecuaciones de movimiento. [ 5 ] Sin esta restricción, la acción no puede ser supersimétrica, ya que no tiene un número igual de grados de libertad fermiónicos y bosónicos. A diferencia de la supergravedad de tipo IIA, la supergravedad de tipo IIB no se puede adquirir como una reducción dimensional de una teoría en dimensiones superiores. [ 14 ]

Pseudoacción

La parte bosónica de la pseudoacción para la supergravedad de tipo IIB viene dada por [ 15 ] : 114

SIIB,bosónico=12κ2∫d10incógnita−gramomi−2ϕ[R+4∂μϕ∂μϕ−12|H|2]{\displaystyle S_{IIB,{\text{bosonic}}}={\frac {1}{2\kappa ^{2}}}\int d^{10}x{\sqrt {-g}}e^{-2\phi }{\bigg [}R+4\partial _{\mu }\phi \partial ^{\mu }\phi -{\frac {1}{2}}|H|^{2}{\bigg ]}}
                  −14κ2∫d10incógnita−gramo[|F1|2+|F~3|2+12|F~5|2]−14κ2∫do4∧H∧F3.{\displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ -{\frac {1}{4\kappa ^{2}}}\int d^{10}x{\sqrt {-g}}{\big [}|F_{1}|^{2}+|{\tilde {F}}_{3}|^{2}+{\tfrac {1}{2}}|{\tilde {F}}_{5}|^{2}{\big ]}-{\frac {1}{4\kappa ^{2}}}\int C_{4}\wedge H\wedge F_{3}.}

AquíF~3=F3−do0∧H{\displaystyle {\tilde {F}}_{3}=F_{3}-C_{0}\wedge H}yF~5=F5−12do2∧H+12B∧F3{\displaystyle {\tilde {F}}_{5}=F_{5}-{\tfrac {1}{2}}C_{2}\wedge H+{\tfrac {1}{2}}B\wedge F_{3}}son tensores de fuerza de campo modificados para los campos de gauge de 2-forma y 4-forma, con la identidad de Bianchi resultante para la 5-forma dada pordF~5=H∧F3{\displaystyle d{\tilde {F}}_{5}=H\wedge F_{3}}. [ 16 ] La notación empleada para los términos cinéticos es|Fpag|2=1pag¡Fμ1⋯μpagFμ1⋯μpag{\displaystyle |F_{p}|^{2}={\tfrac {1}{p!}}F_{\mu _{1}\cdots \mu _{p}}F^{\mu _{1}\cdots \mu _{p}}}dóndeFpag=ddopag−1{\displaystyle F_{p}=dC_{p-1}}son los tensores de intensidad de campo regulares asociados a los campos de gauge. AutodualidadF~5=⋆F~5{\displaystyle {\tilde {F}}_{5}=\star {\tilde {F}}_{5}}debe imponerse manualmente a las ecuaciones de movimiento, lo que la convierte en una pseudoacción en lugar de una acción regular.

La primera línea de la acción contiene la acción de Einstein-Hilbert , el término cinético del dilatón y el tensor de fuerza de campo de Kalb-Ramond.H=dB{\displaystyle H=dB}El primer término de la segunda línea tiene los tensores de fuerza de campo modificados apropiadamente para los tresdopag{\displaystyle C_{p}}campos de gauge, mientras que el último término es un término de Chern-Simons . La acción está escrita en el marco de cuerdas , lo que permite igualar los campos a estados de cuerdas de tipo IIB. En particular, la primera línea consta de términos cinéticos para los campos NSNS , siendo estos términos idénticos a los encontrados en la supergravedad de tipo IIA. La primera integral en la segunda línea, por su parte, consta del término cinético para los campos RR .

Simetría global

La supergravedad de tipo IIB tiene una no compactación global .SL(2,R){\displaystyle {\text{SL}}(2,\mathbb {R} )}simetría . [ 7 ] : 315–317 Esto puede hacerse explícito reescribiendo la acción en el marco de Einstein.gramoμν→miϕ/2gramoμν{\displaystyle g_{\mu \nu }\rightarrow e^{\phi /2}g_{\mu \nu }}y definiendo el campo escalar complejo axio-dilatónτ=do0+imi−ϕ{\displaystyle \tau =C_{0}+ie^{-\phi }}Introducción a la matriz

METROij=1Soy τ(|τ|2−Re τ−Re τ1){\displaystyle M_{ij}={\frac {1}{{\text{Im}}\ \tau }}{\begin{pmatrix}|\tau |^{2}&-{\text{Re}}\ \tau \\-{\text{Re}}\ \tau &1\end{pmatrix}}}

y combinando los dos tensores de fuerza de campo de 3 formas en un dobleteF3i=(H,F3){\displaystyle F_{3}^{i}=(H,F_{3})}, la acción se convierte en [ 17 ] : 91

SIIB=12κ2∫d10incógnita−gramo[R−∂μτ∂μτ¯2(Soy τ)2−112METROijF3,μνρiF3j,μνρ−14|F~5|2]−ϵij8κ2∫do4∧F3i∧F3j.{\displaystyle S_{IIB}={\frac {1}{2\kappa ^{2}}}\int d^{10}x{\sqrt {-g}}{\bigg [}R-{\frac {\partial _{\mu }\tau \partial ^{\mu }{\bar {\tau }}}{2({\text{Im}}\ \tau )^{2}}}-{\frac {1}{12}}M_{ij}F_{3,\mu \nu \rho }^{i}F_{3}^{j,\mu \nu \rho }-{\frac {1}{4}}|{\tilde {F}}_{5}|^{2}{\bigg ]}-{\frac {\epsilon _{ij}}{8\kappa ^{2}}}\int C_{4}\wedge F_{3}^{i}\wedge F_{3}^{j}.}

Esta acción es manifiestamente invariante bajo la transformaciónΛ∈SL(2,R){\displaystyle \Lambda \in {\text{SL}}(2,\mathbb {R} )}que transforma las 3-formasF3i→ΛijF3j{\displaystyle F_{3}^{i}\rightarrow \Lambda ^{i}{}_{j}F_{3}^{j}}y el axio-dilatón como

τ→aτ+bdoτ+d,    dónde   Λ=(ddoba).{\displaystyle \tau \rightarrow {\frac {a\tau +b}{c\tau +d}},\ \ \ \ {\text{where}}\ \ \ \Lambda ={\begin{pmatrix}d&c\\b&a\end{pmatrix}}.}

Tanto la métrica como el tensor de fuerza de campo autodual son invariantes bajo estas transformaciones. La invariancia de los tensores de fuerza de campo de 3-formas se deriva del hecho de queMETRO→(Λ−1)TMETROΛ−1{\displaystyle M\rightarrow (\Lambda ^{-1})^{T}M\Lambda ^{-1}}.

transformaciones de supersimetría

Las ecuaciones de movimiento obtenidas a partir de la acción de supergravedad son invariantes bajo las siguientes transformaciones de supersimetría [ 18 ].

δmiμa=ϵ¯γaψμ,{\displaystyle \delta e_{\mu }{}^{a}={\bar {\epsilon }}\gamma ^{a}\psi _{\mu },}
δψμ=(Dμϵ−18Hαβμγαβσ3)ϵ+116miϕ∑norte=16F/(2norte−1)(2norte−1)¡γμPAGnorteϵ,{\displaystyle \delta \psi _{\mu }=(D_{\mu }\epsilon -{\tfrac {1}{8}}H_{\alpha \beta \mu }\gamma ^{\alpha \beta }\sigma ^{3})\epsilon +{\tfrac {1}{16}}e^{\phi }\sum _{n=1}^{6}{\frac {{F\!\!\!/}^{(2n-1)}}{(2n-1)!}}\gamma _{\mu }{\mathcal {P}}_{n}\epsilon ,}
δBμν=2ϵ¯σ3γ[μψν],{\displaystyle \delta B_{\mu \nu }=2{\bar {\epsilon }}\sigma ^{3}\gamma _{[\mu }\psi _{\nu ]},}
δdoμ1,⋯μ2norte−2(2norte−2)=−(2norte−2)mi−ϕϵ¯PAGnorteγ[μ1⋯μ2norte−3(ψμ2norte−2]−12(2norte−2)γμ2norte−2]λ){\displaystyle \delta C_{\mu _{1},\cdots \mu _{2n-2}}^{(2n-2)}=-(2n-2)e^{-\phi }{\bar {\epsilon }}{\mathcal {P}}_{n}\gamma _{[\mu _{1}\cdots \mu _{2n-3}}(\psi _{\mu _{2n-2}]}-{\tfrac {1}{2(2n-2)}}\gamma _{\mu _{2n-2}]}\lambda )}
                    +12(2norte−2)(2norte−3)do[μ1⋯μ2norte−4(2norte−4)δBμ2norte−3μ2norte−2],{\displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ +{\tfrac {1}{2}}(2n-2)(2n-3)C_{[\mu _{1}\cdots \mu _{2n-4}}^{(2n-4)}\delta B_{\mu _{2n-3}\mu _{2n-2}]},}
δλ=(∂/ϕ−112Hμνργμνρσ3)ϵ+14miϕ∑norte=16norte−3(2norte−1)¡F/(2norte−1)PAGnorteϵ,{\displaystyle \delta \lambda =({\partial \!\!\!/}\phi -{\tfrac {1}{12}}H_{\mu \nu \rho }\gamma ^{\mu \nu \rho }\sigma ^{3})\epsilon +{\tfrac {1}{4}}e^{\phi }\sum _{n=1}^{6}{\frac {n-3}{(2n-1)!}}{F\!\!\!/}^{(2n-1)}{\mathcal {P}}_{n}\epsilon ,}
δϕ=12ϵ¯λ.{\displaystyle \delta \phi ={\tfrac {1}{2}}{\bar {\epsilon }}\lambda .}

AquíFμ1⋯μpag{\displaystyle F_{\mu _{1}\cdots \mu _{p}}}son los tensores de intensidad de campo asociados con eldo(pag−1){\displaystyle C^{(p-1)}}campos de calibre, incluyendo todos sus duales magnéticos parapag>5{\displaystyle p>5}, mientrasF/(pag)=Fμ1⋯μpagγμ1⋯μpag{\displaystyle {F\!\!\!/}^{(p)}=F_{\mu _{1}\cdots \mu _{p}}\gamma ^{\mu _{1}\cdots \mu _{p}}}. Además,PAGnorte=σ1{\displaystyle {\mathcal {P}}_{n}=\sigma ^{1}}cuandonorte{\displaystyle n}es par yPAGnorte=iσ2{\displaystyle {\mathcal {P}}_{n}=i\sigma ^{2}}cuando es impar. La pseudoacción de tipo IIB también puede reformularse de manera que trate todos los flujos RR por igual en la llamada formulación democrática. Aquí la acción se expresa en términos de todos los flujos pares hastado10{\displaystyle C_{10}}, con una restricción de dualidad impuesta a todos ellos para obtener el número correcto de grados de libertad. [ 19 ]

Relación con la teoría de cuerdas

La supergravedad de tipo IIB es el límite de baja energía de la teoría de cuerdas de tipo IIB. Los campos de la supergravedad en el marco de cuerdas están directamente relacionados con los diferentes estados sin masa de la teoría de cuerdas. En particular, la métrica, el campo de Kalb-Ramond y el dilatón son campos NSNS, mientras que los tresdopag{\displaystyle C_{p}}Las formas p son campos RR. Mientras tanto, la constante de acoplamiento gravitacional está relacionada con la pendiente de Regge a través de2κ2=(2π)7α′4{\displaystyle 2\kappa ^{2}=(2\pi )^{7}\alpha '^{4}}. [ 15 ] : 114 [ nb 3 ]

El globalSL(2,R){\displaystyle {\text{SL}}(2,\mathbb {R} )}La simetría de la supergravedad no es una simetría de la teoría de cuerdas de tipo IIB completa, ya que mezclaría laB{\displaystyle B}ydo2{\displaystyle C_{2}}campos. Esto no ocurre en la teoría de cuerdas, ya que uno de ellos es un campo NSNS y el otro un campo RR, con físicas diferentes, como el primero que se acopla a cuerdas pero el segundo que no. [ 17 ] : 92 La simetría se rompe en cambio al subgrupo discreto.SL(2,Z)⊂SL(2,R){\displaystyle {\text{SL}}(2,\mathbb {Z} )\subset {\text{SL}}(2,\mathbb {R} )}lo cual se cree que es una simetría de la teoría de cuerdas de tipo IIB completa.

La teoría cuántica está libre de anomalías , ya que las anomalías gravitacionales se cancelan exactamente. [ 17 ] : 98 En la teoría de cuerdas, la pseudoacción recibe correcciones muy estudiadas que se clasifican en dos tipos. Las primeras son correcciones cuánticas en términos del acoplamiento de cuerdas y las segundas son correcciones de cuerdas en términos de la pendiente de Regge.α′{\displaystyle \alpha '}Estas correcciones desempeñan un papel importante en muchos escenarios de estabilización de módulos.

La reducción dimensional de las supergravedades de tipo IIA y tipo IIB necesariamente resulta en el mismo sistema de nueve dimensiones.norte=2{\displaystyle {\mathcal {N}}=2}teoría ya que solo existe una superálgebra de este tipo en esta dimensión. [ 20 ] Esto está estrechamente vinculado a la dualidad T entre las teorías de cuerdas correspondientes.

Notas

  1. ↑ Esta teoría tiene dos gravitaciones de Majorana-Weyl zurdas, siendo equivalente a lanorte=(0,2){\displaystyle {\mathcal {N}}=(0,2)}teoría que tiene dos gravitaciones dextrógiras.
  2. ↑ Esto se debe a que el término cinético tiene la forma|F5|2−gramodincógnita1∧⋯∧dincógnita10=F5∧⋆F5=F5∧F5=0{\displaystyle |F_{5}|^{2}{\sqrt {-g}}dx^{1}\wedge \cdots \wedge dx^{10}=F_{5}\wedge \star F_{5}=F_{5}\wedge F_{5}=0}, que desaparece desdeωpag∧ωpag=0{\displaystyle \omega _{p}\wedge \omega _{p}=0}para p-forms con imparpag{\displaystyle p}. [ 12 ]
  3. ↑ En el marco de Einstein, la relación con la constante de acoplamiento gravitacional incluye el acoplamiento de cuerdas.2κ2=(2π)7gramos2α′4{\displaystyle 2\kappa ^{2}=(2\pi )^{7}g_{s}^{2}\alpha '^{4}}.

Referencias

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