Módulos (física)

En la teoría cuántica de campos , el término módulos ( singular : módulo ; más propiamente, campos de módulos ) se utiliza a veces para referirse a campos escalares cuya función de energía potencial tiene familias continuas de mínimos globales. Dichas funciones potenciales aparecen con frecuencia en sistemas supersimétricos . El término "módulo" se toma prestado de las matemáticas (o, más específicamente, el espacio de módulos se toma prestado de la geometría algebraica ), donde se usa como sinónimo de "parámetro". La palabra módulos ( Moduln en alemán) apareció por primera vez en 1857 en el célebre artículo de Bernhard Riemann "Theorie der Abel'schen Functionen". ^{[ 1 ]}

Espacios de módulos en teorías cuánticas de campos

En las teorías cuánticas de campos, los posibles vacíos se etiquetan generalmente mediante los valores esperados del vacío de los campos escalares, ya que la invariancia de Lorentz obliga a que los valores esperados del vacío de cualquier campo de espín superior se anulen. Estos valores esperados del vacío pueden tomar cualquier valor para el cual la función potencial sea un mínimo. En consecuencia, cuando la función potencial tiene familias continuas de mínimos globales, el espacio de vacíos para la teoría cuántica de campos es una variedad (u orbifold), generalmente llamada variedad de vacíos . ^{[ 2 ]} Esta variedad se denomina a menudo espacio de módulos de vacíos , o simplemente espacio de módulos, para abreviar.

El término módulos también se utiliza en la teoría de cuerdas para referirse a diversos parámetros continuos que caracterizan posibles fondos de cuerdas : el valor esperado del campo dilatón , los parámetros (por ejemplo, el radio y la estructura compleja) que rigen la forma de la variedad de compactificación, etcétera. Estos parámetros se representan, en la teoría cuántica de campos que aproxima la teoría de cuerdas a bajas energías, mediante los valores esperados en el vacío de campos escalares sin masa, estableciendo así una conexión con el uso descrito anteriormente. En la teoría de cuerdas, el término "espacio de módulos" se utiliza a menudo específicamente para referirse al espacio de todos los posibles fondos de cuerdas.

Espacios de módulos de teorías de gauge supersimétricas

En general, en las teorías cuánticas de campos, incluso si la energía potencial clásica se minimiza sobre un amplio conjunto de posibles valores esperados, una vez incluidas las correcciones cuánticas, casi todas estas configuraciones dejan de minimizar la energía. Como resultado, el conjunto de vacíos de la teoría cuántica suele ser mucho menor que el de la teoría clásica . Una excepción notable se da cuando los distintos vacíos en cuestión están relacionados por una simetría que garantiza que sus niveles de energía permanezcan exactamente degenerados.

La situación es muy diferente en las teorías cuánticas de campos supersimétricas . En general, estas poseen grandes espacios de módulos de vacío que no están relacionados por ninguna simetría; por ejemplo, las masas de las distintas excitaciones pueden diferir en distintos puntos del espacio de módulos. Los espacios de módulos de las teorías de gauge supersimétricas son, en general, más fáciles de calcular que los de las teorías no supersimétricas, ya que la supersimetría restringe las geometrías permitidas del espacio de módulos incluso cuando se incluyen correcciones cuánticas.

Espacios de módulos permitidos de teorías de 4 dimensiones

Cuanto mayor sea la supersimetría, más fuerte será la restricción sobre la variedad de vacío. Por lo tanto, si una restricción aparece a continuación para un número N dado de espinores de supercargas, también se cumple para todos los valores mayores de N.

Teorías N=1

La primera restricción sobre la geometría de un espacio de módulos fue hallada en 1979 por Bruno Zumino y publicada en el artículo "Supersimetría y variedades de Kähler". ^{[ 3 ]} Consideró una teoría N=1 en 4 dimensiones con supersimetría global. N=1 significa que los componentes fermiónicos del álgebra de supersimetría pueden ensamblarse en una única supercarga de Majorana . Los únicos escalares en dicha teoría son los escalares complejos de los supercampos quirales . Encontró que la variedad de vacío de valores esperados de vacío permitidos para estos escalares no solo es compleja sino también una variedad de Kähler .

Si se incluye la gravedad en la teoría, de modo que exista supersimetría local, la teoría resultante se denomina teoría de supergravedad y la restricción sobre la geometría del espacio de módulos se vuelve más estricta. El espacio de módulos no solo debe ser de Kähler, sino que además la forma de Kähler debe extenderse a la cohomología integral . Dichas variedades se denominan variedades de Hodge . El primer ejemplo apareció en el artículo de 1979 «Ruptura espontánea de simetría y efecto Higgs en supergravedad sin constante cosmológica» ^{[ 4 ]} y la formulación general apareció tres años después en «Cuantización de la constante de Newton en ciertas teorías de supergravedad» ^{[ 5 ] .}

Teorías N=2

En teorías extendidas de cuatro dimensiones con supersimetría N=2, correspondientes a una única supercarga de espinor de Dirac , las condiciones son más estrictas. El álgebra de supersimetría N=2 contiene dos representaciones con escalares: el multiplete vectorial , que contiene un escalar complejo, y el hipermultiplete , que contiene dos escalares complejos. El espacio de módulos de los multipletes vectoriales se denomina rama de Coulomb, mientras que el de los hipermultipletes se denomina rama de Higgs . El espacio total de módulos es localmente un producto de estas dos ramas, ya que los teoremas de no renormalización implican que la métrica de cada una es independiente de los campos del otro multiplete. (Véase, por ejemplo, Argyres, Non-Perturbative Dynamics Of Four-Dimensional Supersymmetric Field Theories , pp. 6-7, para un análisis más detallado de la estructura de producto local).

En el caso de la supersimetría global N=2, es decir, en ausencia de gravedad, la rama de Coulomb del espacio de módulos es una variedad de Kähler especial . El primer ejemplo de esta restricción apareció en el artículo de 1984 Potentials and Symmetries of General Gauged N=2 Supergravity: Yang-Mills Models de Bernard de Wit y Antoine Van Proeyen , mientras que una descripción geométrica general de la geometría subyacente, llamada geometría especial , fue presentada por Andrew Strominger en su artículo de 1990 Special Geometry .

La rama de Higgs es una variedad hiperkähler como demostraron Luis Alvarez-Gaume y Daniel Freedman en su artículo de 1981, Estructura geométrica y finitud ultravioleta en el modelo sigma supersimétrico . Al incluir la gravedad, la supersimetría se vuelve local. Entonces, es necesario agregar la misma condición de Hodge a la rama de Coulomb de Kähler especial que en el caso N=1. Jonathan Bagger y Edward Witten demostraron en su artículo de 1982, Acoplamientos de materia en la supergravedad N=2 , que en este caso, la rama de Higgs debe ser una variedad de Kähler cuaterniónica .

Supersimetría N>2

En las supergravedades extendidas con N>2, el espacio de módulos siempre debe ser un espacio simétrico .

Referencias

↑ Riemann, Bernhard (1857). "Theorie der Abel'schen Functionen" . Journal für die reine und angewandte Mathematik . 54 : 101-155 .
↑ Teerthal, Patel (2022-01-16). "Mecanismo de Kibble para monopolos magnéticos electrodébiles y campos magnéticos". Journal of High Energy Physics . 2022 (1). Universidad Estatal de Arizona : 10. arXiv : 2108.05357 . Bibcode : 2022JHEP...01..059P . doi : 10.1007/JHEP01(2022)059 . S2CID 256034831 .
↑ Zumino, B. (Nov 1979). "Supersimetría y variedades de Kähler" (PDF) . Physics Letters B. 87 ( 3): 203– 206. doi : 10.1016/0370-2693(79)90964-X .
↑ Cremmer, E.; Julia, B.; Scherk, J.; Ferrara, S.; Girardello, L.; van Nieuwenhuizen, P. (enero de 1979). "Ruptura espontánea de simetría y efecto Higgs en supergravedad sin constante cosmológica" (PDF) . Nuclear Physics B. 147 ( 1–2 ) : 105–131 . Bibcode : 1979NuPhB.147..105C . doi : 10.1016/0550-3213(79)90417-6 .
↑ Witten, Edward; Bagger, Jonathan (septiembre de 1982). "Cuantización de la constante de Newton en ciertas teorías de supergravedad" . Physics Letters B. 115 ( 3): 202–206 . Bibcode : 1982PhLB..115..202W . doi : 10.1016/0370-2693(82)90644-X .

Andrianopoli, L.; Bertolini, M.; Ceresole, A.; D'Auria, R.; Ferrara, S.; Fré, P.; Magri, T. (septiembre de 1997). " Supergravedad N = 2 y teoría de super Yang-Mills N = 2 en variedades escalares generales: calibres de covarianza simplécticos y el mapa de momento" . Journal of Geometry and Physics . 23 (2): 111– 189. arXiv : hep-th/9605032 . Bibcode : 1997JGP....23..111A . doi : 10.1016/S0393-0440(97)00002-8 ,Contiene una revisión de las restricciones sobre los espacios de módulos en varias teorías de gauge supersimétricas.