Supergravedad tipo IIA

En supersimetría , la supergravedad de tipo IIA es la única supergravedad en diez dimensiones con dos supercargas de quiralidad opuesta . Fue construida por primera vez en 1984 mediante una reducción dimensional de la supergravedad de once dimensiones en un círculo . ^{[1] [2] [3]} Las otras supergravedades en diez dimensiones son la supergravedad de tipo IIB , que tiene dos supercargas de la misma quiralidad, y la supergravedad de tipo I , que tiene una sola supercarga. En 1986 se descubrió una deformación de la teoría que da masa a uno de los campos y se conoce como supergravedad masiva de tipo IIA. ^[4] La supergravedad de tipo IIA juega un papel muy importante en la teoría de cuerdas, ya que es el límite de baja energía de la teoría de cuerdas de tipo IIA .

Después de que se descubriera la supergravedad en 1976 con supergravedad pura 4D${\displaystyle {\mathcal {N}}=1}$ , se dedicó un esfuerzo significativo a comprender otras posibles supergravedades que pueden existir con varios números de supercargas y en varias dimensiones. El descubrimiento de la supergravedad de once dimensiones en 1978 condujo a la derivación de muchas supergravedades de dimensiones inferiores a través de la reducción dimensional de esta teoría. ^[5] Usando esta técnica, la supergravedad de tipo IIA fue construida por primera vez en 1984 por tres grupos diferentes, por F. Giani y M. Pernici, ^[1] por ICG Campbell y P. West , ^[2] y por M. Huq y MA Namazie. ^[3] En 1986, L. Romans notó que existe una deformación masiva de la teoría. ^[4] La supergravedad de tipo IIA desde entonces se ha utilizado ampliamente para estudiar el comportamiento de baja energía de la teoría de cuerdas de tipo IIA. La terminología de tipo IIA, tipo IIB y tipo I fue acuñada por J. Schwarz , originalmente para referirse a las tres teorías de cuerdas que se conocían en 1982. ^[6]

Diez dimensiones admiten tanto la supergravedad como la supergravedad, dependiendo de si hay una o dos supercargas. ^{[nb 1]} Dado que las representaciones espinoriales más pequeñas en diez dimensiones son los espinores de Majorana - Weyl , las supercargas vienen en dos tipos dependiendo de su quiralidad, dando tres posibles teorías de supergravedad. ^{[7] : 241} La teoría formada usando dos supercargas de quiralidades opuestas se denota por y se conoce como supergravedad tipo IIA. ${\displaystyle {\mathcal {N}}=1}$${\displaystyle {\mathcal {N}}=2}$ ${\displaystyle Q^{\pm}}$${\displaystyle {\mathcal {N}}=2}$${\displaystyle {\mathcal {N}}=(1,1)}$

Esta teoría contiene un único multiplete , conocido como el multiplete no quiral de diez dimensiones . Los campos en este multiplete son , donde es la métrica correspondiente al gravitón , mientras que los tres campos siguientes son los campos de calibración de 3, 2 y 1 formas , siendo la forma 2 el campo de Kalb-Ramond . ^[8] También hay un gravitino de Majorana y un espinor de Majorana , los cuales se descomponen en un par de espinores de Majorana-Weyl de quiralidades opuestas y . Por último, hay un campo escalar . ${\displaystyle {\mathcal {N}}=2}$${\displaystyle (g_{\mu \nu },C_{\mu \nu \rho },B_{\mu \nu },C_{\mu },\psi _{\mu },\lambda,\phi ) }$${\displaystyle g_{\mu \nu}}$ ${\displaystyle \psi _{\mu }}$${\estilo de visualización \lambda}$${\displaystyle \psi _{\mu }=\psi _{\mu }^{+}+\psi _{\mu }^{-}}$${\displaystyle \lambda =\lambda ^{+}+\lambda ^{-}}$ ${\estilo de visualización \phi}$

Este multiplete no quiral se puede descomponer en el multiplete de diez dimensiones , junto con cuatro campos adicionales . ^{[9] : 269  [nb 2]} En el contexto de la teoría de cuerdas, los campos bosónicos en el primer multiplete consisten en campos NSNS mientras que los campos bosónicos son todos campos RR . Mientras tanto, los campos fermiónicos están en el sector NSR. ${\displaystyle {\mathcal {N}}=1}$${\displaystyle (g_{\mu \nu },B_{\mu \nu },\psi _{\mu }^{+},\lambda ^{-},\phi )}$${\displaystyle (C_{\mu \nu \rho },C_{\mu },\psi _{\mu }^{-},\lambda ^{+})}$

La superálgebra para la supersimetría está dada por ^[10]${\displaystyle {\mathcal {N}}=(1,1)}$

${\displaystyle \{Q_{\alpha },Q_{\beta }\}=(\gamma ^{\mu }C)_{\alpha \beta }P_{\mu }+(\gamma _{*}C)_{\alpha \beta }Z+(\gamma ^{\mu }\gamma _{*}C)_{\alpha \beta }Z_{\mu }+(\gamma ^{\mu \nu }C)_{\alpha \beta }Z_{\mu \nu }}$

No se pudo analizar (SVG (MathML se puede habilitar a través del complemento del navegador): Respuesta no válida ("La extensión Math no se puede conectar a Restbase") del servidor "http://localhost:6011/en.wikipedia.org/v1/":): {\displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ + (\gamma^{\mu\nu\rho\sigma}\gamma_*C)_{\alpha \beta}Z_{\mu\nu\rho\sigma} + (\gamma^{\mu\nu\rho\sigma\delta}C)_{\alpha \beta}Z_{\mu\nu\rho\sigma \delta}, }

donde todos los términos en el lado derecho además del primero son las cargas centrales permitidas por la teoría. Aquí están los componentes de espinor de las supercargas de Majorana ^{[nb 3]} mientras que es el operador de conjugación de carga . Dado que el anticonmutador es simétrico, las únicas matrices permitidas en el lado derecho son las que son simétricas en los índices de espinor , . En diez dimensiones es simétrico solo para módulo , con la matriz de quiralidad comportándose como otra matriz, excepto que no tiene índice. ^{[7] : 47–48} Yendo solo hasta matrices de cinco índices, ya que el resto son equivalentes hasta la dualidad de Poincaré , se obtiene el conjunto de cargas centrales descritas por el álgebra anterior . ${\displaystyle Q_{\alpha}}$${\estilo de visualización C}$${\estilo de visualización \alpha}$${\estilo de visualización \beta}$${\displaystyle \gamma ^{\mu _{1}\cdots \mu _{p}}C}$${\displaystyle p=1,2}$ ${\estilo de visualización 4}$ ${\displaystyle \gamma _{*}}$${\estilo de visualización \gamma}$

Las diversas cargas centrales en el álgebra corresponden a diferentes estados BPS permitidos por la teoría. En particular, , y corresponden a las branas D0, D2 y D4 . ^[10] La corresponde a la 1-brana NSNS, que es equivalente a la cuerda fundamental , mientras que corresponde a la NS5-brana . ${\estilo de visualización Z}$${\displaystyle Z_{\mu \nu}}$${\displaystyle Z_{\mu \nu \rho \sigma }}$${\displaystyle Z_{\mu}}$${\displaystyle Z_{\mu \nu \rho \sigma \delta }}$

La acción de supergravedad de tipo IIA se da hasta términos de cuatro fermiones por ^[11]

${\displaystyle S_{IIA,{\text{bosonic}}}={\frac {1}{2\kappa ^{2}}}\int d^{10}x{\sqrt {-g}}e^{-2\phi }{\bigg [}R+4\partial _{\mu }\phi \partial ^{\mu }\phi -{\frac {1}{12}}H_{\mu \nu \rho }H^{\mu \nu \rho }-2{\bar {\psi }}_{\mu }\gamma ^{\mu \nu \rho }D_{\nu }\psi _{\rho }+2{\bar {\lambda }}\gamma ^{\mu }D_{\mu }\lambda {\bigg ]}}$

${\displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ -{\frac {1}{4\kappa ^{2}}}\int d^{10}x{\sqrt {-g}}{\big [}{\tfrac {1}{2}}F_{2,\mu \nu }F_{2}^{\mu \nu }+{\tfrac {1}{24}}{\tilde {F}}_{4,\mu \nu \rho \sigma }{\tilde {F}}_{4}^{\mu \nu \rho \sigma }{\big ]}-{\frac {1}{4\kappa ^{2}}}\int B\wedge F_{4}\wedge F_{4}}$

${\displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ +{\frac {1}{2\kappa ^{2}}}\int d^{10}x{\sqrt {-g}}{\bigg [}e^{-2\phi }(2\chi _{1}^{\mu }\partial _{\mu }\phi -{\tfrac {1}{6}}H_{\mu \nu \rho }\chi _{3}^{\mu \nu \rho }-4{\bar {\lambda }}\gamma ^{\mu \nu }D_{\mu }\psi _{\nu })-{\tfrac {1}{2}}F_{2,\mu \nu }\Psi _{2}^{\mu \nu }-{\tfrac {1}{24}}{\tilde {F}}_{4,\mu \nu \rho \sigma }\Psi _{4}^{\mu \nu \rho \sigma }{\bigg ]}.}$

Aquí y donde corresponde a un campo de calibre de forma . ^{[nb 4]} El campo de calibre de forma 3 tiene un tensor de intensidad de campo modificado que tiene una identidad de Bianchi no estándar de . ^{[12] : 115  [nb 5]} Mientras tanto, , , , y son varios bilineales de fermiones dados por ^[11]${\displaystyle H=dB}$${\displaystyle F_{p+1}=dC_{p}}$${\displaystyle p}$${\displaystyle p}$ ${\displaystyle {\tilde {F}}_{4}=F_{4}-A_{1}\wedge F_{3}}$${\displaystyle d{\tilde {F}}_{4}=-F_{2}\wedge F_{3}}$${\displaystyle \chi _{1}^{\mu }}$${\displaystyle \chi _{3}^{\mu \nu \rho }}$${\displaystyle \Psi _{2}^{\mu \nu }}$${\displaystyle \Psi _{4}^{\mu \nu \rho \sigma }}$

${\displaystyle \chi _{1}^{\mu }=-2{\bar {\psi }}_{\nu }\gamma ^{\nu }\psi ^{\mu }-2{\bar {\lambda }}\gamma ^{\nu }\gamma ^{\mu }\psi _{\nu },}$

${\displaystyle \chi _{3}^{\mu \nu \rho }={\tfrac {1}{2}}{\bar {\psi }}^{\alpha }\gamma _{[\alpha }\gamma ^{\mu \nu \rho }\gamma _{\beta ]}\gamma _{*}\psi ^{\beta }+{\bar {\lambda }}\gamma ^{\mu \nu \rho }{}_{\beta }\gamma _{*}\psi ^{\beta }-{\tfrac {1}{2}}{\bar {\lambda }}\gamma _{*}\gamma ^{\mu \nu \rho }\lambda ,}$

${\displaystyle \Psi _{2}^{\mu \nu }={\tfrac {1}{2}}e^{-\phi }{\bar {\psi }}^{\alpha }\gamma _{[\alpha }\gamma ^{\mu \nu }\gamma _{\beta ]}\gamma _{*}\psi ^{\beta }+{\tfrac {1}{2}}e^{-\phi }{\bar {\lambda }}\gamma ^{\mu \nu }\gamma _{\beta }\gamma _{*}\psi ^{\beta }+{\tfrac {1}{4}}e^{-\phi }{\bar {\lambda }}\gamma ^{\mu \nu }\gamma _{*}\lambda ,}$

${\displaystyle \Psi _{4}^{\mu \nu \rho \sigma }={\tfrac {1}{2}}e^{-\phi }{\bar {\psi }}^{\alpha }\gamma _{[\alpha }\gamma ^{\mu \nu \rho \sigma }\gamma _{\beta ]}\psi ^{\beta }+{\tfrac {1}{2}}e^{-\phi }{\bar {\lambda }}\gamma ^{\mu \nu \rho \sigma }\gamma _{\beta }\psi ^{\beta }-{\tfrac {1}{4}}e^{-\phi }{\bar {\lambda }}\gamma ^{\mu \nu \rho \sigma }\lambda .}$

La primera línea de la acción tiene la acción de Einstein-Hilbert , el término cinético del dilatón ^{[nb 6]} , el tensor de intensidad de campo de 2 formas . También contiene los términos cinéticos para el gravitino y el espinor , descritos por la acción de Rarita-Schwinger y la acción de Dirac , respectivamente. La segunda línea tiene los términos cinéticos para los campos de calibración de 1 forma y 3 formas, así como un término de Chern-Simons . La última línea contiene los términos de interacción cúbica entre dos fermiones y un bosón . ${\displaystyle B_{\mu \nu }}$${\displaystyle \psi _{\mu }}$${\displaystyle \lambda }$

Las variaciones de supersimetría que dejan la acción invariante se dan hasta términos de tres fermiones por ^{[11] [14] : 665  [nb 7]}

${\displaystyle \delta e_{\mu }{}^{a}={\bar {\epsilon }}\gamma ^{a}\psi _{\mu },}$

${\displaystyle \delta \psi _{\mu }=(D_{\mu }+{\tfrac {1}{8}}H_{\alpha \beta \mu }\gamma ^{\alpha \beta }\gamma _{*})\epsilon +{\tfrac {1}{16}}e^{\phi }F_{\alpha \beta }\gamma ^{\alpha \beta }\gamma _{\mu }\gamma _{*}\epsilon +{\tfrac {1}{192}}e^{\phi }F_{\alpha \beta \gamma \delta }\gamma ^{\alpha \beta \gamma \delta }\gamma _{\mu }\epsilon ,}$

${\displaystyle \delta B_{\mu \nu }=2{\bar {\epsilon }}\gamma _{*}\gamma _{[\mu }\psi _{\nu ]},}$

${\displaystyle \delta C_{\mu }=-e^{-\phi }{\bar {\epsilon }}\gamma _{*}(\psi _{\mu }-{\tfrac {1}{2}}\gamma _{\mu }\lambda ),}$

${\displaystyle \delta C_{\mu \nu \rho }=-e^{-\phi }{\bar {\epsilon }}\gamma _{[\mu \nu }(3\psi _{\rho ]}-{\tfrac {1}{2}}\gamma _{\rho ]}\lambda )+3C_{[\mu }\delta B_{\nu \rho ]},}$

${\displaystyle \delta \lambda =({\partial \!\!\!/}\phi +{\tfrac {1}{12}}H_{\alpha \beta \gamma }\gamma ^{\alpha \beta \gamma }\gamma _{*})\epsilon +{\tfrac {3}{8}}e^{\phi }F_{\alpha \beta }\gamma ^{\alpha \beta }\gamma _{*}\epsilon +{\tfrac {1}{96}}e^{\phi }F_{\alpha \beta \gamma \delta }\gamma ^{\alpha \beta \gamma \delta }\epsilon ,}$

${\displaystyle \delta \phi ={\tfrac {1}{2}}{\bar {\epsilon }}\lambda .}$

Son útiles para construir las ecuaciones de espinor de Killing y encontrar los estados fundamentales supersimétricos de la teoría, ya que estos requieren que las variaciones fermiónicas desaparezcan.

Como la supergravedad de tipo IIA tiene intensidades de campo de forma p de dimensiones pares, también admite un campo de calibración de forma nueve . Pero como es un escalar y la ecuación de campo libre está dada por , este escalar debe ser una constante. ^{[12] : 115} Por lo tanto, un campo de este tipo no tiene grados de libertad de propagación , pero sí tiene una densidad de energía asociada a él. Trabajando solo con el sector bosónico, la forma diez se puede incluir en la supergravedad modificando la acción original para obtener una supergravedad masiva de tipo IIA ^{[15] : 89–90}${\displaystyle F_{10}=dC_{9}}$${\displaystyle \star F_{10}}$${\displaystyle d\star F_{10}=0}$

${\displaystyle S_{{\text{massive }}IIA}={\tilde {S}}_{IIA}-{\frac {1}{4\kappa ^{2}}}\int d^{10}x{\sqrt {-g}}M^{2}+{\frac {1}{2\kappa ^{2}}}\int MF_{10},}$

donde es equivalente a la supergravedad tipo IIA original hasta el reemplazo de y . Aquí se conoce como la masa romana y actúa como un multiplicador de Lagrange para . A menudo, se integra este tensor de intensidad de campo, lo que da como resultado una acción donde actúa como un término de masa para el campo Kalb-Ramond. ${\displaystyle {\tilde {S}}_{IIA}}$${\displaystyle F_{2}\rightarrow F_{2}+MB}$${\displaystyle F_{4}\rightarrow F_{4}+{\tfrac {1}{2}}MB\wedge B}$${\displaystyle M}$${\displaystyle F_{10}}$${\displaystyle M}$

A diferencia de la teoría regular de tipo IIA, que tiene un potencial escalar que se desvanece , el tipo IIA masivo tiene un potencial escalar que no se desvanece. Si bien las transformaciones de supersimetría parecen realizarse, en realidad están formalmente rotas ya que la teoría corresponde a un fondo de D8-brana. ^{[14] : 668} Una teoría estrechamente relacionada es la supergravedad de Howe-Lambert-West ^[16] que es otra deformación masiva de la supergravedad de tipo IIA, ^{[nb 8]} pero que solo se puede describir a nivel de las ecuaciones de movimiento . Se adquiere por una compactificación de la teoría MM de once dimensiones en un círculo. ${\displaystyle V(\phi )=0}$${\displaystyle {\mathcal {N}}=2}$

La compactificación de la supergravedad de once dimensiones en un círculo y la conservación de los modos de Fourier cero que son independientes de las coordenadas compactas da como resultado la supergravedad de tipo IIA. Para la supergravedad de once dimensiones con el gravitón, el gravitino y un campo de calibración de 3 formas denotado por , entonces la métrica de 11 dimensiones se descompone en la métrica de 10 dimensiones, la 1 forma y el dilatón como ^{[13] : 308}${\displaystyle (g_{MN}',\psi _{M}',A_{MNR}')}$

${\displaystyle g'_{MN}=e^{-2\phi /3}{\begin{pmatrix}g_{\mu \nu }+e^{2\phi }C_{\mu }C_{\nu }&-e^{2\phi }C_{\mu }\\-e^{2\phi }C_{\nu }&e^{2\phi }\end{pmatrix}}.}$

Mientras tanto, la forma 3 de 11D se descompone en la forma 3 de 10D y la forma 2 de 10D . El tensor de intensidad de campo modificado de diez dimensiones surge directamente en esta compactificación a partir de . ${\displaystyle A_{\mu \nu \rho }'\rightarrow C_{\mu \nu \rho }}$${\displaystyle A_{\mu \nu 11}'\rightarrow B_{\mu \nu }}$${\displaystyle {\tilde {F}}_{4}}$${\displaystyle F'_{\mu \nu \rho \sigma }=e^{4\phi /3}{\tilde {F}}_{\mu \nu \rho \sigma }}$

La reducción dimensional de los fermiones debe hacerse generalmente en términos de las coordenadas planas , donde es el vielbein 11D . ^{[nb 9]} En ese caso, el gravitón 11D de Majorana se descompone en el gravitino 10D de Majorana y el fermión de Majorana , ^{[9] : 268  [nb 10]} aunque la identificación exacta se da por ^{[14] : 664}${\displaystyle \psi _{A}'=e_{A}'^{M}\psi _{M}}$${\displaystyle {e'}_{A}^{M}}$${\displaystyle \psi _{A}'\sim (\psi _{a},\lambda )}$

${\displaystyle \psi _{a}'=e^{\phi /6}(2\psi _{a}-{\tfrac {1}{3}}\gamma _{a}\lambda ),\ \ \ \ \ \ \ \psi _{11}'={\tfrac {2}{3}}e^{\phi /6}\gamma _{*}\lambda ,}$

donde esto se elige para hacer más simples las transformaciones de supersimetría. ^{[nb 11]} Las variaciones de supersimetría de diez dimensiones también se pueden adquirir directamente a partir de las de once dimensiones estableciendo . ^{[nb 12]}${\displaystyle \epsilon '=e^{-\phi /6}\epsilon }$

La teoría de campos efectivos de baja energía de la teoría de cuerdas de tipo IIA está dada por la supergravedad de tipo IIA. ^{[15] : 187} Los campos corresponden a las diferentes excitaciones sin masa de la cuerda, siendo la métrica, la forma 2 y el dilatón estados NSNS que se encuentran en todas las teorías de cuerdas, mientras que los campos de forma 3 y forma 1 corresponden a los estados RR de la teoría de cuerdas de tipo IIA. Las correcciones a la acción de la supergravedad de tipo IIA vienen en dos tipos, correcciones cuánticas en potencias del acoplamiento de cuerdas y correcciones de curvatura en potencias de . ^{[15] : 321–324} Dichas correcciones a menudo juegan un papel importante en la fenomenología de cuerdas de tipo IIA . La constante de acoplamiento de supercuerdas de tipo IIA corresponde al valor esperado de vacío de , mientras que la longitud de la cuerda está relacionada con la constante de acoplamiento gravitacional a través de . ^{[12] : 115}${\displaystyle B}$${\displaystyle g_{s}}$${\displaystyle \alpha '}$ ${\displaystyle g_{s}}$${\displaystyle e^{\phi }}$${\displaystyle l_{s}={\sqrt {\alpha '}}}$${\displaystyle 2\kappa ^{2}=(2\pi )^{7}{\alpha '}^{4}}$

Cuando la teoría de cuerdas se compactifica para obtener teorías de cuatro dimensiones, esto se hace a menudo en el nivel de la supergravedad de baja energía. La reducción del tipo IIA en una variedad de Calabi-Yau produce una teoría en cuatro dimensiones, mientras que la reducción en un orientifold de Calabi-Yau rompe aún más la simetría para dar la supergravedad de cuatro dimensiones fenomenológicamente viable . ^{[13] : 356–357} La supergravedad de tipo IIA está automáticamente libre de anomalías ya que es una teoría no quiral. ${\displaystyle {\mathcal {N}}=2}$${\displaystyle {\mathcal {N}}=1}$