supergravedad de tipo I

La superálgebra para la supersimetría de tipo I viene dada por ^{[ 9 ].}

${\displaystyle \{Q_{\alpha },Q_{\beta }\}=(P\gamma ^{\mu }C)_{\alpha \beta }P_{\mu }+(P\gamma ^{\mu \nu \rho \sigma \delta }C)_{\alpha \beta }Z_{\mu \nu \rho \sigma \delta }.}$

Aquí${\displaystyle Q_{\alpha }}$es la supercarga con una quiralidad fija${\displaystyle PQ_{\alpha }=Q_{\alpha }}$, dónde${\displaystyle P={\tfrac {1}{2}}(1\pm \gamma _{*})}$es el operador de proyección relevante . Mientras tanto,${\displaystyle C}$es el operador de conjugación de carga y${\displaystyle \gamma ^{\mu }}$son las matrices gamma . El lado derecho debe tener la misma quiralidad que las supercargas y también debe ser simétrico bajo un intercambio de los índices espinoriales. El segundo término es la única carga central que es admisible bajo estas restricciones hasta la dualidad de Poincaré . Esto se debe a que en diez dimensiones solo${\displaystyle P\gamma ^{\mu _{1}\cdots \mu _{p}}C}$con${\displaystyle p=1}$módulo${\displaystyle 4}$son matrices simétricas. ^{[ 10 ] : 37–48 [ nb 2 ]} La carga central corresponde a una solución de 5-brana en la supergravedad que es dual a la cuerda fundamental en la teoría de cuerdas heteróticas. ^{[ 11 ]}

La acción para la supergravedad de tipo I en el marco de Einstein se da hasta términos de cuatro fermiones por ^{[ 12 ] : 325 [ nb 3 ]}

${\displaystyle S={\frac {1}{2\kappa ^{2}}}\int d^{10}x\ e{\bigg [}R-2\partial _{\mu }\phi \partial ^{\mu }\phi -{\tfrac {3}{4}}e^{-2\phi }H_{\mu \nu \rho }H^{\mu \nu \rho }-{\tfrac {\kappa ^{2}}{2g^{2}}}e^{-\phi }{\text{tr}}(F_{\mu \nu }F^{\mu \nu })}$

${\displaystyle \ \ \ -{\bar {\psi }}_{\mu }\gamma ^{\mu \nu \rho }D_{\nu }\psi _{\rho }-{\bar {\lambda }}\gamma ^{\mu }D_{\mu }\lambda -{\text{tr}}({\bar {\chi }}\gamma ^{\mu }D_{\mu }\chi )}$

${\displaystyle \ \ \ -{\sqrt {2}}{\bar {\psi }}_{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\mu }\lambda \partial _{\nu }\phi +{\tfrac {1}{8}}e^{-\phi }{\text{tr}}({\bar {\chi }}\gamma ^{\mu \nu \rho }\chi )H_{\mu \nu \rho }}$

${\displaystyle \ \ \ -{\tfrac {\kappa }{2g}}e^{-\phi /2}{\text{tr}}[{\bar {\chi }}\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu \rho }(\psi _{\mu }+{\tfrac {\sqrt {2}}{12}}\gamma _{\mu }\lambda )F_{\nu \rho }]}$

${\displaystyle \ \ \ +{\tfrac {1}{8}}e^{-\phi }({\bar {\psi }}_{\mu }\gamma ^{\mu \nu \rho \sigma \delta }\psi _{\delta }+6{\bar {\psi }}^{\nu }\gamma ^{\rho }\psi ^{\sigma }-{\sqrt {2}}{\bar {\psi }}_{\mu }\gamma ^{\nu \rho \sigma }\gamma ^{\mu }\lambda )H_{\nu \rho \sigma }{\bigg ]}.}$

Aquí${\displaystyle \kappa ^{2}}$es la constante de acoplamiento gravitacional,${\displaystyle \phi }$es el dilatón, y ^{[ 13 ] : 92–93}

${\displaystyle H_{\mu \nu \rho }=\partial _{[\mu }B_{\nu \rho ]}-{\tfrac {\kappa ^{2}}{g^{2}}}\omega _{{\text{YM}},\mu \nu \rho },}$

dónde${\displaystyle \omega _{\text{YM}}}$es el rastro de la forma Yang–Mills Chern–Simons dada por

${\displaystyle \omega _{\text{YM}}={\text{tr}}(A\wedge dA+{\tfrac {2}{3}}A\wedge A\wedge A).}$

El tensor de intensidad de campo no abeliano correspondiente al campo de gauge${\displaystyle A_{\mu }}$se denota por${\displaystyle F_{\mu \nu }}$Las matrices gamma del índice espaciotemporal son campos dependientes de la posición.${\displaystyle \gamma _{\mu }=e_{\mu }^{a}\gamma _{a}}$. Mientras tanto,${\displaystyle D_{\mu }}$es la derivada covariante${\displaystyle D_{\mu }=\partial _{\mu }+{\tfrac {1}{4}}\omega _{\mu }^{ab}\gamma _{ab}}$, mientras${\displaystyle \gamma _{ab}=\gamma _{a}\gamma _{b}}$y${\displaystyle \omega _{\mu }^{ab}}$es la conexión de espín .

Las reglas de transformación de supersimetría se dan hasta tres términos fermiónicos en ^{[ 12 ] : 324}

${\displaystyle \delta e^{a}{}_{\mu }={\tfrac {1}{2}}{\bar {\epsilon }}\gamma ^{a}\psi _{\mu },}$

${\displaystyle \delta \psi _{\mu }=D_{\mu }\epsilon +{\tfrac {1}{32}}e^{-\phi }(\gamma _{\mu }{}^{\nu \rho \sigma }-9\delta _{\mu }^{\nu }\gamma ^{\rho \sigma })\epsilon H_{\nu \rho \sigma },}$

${\displaystyle \delta B_{\mu \nu }={\tfrac {1}{2}}e^{\phi }{\bar {\epsilon }}(\gamma _{\mu }\psi _{\nu }-\gamma _{\nu }\psi _{\mu }-{\tfrac {1}{\sqrt {2}}}\gamma _{\mu \nu }\lambda )+{\tfrac {\kappa }{g}}e^{\phi /2}{\bar {\epsilon }}\gamma _{[\mu }{\text{tr}}(\chi A_{\nu ]}),}$

${\displaystyle \delta \phi =-{\tfrac {1}{2{\sqrt {2}}}}{\bar {\epsilon }}\lambda ,}$

${\displaystyle \delta \lambda =-{\tfrac {\kappa }{\sqrt {2}}}{\partial \!\!\!/}\phi +{\tfrac {1}{8{\sqrt {2}}}}e^{-\phi }\gamma ^{\mu \nu \rho }\epsilon H_{\mu \nu \rho },}$

${\displaystyle \delta A_{\mu }^{a}={\tfrac {g}{2\kappa }}e^{\phi /2}{\bar {\epsilon }}\gamma _{\mu }\chi ^{a},}$

${\displaystyle \delta \chi ^{a}=-{\tfrac {\kappa }{4g}}e^{-\phi /2}\gamma ^{\mu \nu }F_{\mu \nu }^{a}\epsilon .}$

El parámetro de supersimetría se denota por${\displaystyle \epsilon }$Estas reglas de transformación son útiles para construir las ecuaciones de espinores de Killing y encontrar estados fundamentales supersimétricos .

A nivel clásico, la supergravedad tiene un grupo de gauge arbitrario ; sin embargo, no todos los grupos de gauge son consistentes a nivel cuántico. ^{[ 13 ] : 98–101} El mecanismo de cancelación de anomalías de Green-Schwartz se utiliza para mostrar cuándo las anomalías de gauge , mixtas y gravitacionales se desvanecen en diagramas hexagonales . ^{[ 4 ]} En particular, las únicas teorías de supergravedad de tipo I libres de anomalías son aquellas con grupos de gauge de${\displaystyle {\text{SO}}(32)}$,${\displaystyle E_{8}\times E_{8}}$,${\displaystyle E_{8}\times {\text{U}}(1)^{248}}$, y${\displaystyle {\text{U}}(1)^{496}}$. Posteriormente se descubrió que las dos últimas con factores abelianos son teorías inconsistentes de la gravedad cuántica . ^{[ 14 ]} Las dos teorías restantes tienen completaciones ultravioletas a la teoría de cuerdas, donde también se puede demostrar que las teorías de cuerdas correspondientes están libres de anomalías a nivel de cuerdas.