Teoría cuántica de campos topológica

En las TQFT de tipo Schwarz , las funciones de correlación o las funciones de partición del sistema se calculan mediante la integral de trayectoria de funcionales de acción independientes de la métrica. Por ejemplo, en el modelo BF , el espaciotiempo es una variedad bidimensional M, las observables se construyen a partir de una 2-forma F, un escalar auxiliar B y sus derivadas. La acción (que determina la integral de trayectoria) es

${\displaystyle S=\int \limits _{M}BF}$

La métrica espaciotemporal no aparece en ninguna parte de la teoría, por lo que la teoría es explícitamente topológicamente invariante. El primer ejemplo apareció en 1977 y se debe a A. Schwarz ; su funcional de acción es:

${\displaystyle S=\int \limits _{M}A\wedge dA.}$

Otro ejemplo más conocido es la teoría de Chern-Simons , que se puede aplicar a los invariantes de nudos . En general, las funciones de partición dependen de una métrica, pero los ejemplos anteriores son independientes de la métrica.

El primer ejemplo de TQFT de tipo Witten apareció en el artículo de Witten de 1988 ( Witten 1988a ) , es decir, la teoría topológica de Yang-Mills en cuatro dimensiones. Aunque su funcional de acción contiene la métrica espaciotemporal g _αβ , después de una torsión topológica resulta ser independiente de la métrica. La independencia del tensor de energía-impulso T ^αβ del sistema con respecto a la métrica depende de si el operador BRST es cerrado. Siguiendo el ejemplo de Witten, se pueden encontrar muchos otros ejemplos en la teoría de cuerdas .

Los TQFT de tipo Witten surgen si se cumplen las siguientes condiciones:

1. La acción${\displaystyle S}$de la TQFT tiene una simetría, es decir, si${\displaystyle \delta }$denota una transformación de simetría (por ejemplo, una derivada de Lie ) entonces${\displaystyle \delta S=0}$sostiene.
2. La transformación de simetría es exacta , es decir${\displaystyle \delta ^{2}=0}$
3. Existen observables${\displaystyle O_{1},\dots ,O_{n}}$que satisfacen${\displaystyle \delta O_{i}=0}$a pesar de${\displaystyle i\in \{1,\dots ,n\}}$.
4. El tensor de energía-impulso (o cantidades físicas similares) tiene la forma${\displaystyle T^{\alpha \beta }=\delta G^{\alpha \beta }}$para un tensor arbitrario${\displaystyle G^{\alpha \beta }}$.

Como ejemplo ( Linker 2015 ) : Dado un campo de 2 formas${\displaystyle B}$con el operador diferencial${\displaystyle \delta }$lo cual satisface${\displaystyle \delta ^{2}=0}$, luego la acción${\displaystyle S=\int \limits _{M}B\wedge \delta B}$tiene una simetría si${\displaystyle \delta B\wedge \delta B=0}$desde

${\displaystyle \delta S=\int \limits _{M}\delta (B\wedge \delta B)=\int \limits _{M}\delta B\wedge \delta B+\int \limits _{M}B\wedge \delta ^{2}B=0.}$

Además, se cumple lo siguiente (bajo la condición de que${\displaystyle \delta }$es independiente de${\displaystyle B}$y actúa de forma similar a un derivado funcional ):

${\displaystyle {\frac {\delta }{\delta B^{\alpha \beta }}}S=\int \limits _{M}{\frac {\delta }{\delta B^{\alpha \beta }}}B\wedge \delta B+\int \limits _{M}B\wedge \delta {\frac {\delta }{\delta B^{\alpha \beta }}}B=\int \limits _{M}{\frac {\delta }{\delta B^{\alpha \beta }}}B\wedge \delta B-\int \limits _{M}\delta B\wedge {\frac {\delta }{\delta B^{\alpha \beta }}}B=-2\int \limits _{M}\delta B\wedge {\frac {\delta }{\delta B^{\alpha \beta }}}B.}$

La expresión${\displaystyle {\frac {\delta }{\delta B^{\alpha \beta }}}S}$es proporcional a${\displaystyle \delta G}$con otra forma 2${\displaystyle G}$.

Ahora bien, cualquier promedio de observables${\displaystyle \left\langle O_{i}\right\rangle$ :=\int d\mu O_{i}e^{iS}} para la medida de Haar correspondiente${\displaystyle \mu }$son independientes en el campo "geométrico"${\displaystyle B}$y por lo tanto son topológicas:

${\displaystyle {\frac {\delta }{\delta B}}\left\langle O_{i}\right\rangle =\int d\mu O_{i}i{\frac {\delta }{\delta B}}Se^{iS}\propto \int d\mu O_{i}\delta Ge^{iS}=\delta \left(\int d\mu O_{i}Ge^{iS}\right)=0}$.

La tercera igualdad utiliza el hecho de que${\displaystyle \delta O_{i}=\delta S=0}$y la invariancia de la medida de Haar bajo transformaciones de simetría. Dado que${\displaystyle \int d\mu O_{i}Ge^{iS}}$es solo un número, su derivada de Lie desaparece.

Atiyah sugirió un conjunto de axiomas para la teoría cuántica de campos topológica, inspirados en los axiomas propuestos por Segal para la teoría de campos conformes (posteriormente, la idea de Segal fue resumida en Segal (2001) ), y el significado geométrico de la supersimetría de Witten en Witten (1982) . Los axiomas de Atiyah se construyen pegando el límite con una transformación diferenciable (topológica o continua), mientras que los axiomas de Segal son para transformaciones conformes. Estos axiomas han sido relativamente útiles para tratamientos matemáticos de QFT de tipo Schwarz, aunque no está claro que capturen toda la estructura de QFT de tipo Witten. La idea básica es que una TQFT es un functor de una cierta categoría de cobordismos a la categoría de espacios vectoriales .

De hecho, existen dos conjuntos diferentes de axiomas que podrían denominarse razonablemente axiomas de Atiyah. Estos axiomas difieren fundamentalmente en si se aplican o no a una TQFT definida en un único espaciotiempo riemanniano/lorentziano fijo de n dimensiones M o a una TQFT definida en todos los espaciotiempos de n dimensiones a la vez.

Sea Λ un anillo conmutativo con 1 (para casi todos los propósitos del mundo real tendremos Λ = Z , R o C ). Atiyah propuso originalmente los axiomas de una teoría cuántica de campos topológica (TQFT) en dimensión d definida sobre un anillo base Λ de la siguiente manera:

• Un Λ-módulo Z (Σ) generado finitamente asociado a cada variedad d-dimensional suave cerrada y orientada Σ (correspondiente al axioma de homotopía ),
• Un elemento Z ( M ) ∈ Z (∂ M ) asociado a cada variedad suave orientada de ( d + 1) dimensiones (con frontera) M (que corresponde a un axioma aditivo ).

Estos datos están sujetos a los siguientes axiomas (los axiomas 4 y 5 fueron añadidos por Atiyah):

1. Z es funtorial con respecto a los difeomorfismos de Σ y M que preservan la orientación ,
2. Z es involutivo , es decir Z (Σ*) = Z (Σ)* donde Σ* es Σ con orientación opuesta y Z (Σ)* denota el módulo dual,
3. Z es multiplicativo .
4. Z (${\displaystyle \emptyset }$) = Λ para la variedad vacía d-dimensional y Z (${\displaystyle \emptyset }$) = 1 para la variedad vacía de ( d + 1) dimensiones.
5. Z ( M* ) = Z ( M ) (el axioma hermitiano ). Si${\displaystyle \partial M=\Sigma _{0}^{*}\cup \Sigma _{1}}$de modo que Z ( M ) puede verse como una transformación lineal entre espacios vectoriales hermíticos, entonces esto es equivalente a que Z ( M* ) sea el adjunto de Z ( M ).

Observación . Si para una variedad cerrada M consideramos Z ( M ) como un invariante numérico, entonces para una variedad con frontera debemos pensar en Z ( M ) ∈ Z (∂M ) como un invariante "relativo". Sea f  : Σ → Σ un difeomorfismo que preserva la orientación, e identifiquemos los extremos opuestos de Σ × I mediante f . Esto da una variedad Σ _f y nuestros axiomas implican

${\displaystyle Z(\Sigma _{f})=\operatorname {Trace} \ \Sigma (f)}$

donde Σ( f ) es el automorfismo inducido de Z (Σ).

Observación . Para una variedad M con frontera Σ, siempre podemos formar el doble${\displaystyle M\cup _{\Sigma }M^{*}}$que es una variedad cerrada. El quinto axioma muestra que

${\displaystyle Z\left(M\cup _{\Sigma }M^{*}\right)=|Z(M)|^{2}}$

donde a la derecha calculamos la norma en la métrica hermitiana (posiblemente indefinida).

Físicamente, (2) + (4) están relacionados con la invariancia relativista, mientras que (3) + (5) son indicativos de la naturaleza cuántica de la teoría.

Σ se utiliza para indicar el espacio físico (generalmente, d = 3 para la física estándar) y la dimensión extra en Σ × I es el tiempo "imaginario". El espacio Z (Σ) es el espacio de Hilbert de la teoría cuántica y una teoría física, con un hamiltoniano H , tendrá un operador de evolución temporal e ^itH o un operador de "tiempo imaginario" e ^−tH . La característica principal de las QFT topológicas es que H = 0, lo que implica que no hay dinámica real ni propagación a lo largo del cilindro Σ × I. Sin embargo, puede haber "propagación" no trivial (o amplitudes de tunelización) de Σ ₀ a Σ ₁ a través de una variedad intermedia M con${\displaystyle \partial M=\Sigma _{0}^{*}\cup \Sigma _{1}}$; esto refleja la topología de M.

Si ∂ M = Σ, entonces el vector distinguido Z ( M ) en el espacio de Hilbert Z (Σ) se considera como el estado de vacío definido por M . Para una variedad cerrada M, el número Z ( M ) es el valor esperado del vacío . Por analogía con la mecánica estadística, también se le llama función de partición .

La razón por la que una teoría con un hamiltoniano cero puede formularse de manera sensata reside en el enfoque de la integral de camino de Feynman para la teoría cuántica de campos. Este enfoque incorpora la invariancia relativista (que se aplica a "espaciotiempos" generales de ( d + 1) dimensiones) y la teoría se define formalmente mediante un lagrangiano adecuado , un funcional de los campos clásicos de la teoría. Un lagrangiano que involucra solo primeras derivadas en el tiempo conduce formalmente a un hamiltoniano cero, pero el lagrangiano en sí puede tener características no triviales que se relacionan con la topología de M.

En 1988, M. Atiyah publicó un artículo en el que describía muchos ejemplos nuevos de teoría cuántica de campos topológica que se consideraban en ese momento ( Atiyah 1988a ) ( Atiyah 1988b ) . Contiene algunos invariantes topológicos nuevos junto con algunas ideas nuevas: el invariante de Casson , el invariante de Donaldson , la teoría de Gromov , la homología de Floer y la teoría de Jones-Witten .

Sea Bord _M la categoría cuyos morfismos son subvariedades n -dimensionales de M y cuyos objetos son componentes conexas de las fronteras de dichas subvariedades. Consideremos dos morfismos como equivalentes si son homotópicos a través de subvariedades de M , y así forman la categoría cociente hBord _M : Los objetos en hBord _M son los objetos de Bord _M , y los morfismos de hBord _M son clases de equivalencia homotópica de morfismos en Bord _M . Un TQFT en M es un functor monoidal simétrico de hBord _M a la categoría de espacios vectoriales.

Cabe destacar que, si sus límites coinciden, los cobordismos pueden unirse para formar un nuevo bordismo. Esta es la ley de composición para los morfismos en la categoría de cobordismos. Dado que se requiere que los functores preserven la composición, esto significa que la aplicación lineal correspondiente a un morfismo unido es simplemente la composición de la aplicación lineal de cada pieza.

Existe una equivalencia de categorías entre la categoría de teorías cuánticas de campos topológicas bidimensionales y la categoría de álgebras de Frobenius conmutativas .

Para considerar todos los espaciotiempos a la vez, es necesario reemplazar hBord _M por una categoría mayor. Así pues, sea Bord _n ​​la categoría de bordismos, es decir, la categoría cuyos morfismos son variedades n- dimensionales con frontera, y cuyos objetos son las componentes conexas de las fronteras de variedades n-dimensionales. (Nótese que cualquier variedad ( n -1)-dimensional puede aparecer como objeto en Bord _n ). Como se indicó anteriormente, consideremos dos morfismos en Bord _n ​​como equivalentes si son homotópicos, y formamos la categoría cociente hBord _n . Bord _n ​​es una categoría monoidal bajo la operación que mapea dos bordismos al bordismo formado por su unión disjunta. Un TQFT en variedades n -dimensionales es entonces un functor de hBord _n ​​a la categoría de espacios vectoriales, que mapea uniones disjuntas de bordismos a su producto tensorial.

Por ejemplo, para los bordismos de (1 + 1) dimensiones (bordismos de 2 dimensiones entre variedades de 1 dimensión), el mapa asociado a un par de pantalones da un producto o coproducto, dependiendo de cómo se agrupen los componentes del borde, que es conmutativo o coconmutativo, mientras que el mapa asociado a un disco da una counidad (traza) o una unidad (escalares), dependiendo de la agrupación de los componentes del borde, y por lo tanto, las TQFT de (1+1) dimensiones corresponden a álgebras de Frobenius .

Además, podemos considerar simultáneamente variedades de 4, 3 y 2 dimensiones relacionadas por los bordismos mencionados anteriormente, y a partir de ellas podemos obtener ejemplos amplios e importantes.

Al analizar el desarrollo de la teoría cuántica de campos topológica, debemos considerar sus numerosas aplicaciones a la teoría de gauge de Seiberg-Witten , la teoría de cuerdas topológica , la relación entre la teoría de nudos y la teoría cuántica de campos, y los invariantes de nudos cuánticos . Además, ha generado temas de gran interés tanto en matemáticas como en física. También son de gran interés reciente los operadores no locales en la teoría cuántica de campos topológica ( Gukov y Kapustin (2013) ). Si la teoría de cuerdas se considera fundamental, entonces las teorías cuánticas de campos topológicas no locales pueden verse como modelos no físicos que proporcionan una aproximación computacionalmente eficiente a la teoría de cuerdas local.

Las ecuaciones diferenciales estocásticas (parciales) (EDE) son la base de los modelos de todo en la naturaleza por encima de la escala de degeneración y coherencia cuántica y son esencialmente TQFT de tipo Witten. Todas las EDE poseen supersimetría topológica o BRST ,${\displaystyle \delta }$y en la representación del operador de la dinámica estocástica es la derivada exterior , que es conmutativa con el operador de evolución estocástica. Esta supersimetría preserva la continuidad del espacio de fases mediante flujos continuos, y el fenómeno de ruptura espontánea supersimétrica por un estado fundamental global no supersimétrico abarca conceptos físicos tan establecidos como el caos , la turbulencia , los ruidos 1/f y crepitantes , la criticidad autoorganizada , etc. El sector topológico de la teoría para cualquier EDE puede reconocerse como una TQFT de tipo Witten.