Número cuántico topológico

En física , un número cuántico topológico (también llamado carga topológica ) es cualquier magnitud, en una teoría física, que toma solo uno de un conjunto discreto de valores, debido a consideraciones topológicas . Generalmente, los números cuánticos topológicos son invariantes topológicos asociados con defectos topológicos o soluciones de tipo solitón de algún conjunto de ecuaciones diferenciales que modelan un sistema físico, ya que los propios solitones deben su estabilidad a consideraciones topológicas. Las "consideraciones topológicas" específicas suelen deberse a la aparición del grupo fundamental o de un grupo de homotopía de dimensión superior en la descripción del problema, a menudo porque el contorno, en el que se especifican las condiciones de contorno , tiene un grupo de homotopía no trivial que se conserva en las ecuaciones diferenciales. El número cuántico topológico de una solución a veces se denomina número de enrollamiento de la solución o, más precisamente, es el grado de una aplicación continua . ^{[ 1 ]}

El concepto de números cuánticos topológicos que se crean o destruyen durante las transiciones de fase surgió en la física de la materia condensada en la década de 1970. La transición de Kosterlitz-Thouless demostró cómo los defectos topológicos , como los vórtices , podían crearse y aniquilarse durante las transiciones de fase en sistemas bidimensionales. ^{[ 2 ]} Simultáneamente, en la teoría cuántica de campos, el modelo de monopolo de ' t Hooft-Polyakov demostró cómo las estructuras topológicas, como los monopolos magnéticos , podían aparecer o desaparecer dependiendo de la fase de un campo, vinculando las transiciones de fase con cambios en los números cuánticos topológicos. ^{[ 3 ]} En la década de 1980, el modelo teórico de Haldane demostró que los materiales pueden poseer números cuánticos topológicos como el número de Chern , lo que puede conducir a diferentes fases de la materia. Este concepto se exploró más a fondo con el desarrollo de fases topológicas, incluidos los efectos Hall cuánticos fraccionarios y los aislantes topológicos . ^{[ 4 ] [ 5 ]}

En física de partículas , un ejemplo lo proporciona el skyrmión , cuyo número bariónico es un número cuántico topológico. Su origen radica en que el isospín se modela mediante SU(2) , que es isomorfo a la 3-esfera.${\displaystyle S^{3}}$y${\displaystyle S^{3}}$hereda la estructura de grupo de SU(2) a través de su asociación biyectiva, por lo que el isomorfismo pertenece a la categoría de grupos topológicos. Al tomar el espacio tridimensional real y cerrarlo con un punto en el infinito, también se obtiene una 3-esfera. Las soluciones a las ecuaciones de Skyrme en el espacio tridimensional real mapean un punto en el espacio "real" (físico; euclidiano) a un punto en la 3-variedad SU(2). Las soluciones topológicamente distintas "envuelven" una esfera alrededor de la otra, de tal manera que una solución, sin importar cómo se deforme, no puede "desenvolverse" sin crear una discontinuidad en la solución. En física, tales discontinuidades están asociadas con energía infinita y, por lo tanto, no están permitidas.

En el ejemplo anterior, la afirmación topológica es que el tercer grupo de homotopía de la esfera tres es

${\displaystyle \pi _{3}(S^{3})=\mathbb {Z} }$

y por lo tanto, el número bariónico solo puede tomar valores enteros.

Una generalización de estas ideas se encuentra en el modelo de Wess-Zumino-Witten .

Se pueden encontrar ejemplos adicionales en el dominio de los modelos exactamente solubles , como la ecuación de seno-Gordon , la ecuación de Korteweg-de Vries y la ecuación de Ishimori . La ecuación de seno-Gordon unidimensional constituye un ejemplo particularmente simple, ya que el grupo fundamental en juego es

${\displaystyle \pi _{1}(S^{1})=\mathbb {Z} }$

y por lo tanto es literalmente un número de vueltas : un círculo puede enrollarse alrededor de otro círculo un número entero de veces. El modelo cuántico de seno-Gordon es equivalente al modelo masivo de Thirring . Las excitaciones fundamentales son fermiones: número cuántico topológico${\displaystyle \mathbb {Z} }$es el número de fermiones . Después de la cuantización del modelo de seno-Gordon, la carga topológica se vuelve 'fraccional'. Una consideración consistente de la renormalización ultravioleta muestra que un número fraccional de fermiones se repelen por encima del corte ultravioleta. Por lo tanto, el${\displaystyle \mathbb {Z} }$se multiplica por un número fraccionario que depende de la constante de Planck .

En física del estado sólido , ciertos tipos de dislocaciones cristalinas , como las dislocaciones helicoidales , pueden describirse mediante solitones topológicos. Un ejemplo son las dislocaciones helicoidales asociadas a los filamentos de germanio .

• Transformación de dispersión inversa
• Cargo central
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• Topología cuántica
• defecto topológico
• Entropía topológica en física
• Orden topológico
• Teoría cuántica de campos topológica
• teoría de cuerdas topológica

• Thouless, DJ (1998). Números cuánticos topológicos en física no relativista . World Scientific. ISBN 981-02-2900-3.