Lógica proposicional

La lógica proposicional es una rama de la lógica clásica . ^{[ 1 ]}^{[ 2 ]} También se la llama lógica de enunciados , ^{[ 1 ]} cálculo sentencial , ^{[ 3 ]} cálculo proposicional , ^{[ 4 ]}^{[ a ]} lógica sentencial , ^{[ 5 ]}^{[ 1 ]} o a veces lógica de orden cero . ^{[ b ]}^{[ 7 ]}^{[ 8 ]}^{[ 9 ]} A veces, se la llama lógica proposicional de primer orden ^{[ 10 ]} para contrastarla con el Sistema F , pero es distinta de la lógica de primer orden . Se ocupa de proposiciones ^{[ 1 ]} (que pueden ser verdaderas o falsas ) ^{[ 11 ]} y relaciones entre proposiciones, ^{[ 12 ]} incluyendo la construcción de argumentos basados en ellas. ^{[ 13 ]} Las proposiciones compuestas se forman conectando proposiciones mediante conectores lógicos que representan las funciones de verdad de conjunción , disyunción , implicación , bicondicional y negación . ^{[ 14 ]}^{[ 15 ]}^{[ 16 ]}^{[ 17 ]} Algunas fuentes incluyen otros conectores, como en la tabla siguiente.

A diferencia de la lógica de primer orden , la lógica proposicional no trata con objetos no lógicos, predicados sobre ellos ni cuantificadores . Sin embargo, todo el aparato de la lógica proposicional está incluido en la lógica de primer orden y en las lógicas de orden superior. En este sentido, la lógica proposicional es el fundamento de la lógica de primer orden y de las lógicas de orden superior.

La lógica proposicional se estudia típicamente con un lenguaje formal , ^{[ c ]} en el que las proposiciones se representan mediante letras, llamadas variables proposicionales . Estas se utilizan, junto con símbolos para los conectores, para formar fórmulas proposicionales . Por ello, las variables proposicionales se denominan fórmulas atómicas de un lenguaje proposicional formal. ^{[ 15 ]}^{[ 2 ]} Si bien las proposiciones atómicas se representan típicamente con letras del alfabeto , ^{[ d ]}^{[ 15 ]} existe una variedad de notaciones para representar los conectores lógicos. Para beneficio de los lectores que solo estén familiarizados con una notación variante diferente para los conectores lógicos, la siguiente tabla muestra las principales variantes de notación para cada uno de los conectores en lógica proposicional. Históricamente se han utilizado otras notaciones, como la notación polaca . Para conocer la historia de cada uno de estos símbolos, consulte los artículos correspondientes, así como el artículo " Conector lógico ".

La rama más estudiada de la lógica proposicional es la lógica proposicional veritativo-funcional clásica , ^{[ 1 ]} en la que las fórmulas se interpretan como poseedoras de uno de dos posibles valores de verdad : verdadero o falso . [ ^{20 ] Se} mantienen el principio de bivalencia y la ley del tercero excluido . En comparación con la lógica de primer orden , la lógica proposicional veritativo-funcional se considera lógica de orden cero . ^{[ 8 ]}^{[ 9 ]}

Historia

Aunque filósofos anteriores ya habían insinuado la lógica proposicional, a Crisipo se le suele atribuir el desarrollo de un sistema deductivo para dicha lógica como su principal logro en el siglo III a. C. ^{[ 21 ]} , el cual fue ampliado por sus sucesores, los estoicos . Esta lógica se centraba en las proposiciones , a diferencia de la lógica silogística tradicional , que se centraba en los términos . Sin embargo, la mayor parte de los escritos originales se perdieron ^{[ 22 ]} y, en algún momento entre los siglos III y VI d. C., la lógica estoica cayó en el olvido, para ser rescatada recién en el siglo XX, tras el (re)descubrimiento de la lógica proposicional. ^{[ 23 ]}

La lógica simbólica , que resultaría fundamental para refinar la lógica proposicional, fue desarrollada inicialmente por el matemático Gottfried Leibniz , de los siglos XVII y XVIII , cuyo cálculo ratiocinador , sin embargo, era desconocido para la comunidad lógica en general. En consecuencia, muchos de los avances logrados por Leibniz fueron recreados por lógicos como George Boole y Augustus De Morgan , de forma completamente independiente de Leibniz. ^{[ 24 ]}

La lógica de predicados de Gottlob Frege se basa en la lógica proposicional y se ha descrito como una combinación de "los rasgos distintivos de la lógica silogística y la lógica proposicional". ^{[ 25 ]} En consecuencia, la lógica de predicados marcó el comienzo de una nueva era en la historia de la lógica; sin embargo, después de Frege se siguieron produciendo avances en la lógica proposicional, incluyendo la deducción natural , los árboles de verdad y las tablas de verdad . La deducción natural fue inventada por Gerhard Gentzen y Stanisław Jaśkowski . Los árboles de verdad fueron inventados por Evert Willem Beth . ^{[ 26 ]} Sin embargo, la invención de las tablas de verdad es de atribución incierta.

En las obras de Frege ^{[ 27 ]} y Bertrand Russell [ ²⁸^] se encuentran ideas que influyeron en la invención de las tablas de verdad. La estructura tabular propiamente dicha (formateada como una tabla) se atribuye generalmente a Ludwig Wittgenstein o ^a Emil Post (o a ambos, independientemente) ^[²⁷^] . Además de Frege y Russell, entre otros autores a quienes se les atribuyen ideas previas a las tablas de verdad se encuentran Filón, Boole, Charles Sanders Peirce ^[²⁹^] y Ernst Schröder . Otros autores a quienes se les atribuye la estructura tabular son Jan Łukasiewicz , Alfred North Whitehead , William Stanley Jevons , John Venn y Clarence Irving Lewis ^[²⁸^] . En última instancia, algunos han concluido, como John Shosky, que «no está nada claro que a una sola persona se le deba otorgar el título de "inventor" de las tablas de verdad» ^[²⁸^{] .}

Oraciones

La lógica proposicional, tal como se estudia actualmente en las universidades, es una especificación de un estándar de consecuencia lógica en el que solo se consideran los significados de los conectores proposicionales al evaluar las condiciones de verdad de una oración, o si una oración se deduce lógicamente de otra oración o grupo de oraciones. ^{[ 2 ]}

oraciones declarativas

La lógica proposicional se ocupa de enunciados , que se definen como oraciones declarativas con valor de verdad. ^{[ 30 ]}^{[ 1 ]} Algunos ejemplos de enunciados podrían ser:

Wikipedia es una enciclopedia en línea gratuita que cualquiera puede editar.
Londres es la capital de Inglaterra .
Todos los editores de Wikipedia hablan al menos tres idiomas .

Las oraciones declarativas se contrastan con las preguntas , como "¿Qué es Wikipedia?", y las afirmaciones imperativas , como "Por favor, añada citas para respaldar las afirmaciones de este artículo". ^{[ 31 ]}^{[ 32 ]} Estas oraciones no declarativas no tienen valor de verdad , ^{[ 33 ]} y solo se tratan en lógicas no clásicas , llamadas lógicas erotéticas e imperativas .

Oraciones compuestas con conectores

En lógica proposicional, un enunciado puede contener uno o más enunciados como partes. ^{[ 1 ]} Las oraciones compuestas se forman a partir de oraciones más simples y expresan relaciones entre las oraciones constituyentes. ^{[ 34 ]} Esto se hace combinándolas con conectores lógicos : ^{[ 34 ]}^{[ 35 ]} Los principales tipos de oraciones compuestas son las negaciones , las conjunciones , las disyunciones , las implicaciones y las bicondicionales , ^{[ 34 ]} que se forman utilizando los conectores correspondientes para conectar proposiciones. ^{[ 36 ]}^{[ 37 ]} En inglés , estos conectores se expresan con las palabras "and" ( conjunción ), "or" ( disyunción ), "not" ( negación ), "if" ( condicional material ) y "if and only if" ( bicondicional ). ^{[ 1 ]}^{[ 14 ]} Ejemplos de tales oraciones compuestas podrían incluir:

Wikipedia es una enciclopedia en línea gratuita que cualquiera puede editar, y millones de personas ya lo han hecho .
No es cierto que todos los editores de Wikipedia hablen al menos tres idiomas. (negación)
O Londres es la capital de Inglaterra, o Londres es la capital del Reino Unido , o ambas. (disyunción)^{[ f ]}

Si las oraciones carecen de conectores lógicos , se denominan oraciones simples ^{[ 1 ]} u oraciones atómicas ^{[ 35 ]} ; si contienen uno o más conectores lógicos, se denominan oraciones compuestas [ ³⁴^] u oraciones ^moleculares^[³⁵^] .

Los conectores oracionales son una categoría más amplia que incluye los conectores lógicos. ^{[ 2 ]}^{[ 35 ]} Los conectores oracionales son partículas lingüísticas que unen oraciones para crear una nueva oración compuesta, ^{[ 2 ]}^{[ 35 ]} o que flexionan una sola oración para crear una nueva oración. ^{[ 2 ]} Un conector lógico , o conector proposicional , es un tipo de conector oracional con la característica de que, cuando las oraciones originales sobre las que opera son (o expresan) proposiciones , la nueva oración que resulta de su aplicación también es (o expresa) una proposición . ^{[ 2 ]} Los filósofos discrepan sobre qué es exactamente una proposición, ^{[ 11 ]}^{[ 2 ]} así como sobre qué conectores oracionales en los lenguajes naturales deben considerarse conectores lógicos. ^{[ 35 ]}^{[ 2 ]} Los conectores oracionales también se denominan functores oracionales , ^{[ 38 ]} y los conectores lógicos también se denominan functores de verdad . ^{[ 38 ]}

Argumentos

Un argumento se define como un par de cosas, a saber, un conjunto de oraciones, llamadas premisas , ^{[ g ]} y una oración, llamada conclusión . ^{[ 39 ]}^{[ 35 ]}^{[ 38 ]} Se afirma que la conclusión se deriva de las premisas, ^{[ 38 ]} y se afirma que las premisas apoyan la conclusión. ^{[ 35 ]}

Ejemplo de argumento

El siguiente es un ejemplo de un argumento dentro del ámbito de la lógica proposicional:

Premisa 1: Si está lloviendo, entonces está nublado.

Premisa 2: Está lloviendo.

Conclusión: Está nublado.

La forma lógica de este argumento se conoce como modus ponens , ^{[ 40 ]} que es una forma clásicamente válida . ^{[ 41 ]} Así pues, en lógica clásica, el argumento es válido , aunque puede ser o no sólido , dependiendo de los hechos meteorológicos en un contexto dado. Este ejemplo de argumento se reutilizará al explicar la sección Formalización .

Validez y solidez

Un argumento es válido si, y solo si, es necesario que, si todas sus premisas son verdaderas, su conclusión sea verdadera. ^{[ 39 ]}^{[ 42 ]}^{[ 43 ]} Alternativamente, un argumento es válido si, y solo si, es imposible que todas las premisas sean verdaderas mientras que la conclusión sea falsa. ^{[ 43 ]}^{[ 39 ]}

La validez se contrapone a la solidez . ^{[ 43 ]} Un argumento es sólido si, y solo si, es válido y todas sus premisas son verdaderas. ^{[ 39 ]}^{[ 43 ]} De lo contrario, es insólito . ^{[ 43 ]}

La lógica, en general, tiene como objetivo especificar con precisión los argumentos válidos. ^{[ 35 ]} Esto se hace definiendo un argumento válido como aquel en el que su conclusión es una consecuencia lógica de sus premisas, ^{[ 35 ]} lo cual, cuando se entiende como consecuencia semántica , significa que no hay ningún caso en el que las premisas sean verdaderas pero la conclusión no lo sea ^{[ 35 ]} – véase § Semántica más adelante.

Formalización

La lógica proposicional se estudia típicamente mediante un sistema formal en el que las fórmulas de un lenguaje formal se interpretan para representar proposiciones . Este lenguaje formal es la base de los sistemas de demostración , que permiten derivar una conclusión a partir de premisas si, y solo si, es una consecuencia lógica de ellas. Esta sección mostrará cómo funciona esto formalizando el argumento del § Ejemplo . El lenguaje formal para un cálculo proposicional se especificará completamente en el § Lenguaje , y se dará una descripción general de los sistemas de demostración en el § Sistemas de demostración .

Variables proposicionales

Dado que la lógica proposicional no se ocupa de la estructura de las proposiciones más allá del punto en que ya no pueden descomponerse mediante conectores lógicos, ^{[ 40 ]}^{[ 1 ]} se estudia típicamente reemplazando tales enunciados atómicos (indivisibles) con letras del alfabeto, que se interpretan como variables que representan enunciados ( variables proposicionales ). ^{[ 1 ]} Con variables proposicionales, el argumento § Ejemplo se simbolizaría entonces de la siguiente manera:

Premisa 1:

P\to Q

Premisa 2:

P

Conclusión:

Q

Cuando $P$ se interpreta como "Está lloviendo" y $Q$ como "Está nublado", estas expresiones simbólicas se corresponden exactamente con la expresión original en lenguaje natural. No solo eso, sino que también se corresponderán con cualquier otra inferencia con la misma forma lógica .

Cuando se utiliza un sistema formal para representar la lógica formal, solo las letras de las declaraciones (generalmente letras romanas mayúsculas como $P$ , $Q$ y $R$ ) se representan directamente. Las proposiciones del lenguaje natural que surgen cuando se interpretan están fuera del alcance del sistema, y la relación entre el sistema formal y su interpretación también está fuera del propio sistema formal.

Notación de Gentzen

Si asumimos que la validez del modus ponens ha sido aceptada como un axioma , entonces el mismo argumento del § Ejemplo también puede representarse de esta manera:

{\frac {P\to Q,P}{Q}}

Este método de representación es la notación de Gentzen para la deducción natural y el cálculo de secuentes . ^{[ 44 ]} Las premisas se muestran sobre una línea, llamada línea de inferencia , ^{[ 16 ]} separadas por una coma , que indica la combinación de premisas. ^{[ 45 ]} La conclusión se escribe debajo de la línea de inferencia. ^{[ 16 ]} La línea de inferencia representa la consecuencia sintáctica , ^{[ 16 ]} a veces llamada consecuencia deductiva , ^{[ 46 ]} que también se simboliza con ⊢. ^{[ 47 ]}^{[ 46 ]} Por lo tanto, lo anterior también se puede escribir en una sola línea como $P\to Q,P\vdash Q$ . ^{[ h ]}

La consecuencia sintáctica se contrapone a la consecuencia semántica , ^{[ 48 ]} que se simboliza con ⊧. ^{[ 47 ]}^{[ 46 ]} En este caso, la conclusión se deduce sintácticamente porque se ha asumido la regla de inferencia deductiva natural del modus ponens . Para más información sobre reglas de inferencia, véanse las secciones sobre sistemas de prueba a continuación.

Idioma

El idioma (comúnmente llamado ${\mathcal {L}}$ ) ^{[ 46 ]}^{[ 49 ]}^{[ 35 ]} de un cálculo proposicional se define en términos de: ^{[ 2 ]}^{[ 15 ]}

un conjunto de símbolos primitivos, llamados fórmulas atómicas , oraciones atómicas , ^{[ 40 ]}^{[ 35 ]} átomos, ^{[ 50 ]} marcadores de posición , fórmulas primas , ^{[ 50 ]} letras de proposición , letras de oración , ^{[ 40 ]} o variables , y
un conjunto de símbolos de operadores, llamados conectivos , ^{[ 19 ]}^{[ 1 ]}^{[ 51 ]} conectivos lógicos , ^{[ 1 ]} operadores lógicos , ^{[ 1 ]} conectivos veritativo-funcionales, ^{[ 1 ]} functores de verdad , ^{[ 38 ]} o conectivos proposicionales . ^{[ 2 ]}

Una fórmula bien formada es cualquier fórmula atómica, o cualquier fórmula que pueda construirse a partir de fórmulas atómicas mediante símbolos de operadores según las reglas de la gramática. El lenguaje ${\mathcal {L}}$ , entonces, se define como idéntico a su conjunto de fórmulas bien formadas, ^{[ 49 ]} o como conteniendo ese conjunto (junto con, por ejemplo, su conjunto de conectivos y variables). ^{[ 15 ]}^{[ 35 ]}

Por lo general, la sintaxis de ${\mathcal {L}}$ se define recursivamente mediante solo unas pocas definiciones, como se verá a continuación; algunos autores incluyen explícitamente los paréntesis como signos de puntuación al definir la sintaxis de su lenguaje, ^{[ 35 ]}^{[ 52 ]} mientras que otros los usan sin comentarios. ^{[ 2 ]}^{[ 15 ]}

Sintaxis

Dado un conjunto de variables proposicionales atómicas $p_{1}$ , $p_{2}$ , $p_{3}$ , ..., y un conjunto de conectores proposicionales $c_{1}^{1}$ , $c_{2}^{1}$ , $c_{3}^{1}$ , ..., $c_{1}^{2}$ , $c_{2}^{2}$ , $c_{3}^{2}$ , ..., $c_{1}^{3}$ , $c_{2}^{3}$ , $c_{3}^{3}$ , ..., una fórmula de lógica proposicional se define recursivamente mediante estas definiciones: ^{[ 2 ]}^{[ 15 ]}^{[ 51 ]}^{[ i ]}

Definición 1 : Las variables proposicionales atómicas son fórmulas.

Definición 2 : Si

c_{n}^{m}

es un conector proposicional, y

\langle

A, B, C, …

\rangle

es una secuencia de m fórmulas, posiblemente pero no necesariamente atómicas, posiblemente pero no necesariamente distintas, entonces el resultado de aplicar

c_{n}^{m}

a

\langle

A, B, C, …

\rangle

es una fórmula.

Definición 3: Nada más es una fórmula.

Redactar el resultado de la solicitud $c_{n}^{m}$ a $\langle$ A, B, C, ... $\rangle$ en notación funcional, como $c_{n}^{m}$ (A, B, C, ...), tenemos los siguientes ejemplos de fórmulas bien formadas:

$p_{5}$
${\ Displaystyle c_ {3} ^ {2} (p_ {2}, p_ {9})}$
$c_{3}^{2}(p_{1},c_{2}^{1}(p_{3}))$
$c_{1}^{3}(p_{4},p_{6},c_{2}^{2}(p_{1},p_{2}))$
$c_{4}^{2}(c_{1}^{1}(p_{7}),c_{3}^{1}(p_{8}))$
$c_{2}^{3}(c_{1}^{2}(p_{3},p_{4}),c_{2}^{1}(p_{5}),c_{3}^{2}(p_{6},p_{7}))$
$c_{3}^{1}(c_{1}^{3}(p_{2},p_{3},c_{2}^{2}(p_{4},p_{5})))$

Lo que se dio como Definición 2 arriba, que es responsable de la composición de fórmulas, es denominado por Colin Howson como el principio de composición . ^{[ 40 ]}^{[ j ]} Es esta recursión en la definición de la sintaxis de un lenguaje lo que justifica el uso de la palabra "atómico" para referirse a las variables proposicionales, ya que todas las fórmulas en el lenguaje ${\mathcal {L}}$ Se construyen a partir de átomos como bloques de construcción fundamentales. ^{[ 2 ]} Las fórmulas compuestas (todas las fórmulas que no son átomos) se denominan moléculas , ^{[ 50 ]} o frases moleculares . ^{[ 35 ]} (Esta es una analogía imperfecta con la química , ya que una molécula química a veces puede tener solo un átomo, como en los gases monoatómicos ). ^{[ 50 ]}

La definición de que "nada más es una fórmula", dada arriba como Definición 3 , excluye del lenguaje cualquier fórmula que no sea requerida específicamente por las demás definiciones de la sintaxis. ^{[ 38 ]} En particular, excluye las fórmulas infinitamente largas de ser bien formadas . ^{[ 38 ]} A veces se la denomina Cláusula de Cierre . ^{[ 54 ]}

Gramática CF en BNF

Una alternativa a las definiciones de sintaxis dadas anteriormente es escribir una gramática libre de contexto (CF) para el lenguaje. ${\mathcal {L}}$ en forma Backus-Naur (BNF). ^{[ 55 ]}^{[ 56 ]} Esto es más común en ciencias de la computación que en filosofía . ^{[ 56 ]} Se puede hacer de muchas maneras, ^{[ 55 ]} de las cuales una particularmente breve, para el conjunto común de cinco conectores, es esta única cláusula: ^{[ 56 ]}^{[ 57 ]}

{\displaystyle \phi

Esta cláusula, debido a su naturaleza autorreferencial (ya que $\phi$ está en algunas ramas de la definición de $\phi$ ), también actúa como una definición recursiva y, por lo tanto, especifica todo el lenguaje. Para ampliarlo e incluir operadores modales , basta con añadir... $|~\Box \phi ~|~\Diamond \phi$ hasta el final de la cláusula. ^{[ 56 ]}

Constantes y esquemas

Los matemáticos a veces distinguen entre constantes proposicionales, variables proposicionales y esquemas. Las constantes proposicionales representan alguna proposición particular, ^{[ 58 ]} mientras que las variables proposicionales abarcan el conjunto de todas las proposiciones atómicas. ^{[ 58 ]} Los esquemas, o letras esquemáticas , sin embargo, abarcan todas las fórmulas. ^{[ 38 ]}^{[ 1 ]} (Las letras esquemáticas también se llaman metavariables .) ^{[ 39 ]} Es común representar las constantes proposicionales por $A$ , $B$ y $C$ , las variables proposicionales por $P$ , $Q$ y $R$ , y las letras esquemáticas suelen ser letras griegas, con mayor frecuencia $φ$ , $ψ$ y $χ$ . ^{[ 38 ]}^{[ 1 ]}

Sin embargo, algunos autores reconocen solo dos "constantes proposicionales" en su sistema formal: el símbolo especial $\top$ , llamada "verdad", que siempre se evalúa como Verdadero , y el símbolo especial $\bot$ , llamado "falsedad", que siempre se evalúa como Falso . ^{[ 59 ]}^{[ 60 ]}^{[ 61 ]} Otros autores también incluyen estos símbolos, con el mismo significado, pero los consideran "funtores de verdad de lugar cero", ^{[ 38 ]} o equivalentemente, " conectivos nulos ". ^{[ 51 ]}

Semántica

Para servir como modelo de la lógica de un lenguaje natural dado , un lenguaje formal debe ser interpretado semánticamente. ^{[ 35 ]} En lógica clásica , todas las proposiciones se evalúan a exactamente uno de dos valores de verdad : Verdadero o Falso . ^{[ 1 ]}^{[ 62 ]} Por ejemplo, " Wikipedia es una enciclopedia en línea gratuita que cualquiera puede editar" se evalúa a Verdadero , ^[⁶³^] mientras que "Wikipedia es una enciclopedia en papel " se evalúa a Falso . ^[⁶⁴^]

En otros aspectos, la siguiente semántica formal puede aplicarse al lenguaje de cualquier lógica proposicional, pero los supuestos de que solo hay dos valores semánticos ( bivalencia ), que solo uno de los dos se asigna a cada fórmula en el lenguaje ( no contradicción ) y que a cada fórmula se le asigna un valor ( principio del tercero excluido ), son características distintivas de la lógica clásica. ^{[ 62 ]}^{[ 65 ]}^{[ 38 ]} Para aprender sobre lógicas no clásicas con más de dos valores de verdad y su semántica única, se pueden consultar los artículos sobre " Lógica multivaluada ", " Lógica trivaluada ", " Lógica finita " y " Lógica infinita ".

Interpretación (caso) y argumentación

Para un idioma dado ${\mathcal {L}}$ , una interpretación , ^{[ 66 ]} valoración , ^{[ 52 ]} valoración booleana , ^{[ 67 ]} o caso , ^{[ 35 ]}^{[ k ]} es una asignación de valores semánticos a cada fórmula de ${\mathcal {L}}$ . ^{[ 35 ]} Para un lenguaje formal de lógica clásica, un caso se define como una asignación a cada fórmula de ${\mathcal {L}}$ , de uno u otro, pero no de ambos, de los valores de verdad , a saber, verdad ( T , o 1) y falsedad ( F , o 0). ^{[ 68 ]}^{[ 69 ]} Una interpretación que sigue las reglas de la lógica clásica a veces se denomina valoración booleana . ^{[ 52 ]}^{[ 70 ]} Una interpretación de un lenguaje formal para la lógica clásica a menudo se expresa en términos de tablas de verdad . ^{[ 71 ]}^{[ 1 ]} Dado que a cada fórmula se le asigna solo un único valor de verdad, una interpretación puede verse como una función , cuyo dominio es ${\mathcal {L}}$ y cuyo rango es su conjunto de valores semánticos. ${\mathcal {V}}=\{{\mathsf {T}},{\mathsf {F}}\}$ , ^{[ 2 ]} o ${\mathcal {V}}=\{1,0\}$ . ^{[ 35 ]}

Para $n$ existen símbolos proposicionales distintos $2^{n}$ distintas posibles interpretaciones. Para cualquier símbolo en particular $a$ , por ejemplo, hay $2^{1}=2$ posibles interpretaciones: o $a$ se le asigna T o $a$ Se le asigna F. Y para el par $a$ , $b$ hay $2^{2}=4$ posibles interpretaciones: o a ambos se les asigna T , o a ambos se les asigna F , o $a$ se le asigna T y $b$ se le asigna F o $a$ se le asigna F y $b$ se le asigna T. [ ^{71 ] Dado} que ${\mathcal {L}}$ tiene $\aleph _{0}$ , es decir, innumerables símbolos proposicionales, hay $2^{\aleph _{0}}={\mathfrak {c}}$ y, por lo tanto, innumerables interpretaciones posibles distintas de ${\mathcal {L}}$ en su conjunto. ^{[ 71 ]}

Dónde ${\mathcal {I}}$ es una interpretación y $\varphi$ y $\psi$ para representar fórmulas, la definición de un argumento , dada en § Argumentos , puede entonces enunciarse como un par $\langle \{\varphi _{1},\varphi _{2},\varphi _{3},...,\varphi _{n}\},\psi \rangle$ , dónde $\{\varphi _{1},\varphi _{2},\varphi _{3},...,\varphi _{n}\}$ es el conjunto de premisas y $\psi$ es la conclusión. La definición de validez de un argumento , es decir su propiedad de que $\{\varphi _{1},\varphi _{2},\varphi _{3},...,\varphi _{n}\}\models \psi$ , entonces puede enunciarse como su ausencia de un contraejemplo , donde un contraejemplo se define como un caso ${\mathcal {I}}$ en el que las premisas del argumento $\{\varphi _{1},\varphi _{2},\varphi _{3},...,\varphi _{n}\}$ son todas ciertas excepto la conclusión $\psi$ no es cierto. ^{[ 35 ]}^{[ 40 ]} Como se verá en § Verdad semántica, validez, consecuencia , esto es lo mismo que decir que la conclusión es una consecuencia semántica de las premisas.

semántica conectiva proposicional

Una interpretación asigna valores semánticos a las fórmulas atómicas directamente. ^{[ 66 ]}^{[ 35 ]} A las fórmulas moleculares se les asigna una función del valor de sus átomos constituyentes, según el conector utilizado; ^{[ 66 ]}^{[ 35 ]} los conectores se definen de tal manera que el valor de verdad de una oración formada a partir de átomos con conectores depende de los valores de verdad de los átomos a los que se aplican, y solo de esos. ^{[ 66 ]}^{[ 35 ]} Colin Howson se refiere a esta suposición como la suposición de la veracidad-funcionalidad de los conectores . ^{[ 40 ]}

Semántica mediante tablas de verdad

Dado que los conectores lógicos se definen semánticamente solo en términos de los valores de verdad que toman cuando las variables proposicionales a las que se aplican toman cualquiera de los dos posibles valores de verdad, ^{[ 1 ]}^{[ 35 ]} la definición semántica de los conectores se suele representar como una tabla de verdad para cada uno de los conectores, ^{[ 1 ]}^{[ 35 ]}^{[ 72 ]} como se ve a continuación:

Esta tabla cubre cada uno de los cinco conectores lógicos principales : ^{[ 14 ]}^{[ 15 ]}^{[ 16 ]}^{[ 17 ]} conjunción (aquí anotada $p\land q$ ), disyunción ( $p \lor q$ ), implicación ( $p \to q$ ), bicondicional ( $p \leftrightarrow q$ ) y negación , (¬ p , o ¬ q , según sea el caso). Es suficiente para determinar la semántica de cada uno de estos operadores. ^{[ 1 ]}^{[ 73 ]}^{[ 35 ]} Para más tablas de verdad para más tipos diferentes de conectores, véase el artículo " Tabla de verdad ".

Semántica mediante expresiones de asignación

Algunos autores escriben la semántica conectiva usando una lista de enunciados en lugar de una tabla. En este formato, donde ${\mathcal {I}}(\varphi )$ es la interpretación de $\varphi$ , los cinco conectores se definen como: ^{[ 38 ]}^{[ 52 ]}

${\mathcal {I}}(\neg P)={\mathsf {T}}$ si, y solo si, ${\mathcal {I}}(P)={\mathsf {F}}$
${\mathcal {I}}(P\land Q)={\mathsf {T}}$ si, y solo si, ${\mathcal {I}}(P)={\mathsf {T}}$ y ${\mathcal {I}}(Q)={\mathsf {T}}$
${\mathcal {I}}(P\lor Q)={\mathsf {T}}$ si, y solo si, ${\mathcal {I}}(P)={\mathsf {T}}$ o ${\mathcal {I}}(Q)={\mathsf {T}}$
${\mathcal {I}}(P\to Q)={\mathsf {T}}$ si, y solo si, es cierto que, si ${\mathcal {I}}(P)={\mathsf {T}}$ , entonces ${\mathcal {I}}(Q)={\mathsf {T}}$
${\mathcal {I}}(P\leftrightarrow Q)={\mathsf {T}}$ si, y solo si, es cierto que ${\mathcal {I}}(P)={\mathsf {T}}$ si, y solo si, ${\mathcal {I}}(Q)={\mathsf {T}}$

En lugar de ${\mathcal {I}}(\varphi )$ , la interpretación de $\varphi$ puede escribirse como $|\varphi |$ , ^{[ 38 ]}^{[ 74 ]} o, para definiciones como las anteriores, ${\mathcal {I}}(\varphi )={\mathsf {T}}$ puede escribirse simplemente como la frase en inglés " $\varphi$ se le da el valor ${\mathsf {T}}$ ". ^{[ 52 ]} Sin embargo, otros autores ^{[ 75 ]}^{[ 76 ]} pueden preferir hablar de un modelo tarskiano ${\mathfrak {M}}$ para el idioma, de modo que en su lugar usarán la notación ${\mathfrak {M}}\models \varphi$ , lo cual es equivalente a decir ${\mathcal {I}}(\varphi )={\mathsf {T}}$ , dónde ${\mathcal {I}}$ es la función de interpretación para ${\mathfrak {M}}$ . ^{[ 76 ]}

Métodos de definición conectiva

Algunos de estos conectores pueden definirse en términos de otros: por ejemplo, implicación, $p\rightarrow q$ , puede definirse en términos de disyunción y negación, como $\neg p\lor q$ ; ^{[ 77 ]} y la disyunción puede definirse en términos de negación y conjunción, como $\neg (\neg p\land \neg q$ ). ^{[ 52 ]} De hecho, un sistema veritativamente completo , ^{[ l ]} en el sentido de que todas y solo las tautologías proposicionales clásicas son teoremas, puede derivarse usando solo disyunción y negación (como lo hicieron Russell , Whitehead y Hilbert ), o usando solo implicación y negación (como lo hizo Frege ), o usando solo conjunción y negación, o incluso usando solo un único conector para "no y" (el trazo de Sheffer ), ^{[ 3 ]} como lo hizo Jean Nicod . ^{[ 2 ]} Un conector de negación conjunta ( NOR lógico ) también bastará, por sí mismo, para definir todos los demás conectores. Aparte de NOR y NAND, ningún otro conector tiene esta propiedad. ^{[ 52 ]}^{[ m ]}

Algunos autores, concretamente Howson ^{[ 40 ]} y Cunningham ^{[ 79 ],} distinguen la equivalencia de la bicondicional. (En cuanto a la equivalencia, Howson la denomina "equivalencia veritativo-funcional", mientras que Cunningham la denomina "equivalencia lógica"). La equivalencia se simboliza con ⇔ y es un símbolo de metalenguaje, mientras que una bicondicional se simboliza con ↔ y es un conector lógico en el lenguaje objeto. ${\mathcal {L}}$ En cualquier caso, una equivalencia o bicondicional es verdadera si, y solo si, las fórmulas conectadas por ella reciben el mismo valor semántico bajo cualquier interpretación. Otros autores a menudo no hacen esta distinción y pueden usar la palabra "equivalencia" ^{[ 16 ]} y/o el símbolo ⇔ ^{[ 80 ]} para denotar el conector bicondicional de su lenguaje objeto.

Verdad semántica, validez, consecuencia

Dado $\varphi$ y $\psi$ como fórmulas (u oraciones) de un idioma ${\mathcal {L}}$ , y ${\mathcal {I}}$ como una interpretación (o caso) ^{[ n ]} de ${\mathcal {L}}$ , entonces se aplican las siguientes definiciones: ^{[ 71 ]}^{[ 69 ]}

Verdad en un caso: ^{[ 35 ]} Una oración $\varphi$ de ${\mathcal {L}}$ es cierto bajo una interpretación ${\mathcal {I}}$ si ${\mathcal {I}}$ asigna el valor de verdad T a $\varphi$ . ^{[ 69 ]}^{[ 71 ]} Si $\varphi$ es cierto bajo ${\mathcal {I}}$ , entonces ${\mathcal {I}}$ se llama un modelo de $\varphi$ . ^{[ 71 ]}
Falsedad en un caso: ^{[ 35 ]} $\varphi$ es falso según una interpretación ${\mathcal {I}}$ si, y solo si, $\neg \varphi$ es cierto bajo ${\mathcal {I}}$ . ^{[ 71 ]}^{[ 81 ]}^{[ 35 ]} Esta es la definición de "verdad de negación" de falsedad en un caso. ^{[ 35 ]} La falsedad en un caso también puede definirse mediante la definición de "complemento": $\varphi$ es falso según una interpretación ${\mathcal {I}}$ si, y solo si, $\varphi$ no es cierto bajo ${\mathcal {I}}$ . ^{[ 69 ]}^{[ 71 ]} En lógica clásica , estas definiciones son equivalentes, pero en lógicas no clásicas , no lo son. ^{[ 35 ]}
Consecuencia semántica: Una oración $\psi$ de ${\mathcal {L}}$ es una consecuencia semántica ( $\varphi \models \psi$ ) de una oración $\varphi$ si no hay ninguna interpretación bajo la cual $\varphi$ es cierto y $\psi$ No es cierto. ^{[ 69 ]}^{[ 71 ]}^{[ 35 ]}
Fórmula válida (tautología): Una oración $\varphi$ de ${\mathcal {L}}$ es lógicamente válido ( $\models \varphi$ ), ^{[ o ]} o una tautología , ^{[ 82 ]}^{[ 83 ]}^{[ 80 ]}^{[ 52 ]} si es verdadera bajo toda interpretación, ^{[ 69 ]}^{[ 71 ]} o verdadera en todos los casos. ^{[ 35 ]}
Oración consistente: Una oración de ${\mathcal {L}}$ Es consistente si es verdadera bajo al menos una interpretación. Es inconsistente si no es consistente. ^{[ 69 ]}^{[ 71 ]} Una fórmula inconsistente también se llama autocontradictoria , ^{[ 1 ]} y se dice que es una autocontradicción , ^{[ 1 ]} o simplemente una contradicción , ^{[ 84 ]}^{[ 85 ]}^{[ 86 ]} aunque este último nombre a veces se reserva específicamente para enunciados de la forma $(p\land \neg p)$ . ^{[ 1 ]}

Para interpretaciones (casos) ${\mathcal {I}}$ de ${\mathcal {L}}$ A veces se dan estas definiciones:

Caso completo: Un caso ${\mathcal {I}}$ está completa si, y solo si, $\varphi$ es verdadero- ${\mathcal {I}}$ o $\neg \varphi$ es verdadero- ${\mathcal {I}}$ , para cualquier $\varphi$ en ${\mathcal {L}}$ . ^{[ 35 ]}^{[ 87 ]}
Caso consistente: Un caso ${\mathcal {I}}$ es consistente si y solo si no hay $\varphi$ en ${\mathcal {L}}$ de tal manera que ambos $\varphi$ y $\neg \varphi$ son verdaderos- ${\mathcal {I}}$ . ^{[ 35 ]}^{[ 88 ]}

Para la lógica clásica , que supone que todos los casos son completos y consistentes, ^{[ 35 ]} se aplican los siguientes teoremas:

Para cualquier interpretación dada, una fórmula dada es verdadera o falsa bajo ella. ^{[ 71 ]}^{[ 81 ]}
Ninguna fórmula es a la vez verdadera y falsa bajo la misma interpretación. ^{[ 71 ]}^{[ 81 ]}
$\varphi$ es cierto bajo ${\mathcal {I}}$ si, y solo si, $\neg \varphi$ es falso según ${\mathcal {I}}$ ; ^{[ 71 ]}^{[ 81 ]} $\neg \varphi$ es cierto bajo ${\mathcal {I}}$ si, y solo si, $\varphi$ no es cierto bajo ${\mathcal {I}}$ . ^{[ 71 ]}
Si $\varphi$ y $(\varphi \to \psi )$ son ambos verdaderos en ${\mathcal {I}}$ , entonces $\psi$ es cierto bajo ${\mathcal {I}}$ . ^{[ 71 ]}^{[ 81 ]}
Si $\models \varphi$ y $\models (\varphi \to \psi )$ , entonces $\models \psi$ . ^{[ 71 ]}
$(\varphi \to \psi )$ es cierto bajo ${\mathcal {I}}$ si, y solo si, $\varphi$ no es cierto bajo ${\mathcal {I}}$ , o $\psi$ es cierto bajo ${\mathcal {I}}$ . ^{[ 71 ]}
$\varphi \models \psi$ si, y solo si, $(\varphi \to \psi )$ es lógicamente válido , es decir, $\varphi \models \psi$ si, y solo si, $\models (\varphi \to \psi )$ . ^{[ 71 ]}^{[ 81 ]}

Sistemas de prueba

Los sistemas de prueba en lógica proposicional se pueden clasificar ampliamente en sistemas de prueba semánticos y sistemas de prueba sintácticos , ^{[ 89 ]}^{[ 90 ]}^{[ 91 ]} según el tipo de consecuencia lógica en la que se basan: los sistemas de prueba semánticos se basan en la consecuencia semántica ( $\varphi \models \psi$ ), ^{[ 92 ]} mientras que los sistemas de prueba sintáctica se basan en la consecuencia sintáctica ( $\varphi \vdash \psi$ ). ^{[ 93 ]} La consecuencia semántica trata de los valores de verdad de las proposiciones en todas las interpretaciones posibles, mientras que la consecuencia sintáctica se refiere a la derivación de conclusiones a partir de premisas basadas en reglas y axiomas dentro de un sistema formal. ^{[ 94 ]} Esta sección ofrece una descripción general muy breve de los tipos de sistemas de prueba, con enlaces a las secciones relevantes de este artículo sobre cada uno, así como a los artículos separados de Wikipedia sobre cada uno.

Sistemas de prueba semántica

{\begin{array}{|c|c|c|c|}x_{0}&x_{1}&{\bar {x_{1}}}&x_{0}\&{\bar {x_{1}}}\\\hline 0&0&1&0\\0&1&0&0\\1&0&1&1\\1&1&0&0\end{array}}

Ejemplo de una tabla de verdad

Los sistemas de prueba semántica se basan en el concepto de consecuencia semántica, simbolizado como $\varphi \models \psi$ , lo que indica que si $\varphi$ Si es cierto, entonces $\psi$ También debe ser cierto en todas las interpretaciones posibles. ^{[ 94 ]}

Tablas de verdad

Una tabla de verdad es un método de prueba semántica que se utiliza para determinar el valor de verdad de una expresión lógica proposicional en cada escenario posible. ^{[ 95 ]} Al enumerar exhaustivamente los valores de verdad de sus átomos constituyentes, una tabla de verdad puede mostrar si una proposición es verdadera, falsa, tautológica o contradictoria. ^{[ 96 ]} Véase § Prueba semántica mediante tablas de verdad .

Cuadros semánticos

Un tableau semántico es otra técnica de prueba semántica que explora sistemáticamente la verdad de una proposición. ^{[ 97 ]} Construye un árbol donde cada rama representa una posible interpretación de las proposiciones involucradas. ^{[ 98 ]} Si cada rama conduce a una contradicción, la proposición original se considera una contradicción y su negación se considera una tautología . ^{[ 40 ]} Véase § Prueba semántica mediante tableaux .

Sistemas de prueba sintáctica

Los sistemas de prueba sintáctica, en cambio, se centran en la manipulación formal de símbolos según reglas específicas. La noción de consecuencia sintáctica, $\varphi \vdash \psi$ , significa que $\psi$ puede derivarse de $\varphi$ utilizando las reglas del sistema formal. ^{[ 94 ]}

Sistemas axiomáticos

Un sistema axiomático de estilo Hilbert, o sistema Hilbert , es un conjunto de axiomas o supuestos a partir de los cuales se derivan lógicamente otras afirmaciones (teoremas). ^{[ 99 ]} En lógica proposicional, los sistemas axiomáticos definen un conjunto base de proposiciones consideradas evidentes por sí mismas, y los teoremas se demuestran aplicando reglas de deducción a estos axiomas. ^{[ 100 ]} Véase § Demostración sintáctica mediante axiomas .

Deducción natural

La deducción natural es un método sintáctico de demostración que enfatiza la derivación de conclusiones a partir de premisas mediante el uso de reglas intuitivas que reflejan el razonamiento ordinario. ^{[ 101 ]} Cada regla refleja un conector lógico particular y muestra cómo puede introducirse o eliminarse. ^{[ 101 ]} Véase § Demostración sintáctica mediante deducción natural .

Cálculo de secuencias

El cálculo de secuencias es un sistema formal que representa las deducciones lógicas como secuencias o "secuencias" de fórmulas. ^{[ 102 ]} Desarrollado por Gerhard Gentzen , este enfoque se centra en las propiedades estructurales de las deducciones lógicas y proporciona un marco poderoso para probar enunciados dentro de la lógica proposicional. ^{[ 102 ]}^{[ 103 ]}

Prueba semántica mediante tablas de verdad

Aprovechando el concepto semántico de validez (verdad en cada interpretación), es posible probar la validez de una fórmula utilizando una tabla de verdad , que proporciona todas las posibles interpretaciones (asignación de valores de verdad a las variables) de una fórmula. ^{[ 96 ]}^{[ 50 ]}^{[ 38 ]} Si, y solo si, todas las filas de una tabla de verdad resultan verdaderas, la fórmula es semánticamente válida (verdadera en cada interpretación). ^{[ 96 ]}^{[ 50 ]} Además, si (y solo si) $\neg \varphi$ es válido, entonces $\varphi$ es inconsistente. ^{[ 84 ]}^{[ 85 ]}^{[ 86 ]}

Por ejemplo, esta tabla muestra que " $p \to (q \lor r \to (r \to \neg p))$ " no es válido: ^{[ 50 ]}

El cálculo de la última columna de la tercera línea se puede mostrar de la siguiente manera: ^{[ 50 ]}

Además, utilizando el teorema que $\varphi \models \psi$ si, y solo si, $(\varphi \to \psi )$ es válido, ^{[ 71 ]}^{[ 81 ]} podemos usar una tabla de verdad para probar que una fórmula es una consecuencia semántica de un conjunto de fórmulas: $\{\varphi _{1},\varphi _{2},\varphi _{3},...,\varphi _{n}\}\models \psi$ Si, y solo si, podemos producir una tabla de verdad que resulte completamente verdadera para la fórmula $\left(\left(\bigwedge _{i=1}^{n}\varphi _{i}\right)\rightarrow \psi \right)$ (es decir, si $\models \left(\left(\bigwedge _{i=1}^{n}\varphi _{i}\right)\rightarrow \psi \right)$ ). ^{[ 104 ]}^{[ 105 ]}

Prueba semántica mediante tableaux

Dado que las tablas de verdad tienen 2 ⁿ líneas para n variables, pueden ser tediosamente largas para valores grandes de n. ^{[ 40 ]} Los tableaux analíticos son un método de prueba semántica más eficiente, pero no obstante mecánico, ^{[ 72 ]} ; aprovechan el hecho de que "no aprendemos nada sobre la validez de la inferencia al examinar las distribuciones de valores de verdad que hacen que las premisas sean falsas o la conclusión verdadera: las únicas distribuciones relevantes al considerar la validez deductiva son claramente solo aquellas que hacen que las premisas sean verdaderas o la conclusión falsa". ^{[ 40 ]}

Los cuadros analíticos para la lógica proposicional están completamente especificados por las reglas que se presentan en forma esquemática a continuación. ^{[ 52 ]} Estas reglas utilizan "fórmulas con signo", donde una fórmula con signo es una expresión $TX$ o $FX$ , dónde $X$ es una fórmula (sin signo) del lenguaje ${\mathcal {L}}$ . ^{[ 52 ]} (Informalmente, $TX$ se lee " $X$ es cierto", y $FX$ se lee " $X$ es falso".) ^{[ 52 ]} Su definición semántica formal es que "bajo cualquier interpretación, una fórmula con signo $TX$ se llama verdadero si $X$ es verdadero y falso si $X$ es falso, mientras que una fórmula con signo $FX$ se llama falso si $X$ es cierto, y cierto si $X$ es falso." ^{[ 52 ]}

${\begin{aligned}&1)\quad {\frac {T\sim X}{FX}}\quad &&{\frac {F\sim X}{TX}}\\{\phantom {spacer}}\\&2)\quad {\frac {T(X\land Y)}{\begin{matrix}TX\\TY\end{matrix}}}\quad &&{\frac {F(X\land Y)}{FX|FY}}\\{\phantom {spacer}}\\&3)\quad {\frac {T(X\lor Y)}{TX|TY}}\quad &&{\frac {F(X\lor Y)}{\begin{matrix}FX\\FY\end{matrix}}}\\{\phantom {spacer}}\\&4)\quad {\frac {T(X\supset Y)}{FX|TY}}\quad &&{\frac {F(X\supset Y)}{\begin{matrix}TX\\FY\end{matrix}}}\end{aligned}}$

En esta notación, la regla 2 significa que $T(X\land Y)$ produce ambos $TX,TY$ , mientras $F(X\land Y)$ se ramifica en $FX,FY$ . La notación debe entenderse de forma análoga para las reglas 3 y 4. ^{[ 52 ]} A menudo, en los tableaux para la lógica clásica , la notación de fórmula con signo se simplifica de modo que $T\varphi$ se escribe simplemente como $\varphi$ , y $F\varphi$ como $\neg \varphi$ , lo que explica por qué la regla 1 se denomina " Regla de la doble negación ". ^{[ 40 ]}^{[ 72 ]}

Se construye un tablero para un conjunto de fórmulas aplicando las reglas para producir más líneas y ramas de árbol hasta que se haya utilizado cada línea, produciendo un tablero completo . En algunos casos, una rama puede llegar a contener ambas. $TX$ y $FX$ para algunos $X$ , es decir, una contradicción. En ese caso, se dice que la rama se cierra . ^{[ 40 ]} Si todas las ramas de un árbol se cierran, se dice que el árbol mismo se cierra. ^{[ 40 ]} En virtud de las reglas para la construcción de tableaux, un árbol cerrado es una prueba de que la fórmula original, o conjunto de fórmulas, utilizada para construirlo era en sí misma contradictoria y, por lo tanto, falsa. ^{[ 40 ]} A la inversa, un tableau también puede probar que una fórmula lógica es tautóloga : si una fórmula es tautóloga, su negación es una contradicción, por lo que un tableau construido a partir de su negación se cerrará. ^{[ 40 ]}

Construir un cuadro para un argumento $\langle \{\varphi _{1},\varphi _{2},\varphi _{3},...,\varphi _{n}\},\psi \rangle$ , primero se escribe el conjunto de fórmulas de premisas, $\{\varphi _{1},\varphi _{2},\varphi _{3},...,\varphi _{n}\}$ , con una fórmula en cada línea, firmada con $T$ (eso es, $T\varphi$ para cada $T\varphi$ en el conjunto); ^{[ 72 ]} y junto con esas fórmulas (el orden no importa), también se escribe la conclusión, $\psi$ , firmado con $F$ (eso es, $F\psi$ ). ^{[ 72 ]} Luego se produce un árbol de verdad (tablero analítico) utilizando todas esas líneas según las reglas. ^{[ 72 ]} Un árbol cerrado será prueba de que el argumento fue válido, en virtud del hecho de que $\varphi \modelos \psi$ si, y solo si, $\{\varphi ,\sim \psi \}$ es inconsistente (también escrito como $\varphi ,\sim \psi \modelos$ ). ^{[ 72 ]}

Lista de formas argumentativas clásicamente válidas

Utilizando métodos de verificación semántica, como tablas de verdad o tableaux semánticos, para comprobar tautologías y consecuencias semánticas, se puede demostrar que, en lógica clásica, las siguientes formas argumentativas clásicas son semánticamente válidas, es decir, estas tautologías y consecuencias semánticas se cumplen. ^{[ 38 ]} Utilizamos $\varphi$ ⟚ $\psi$ para denotar equivalencia de $\varphi$ y $\psi$ , es decir, como abreviatura de ambos $\varphi \modelos \psi$ y $\psi \modelos \varphi$ ; ^{[ 38 ]} como ayuda para leer los símbolos, se da una descripción de cada fórmula. La descripción lee el símbolo ⊧ (llamado el "doble torniquete") como "por lo tanto", que es una lectura común del mismo, ^{[ 38 ]}^{[ 106 ]} aunque muchos autores prefieren leerlo como "implicaciones", ^{[ 38 ]}^{[ 107 ]} o como "modelos". ^{[ 108 ]}

Prueba sintáctica mediante deducción natural

La deducción natural , puesto que es un método de prueba sintáctica, se especifica proporcionando reglas de inferencia (también llamadas reglas de prueba ) ^{[ 39 ]} para un lenguaje con el conjunto típico de conectores. $\{-,\&,\lor ,\to ,\leftrightarrow \}$ ; no se utilizan otros axiomas aparte de estas reglas. ^{[ 111 ]} Las reglas se explican a continuación, y luego se da un ejemplo de demostración.

Estilos de notación

Diferentes autores varían en cierta medida respecto a las reglas de inferencia que dan, lo cual se señalará. Sin embargo, lo más llamativo para la apariencia y la sensación de una demostración es la variación en los estilos de notación. La notación § Gentzen , que se trató anteriormente para un breve argumento, en realidad se puede apilar para producir grandes demostraciones de deducción natural en forma de árbol ^{[ 44 ]}^{[ 16 ]} —que no debe confundirse con "árboles de verdad", que es otro nombre para los tableaux analíticos . ^{[ 72 ]} También hay un estilo debido a Stanisław Jaśkowski , donde las fórmulas en la demostración están escritas dentro de varias cajas anidadas, ^{[ 44 ]} y hay una simplificación del estilo de Jaśkowski debido a Fredric Fitch ( notación Fitch ), donde las cajas se simplifican a simples líneas horizontales debajo de las introducciones de suposiciones, y líneas verticales a la izquierda de las líneas que están debajo de la suposición. ^{[ 44 ]} Por último, está el único estilo de notación que se utilizará en este artículo, que se debe a Patrick Suppes , ^{[ 44 ]} pero que fue popularizado en gran medida por EJ Lemmon y Benson Mates . ^{[ 112 ]} Este método tiene la ventaja de que, gráficamente, es el menos intensivo de producir y mostrar, lo que lo convirtió en una elección natural para el editor que escribió esta parte del artículo, quien no comprendía los complejos comandos de LaTeX que se requerirían para producir demostraciones en los otros métodos.

Una demostración , entonces, presentada de acuerdo con el estilo de notación de Suppes-Lemmon , ^{[ 44 ]} es una secuencia de líneas que contienen oraciones, ^{[ 39 ]} donde cada oración es una suposición o el resultado de aplicar una regla de demostración a oraciones anteriores en la secuencia. ^{[ 39 ]} Cada línea de demostración se compone de una oración de demostración , junto con su anotación , su conjunto de suposiciones y el número de línea actual . ^{[ 39 ]} El conjunto de suposiciones enumera las suposiciones de las que depende la oración de demostración dada, que se referencian mediante los números de línea. ^{[ 39 ]} La anotación especifica qué regla de demostración se aplicó y a qué líneas anteriores para producir la oración actual. ^{[ 39 ]} Véase el § Ejemplo de demostración de deducción natural .

Reglas de inferencia

Las reglas de inferencia de deducción natural, debidas en última instancia a Gentzen , se presentan a continuación. ^{[ 111 ]} Hay diez reglas primitivas de prueba, que son la regla de suposición , más cuatro pares de reglas de introducción y eliminación para los conectivos binarios, y la regla reductio ad adbsurdum . ^{[ 39 ]} El silogismo disyuntivo puede usarse como una alternativa más sencilla a la eliminación ∨ propia, ^{[ 39 ]} y MTT y DN son reglas comúnmente dadas, ^{[ 111 ]} aunque no son primitivas. ^{[ 39 ]}

Ejemplo de demostración por deducción natural

La demostración que se muestra a continuación ^{[ 39 ]} deriva $-P$ de $P\to Q$ y $-Q$ utilizando únicamente MPP y RAA , lo que demuestra que MTT no es una regla primitiva, ya que puede derivarse de esas otras dos reglas.

Demostración sintáctica mediante axiomas

Es posible realizar demostraciones axiomáticas, lo que significa que ciertas tautologías se consideran evidentes por sí mismas y otras se deducen a partir de ellas utilizando el modus ponens como regla de inferencia , así como una regla de sustitución que permite reemplazar cualquier fórmula bien formada por cualquier instancia de sustitución de la misma. ^{[ 114 ]} Alternativamente, se utilizan esquemas axiomáticos en lugar de axiomas, y no se utiliza ninguna regla de sustitución. ^{[ 114 ]}

Esta sección presenta los axiomas de algunos sistemas axiomáticos históricamente relevantes para la lógica proposicional. Para más ejemplos, así como teoremas metalógicos específicos de dichos sistemas axiomáticos (como su completitud y consistencia), consulte el artículo « Sistema axiomático (lógica)» .

El Begriffsschrift de Frege

Aunque la demostración axiomática se ha utilizado desde el famoso libro de texto griego antiguo , Elementos de geometría de Euclides , en lógica proposicional se remonta a la Begriffsschrift ^de Gottlob Frege de 1879. ^[³⁸^]^[¹¹⁴^] El sistema de Frege solo utilizaba implicación y negación como conectores. ^[²^] Tenía seis axiomas: ^[¹¹⁴^]^[¹¹⁵ ] ^[¹¹⁶^]

Proposición 1: $a\to (b\to a)$
Proposición 2: $(c\to (b\to a))\to ((c\to b)\to (c\to a))$
Proposición 8: $(d\to (b\to a))\to (b\to (d\to a))$
Proposición 28: $(b\to a)\to (\neg a\to \neg b)$
Proposición 31: $\neg \neg a\to a$
Proposición 41: $a\to \neg \neg a$

Frege utilizó estos elementos junto con el modus ponens y una regla de sustitución (que se utilizó pero nunca se enunció con precisión) para obtener una axiomatización completa y consistente de la lógica proposicional clásica veritativo-funcional. ^{[ 115 ]}

_{P 2} de Łukasiewicz

Jan Łukasiewicz demostró que, en el sistema de Frege, "el tercer axioma es superfluo ya que puede derivarse de los dos axiomas precedentes, y que los últimos tres axiomas pueden ser reemplazados por la única oración". $CCNpNqCqp$ ". ^{[ 116 ]} Lo cual, tomado de la notación polaca de Łukasiewicz a la notación moderna, significa $(\neg p\rightarrow \neg q)\rightarrow (q\rightarrow p)$ Por lo tanto, a Łukasiewicz se le atribuye ^{[ 114 ]} este sistema de tres axiomas:

$p\to (q\to p)$
$(p\to (q\to r))\to ((p\to q)\to (p\to r))$
$(\neg p\to \neg q)\to (q\to p)$

Al igual que el sistema de Frege, este sistema utiliza una regla de sustitución y el modus ponens como regla de inferencia. ^{[ 114 ]} El mismo sistema fue presentado (con una regla de sustitución explícita) por Alonzo Church , ^{[ 117 ]} quien lo denominó sistema P ₂^{[ 117 ]}^{[ 118 ]} y contribuyó a su popularización. ^{[ 118 ]}

Forma esquemática de P ₂

Se puede evitar el uso de la regla de sustitución dando los axiomas en forma esquemática, usándolos para generar un conjunto infinito de axiomas. Por lo tanto, usando letras griegas para representar esquemas (variables metalógicas que pueden representar cualquier fórmula bien formada ), los axiomas se dan como: ^{[ 38 ]}^{[ 118 ]}

$\varphi \to (\psi \to \varphi )$
$(\varphi \to (\psi \to \chi ))\to ((\varphi \to \psi )\to (\varphi \to \chi ))$
$(\neg \varphi \to \neg \psi )\to (\psi \to \varphi )$

La versión esquemática de P ₂ se atribuye a John von Neumann , ^{[ 114 ]} y se utiliza en la base de datos de pruebas formales "set.mm" de Metamath . ^{[ 118 ]} También se ha atribuido a Hilbert , ^{[ 119 ]} y se le ha dado nombre. ${\mathcal {H}}$ en este contexto. ^{[ 119 ]}

Ejemplo de demostración en P ₂

Como ejemplo, una prueba de $A\to A$ En P ₂ se muestra a continuación. Primero, se les da nombre a los axiomas:

(A1)

(p\to (q\to p))

(A2)

((p\to (q\to r))\to ((p\to q)\to (p\to r)))

(A3)

((\neg p\to \neg q)\to (q\to p))

Y la prueba es la siguiente:

$A\to ((B\to A)\to A)$ (instancia de (A1))
$(A\to ((B\to A)\to A))\to ((A\to (B\to A))\to (A\to A))$ (instancia de (A2))
$(A\to (B\to A))\to (A\to A)$ (de (1) y (2) por modus ponens )
$A\to (B\to A)$ (instancia de (A1))
$A\to A$ (de (4) y (3) por modus ponens)

Metalogic

La lógica proposicional clásica posee una serie de propiedades metalógicas especialmente bien comportadas. En relación con cualquiera de los tipos estándar de sistemas de prueba mencionados anteriormente, es sólida : siempre que $\Gamma \vdash \varphi$ , uno también tiene $\Gamma \models \varphi$ . También es completa , de hecho fuertemente completa para conjuntos arbitrarios de premisas: siempre que $\Gamma \models \varphi$ , entonces $\Gamma \vdash \varphi$ . ^{[ 65 ]}^{[ 71 ]} En particular, una fórmula es un teorema si y solo si es lógicamente válida. ^{[ 65 ]}^{[ 71 ]}

Otro resultado central es la compacidad : un conjunto $\Gamma$ de fórmulas proposicionales es satisfacible si y solo si todo subconjunto finito de $\Gamma$ es satisfacible. ^{[ 46 ]}^{[ 65 ]} Equivalentemente, si $\Gamma \models \varphi$ , entonces hay algún finito $\Delta \subseteq \Gamma$ de tal manera que $\Delta \models \varphi$ . ^{[ 46 ]} Debido a que las derivaciones estándar utilizan solo un número finito de premisas, la compacidad también puede obtenerse a partir de la completitud. ^{[ 65 ]}^{[ 46 ]}

De igual modo, la consistencia sintáctica coincide con la satisfacibilidad: un conjunto de fórmulas es consistente si y solo si tiene una valuación booleana (es decir, un modelo). ^{[ 65 ]}^{[ 71 ]} Por lo tanto, las nociones semánticas y de teoría de la demostración utilizadas en la lógica proposicional clásica coinciden exactamente. ^{[ 65 ]}

La lógica proposicional clásica también es decidible . Dado que cada fórmula contiene solo un número finito de variables proposicionales, se puede determinar en un número finito de pasos si es satisfacible, insatisfacible o válida, por ejemplo, mediante tablas de verdad. ^{[ 120 ]}^{[ 96 ]}^{[ 50 ]}

Solucionadores

Una diferencia notable entre el cálculo proposicional y el cálculo de predicados es que la satisfacibilidad de una fórmula proposicional es decidible . ^{[ 120 ]}^{: 81} Decidir la satisfacibilidad de fórmulas de lógica proposicional es un problema NP-completo . Sin embargo, existen métodos prácticos (por ejemplo, algoritmo DPLL , 1962; algoritmo Chaff , 2001) que son muy rápidos para muchos casos útiles. Trabajos recientes han extendido los algoritmos de resolución SAT para trabajar con proposiciones que contienen expresiones aritméticas ; estos son los solucionadores SMT .

Véase también

Niveles lógicos superiores

Notas

↑ Muchas fuentes escriben esto con un artículo definido, como el cálculo proposicional, mientras que otras simplemente lo llaman cálculo proposicional sin artículo.
↑ La lógica de orden cero se utiliza a veces para denotar una lógica de predicados sin cuantificadores . Es decir, lógica proposicional extendida con funciones, relaciones y constantes.^{[ 6 ]}
↑ Para la lógica proposicional, el lenguaje formal utilizado es un lenguaje proposicional .
↑ No confundir con el alfabeto del lenguaje formal .
↑ Vea todos los conectores posibles en la lógica proposicional veritativo-funcional con algunas de sus propiedades.
↑ El "o ambos" deja claro^{[ 35 ]} que se trata de una disyunción lógica , no de un " o" exclusivo , que es más común en inglés.
↑ El conjunto de premisas puede ser el conjunto vacío ;^{[ 38 ]}^{[ 39 ]} un argumento de un conjunto vacío de premisas es válido si, y solo si, la conclusión es una tautología .^{[ 38 ]}^{[ 39 ]}
↑ El torniquete, por su consecuencia sintáctica, tiene menor precedencia que la coma, que representa la combinación de premisas, la cual a su vez tiene menor precedencia que la flecha, utilizada para la implicación material; por lo tanto, no se necesitan paréntesis para interpretar esta fórmula.^{[ 45 ]}
↑ Aquí se da una sintaxis muy general y abstracta, siguiendo la notación en la SEP,^{[ 2 ]} pero incluyendo la tercera definición, que es dada explícitamente muy comúnmente por otras fuentes, como Gillon,^{[ 15 ]} Bostock,^{[ 38 ]} Allen & Hand,^{[ 39 ]} y muchas otras. Como se señala en otra parte del artículo, los lenguajes componen de diversas maneras su conjunto de variables proposicionales atómicas a partir de letras mayúsculas o minúsculas (a menudo centrándose en P/p, Q/q y R/r), con o sin numerales subíndices; y en su conjunto de conectores, pueden incluir el conjunto completo de cinco conectores típicos, $\{\neg ,\land ,\lor ,\to ,\leftrightarrow \}$ o cualquiera de sus subconjuntos completamente veritativos. (Y, por supuesto, también pueden usar cualquiera de las variantes notacionales de estos conectores).
↑ Nótese que la frase "principio de composición" se ha referido a otras cosas en otros contextos, e incluso en el contexto de la lógica, ya que Bertrand Russell la usó para referirse al principio de que "una proposición que implica cada una de dos proposiciones las implica a ambas".^{[ 53 ]}
↑ Algunos autores utilizan el término «interpretación» y otros el de «caso». Este artículo será indiferente y empleará cualquiera de los dos, dado que se trata de una edición colaborativa y no existe consenso sobre la terminología a adoptar.
↑ Un conjunto de conectivas completo en términos de la función de la verdad^{[ 2 ]} también se denomina simplemente completo en términos de la función de la verdad , o adecuado para la lógica de la función de la verdad ,^{[ 40 ]} o expresivamente adecuado ,^{[ 78 ]} o simplemente adecuado .^{[ 40 ]}^{[ 78 ]}
↑ Consulte una tabla con las 16 funciones de verdad bivalentes.
↑ Algunas de estas definiciones emplean el término «interpretación» y hablan de que las oraciones o fórmulas son verdaderas o falsas «bajo» ella, mientras que otras emplean el término «caso» y hablan de que las oraciones o fórmulas son verdaderas o falsas «en» ella. Fuentes fiables publicadas ( WP:RS ) han utilizado ambas convenciones terminológicas, aunque normalmente un autor determinado utiliza solo una de ellas. Dado que este artículo es una edición colaborativa y no existe consenso sobre qué convención utilizar, estas variaciones terminológicas se han mantenido.
↑ Convencionalmente $\models \varphi$ , sin nada a la izquierda del torniquete, se utiliza para simbolizar una tautología. Puede interpretarse como decir que $\varphi$ es una consecuencia semántica del conjunto vacío de fórmulas, es decir, $\{\}\models \varphi$ , pero omitiendo los corchetes vacíos por simplicidad; ^{[ 38 ]} lo cual es lo mismo que decir que es una tautología, es decir, que no hay ninguna interpretación bajo la cual sea falsa. ^{[ 38 ]}
↑ Para simplificar el enunciado de la regla, la palabra "negación" se usa aquí de esta manera: la negación de una fórmula $\varphi$ eso no es una negación es $-\varphi$ , mientras que una negación , $-\varphi$ , tiene dos negaciones , a saber: $\varphi$ y $--\varphi$ . ^{[ 39 ]}

Referencias

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 Klement, Kevin C. "Lógica proposicional" . En Fieser, James; Dowden, Bradley (eds.). Internet Encyclopedia of Philosophy . Recuperado el 7 de abril de 2025 .
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"forall x: an introduction to formal logic" , de PD Magnus , abarca la semántica formal y la teoría de la demostración para la lógica proposicional.
Capítulo 2 / Lógica proposicional de Lógica en acción
Demostrador de cálculo de secuencias proposicionales en Project Nayuki. ( Nota : la implicación puede introducirse en el formato !X|Y, y una secuencia puede ser una fórmula única precedida por >y sin comas).
Lógica proposicional: una gramática generativa
Una calculadora proposicional que ayuda a comprender expresiones simples.

[5] Muchas fuentes escriben esto con un artículo definido, como el cálculo proposicional, mientras que otras simplemente lo llaman cálculo proposicional sin artículo.

[8] La lógica de orden cero se utiliza a veces para denotar una lógica de predicados sin cuantificadores . Es decir, lógica proposicional extendida con funciones, relaciones y constantes.^{[ 6 ]}

[20] Para la lógica proposicional, el lenguaje formal utilizado es un lenguaje proposicional .

[21] No confundir con el alfabeto del lenguaje formal .

[22] Vea todos los conectores posibles en la lógica proposicional veritativo-funcional con algunas de sus propiedades.

[43] El "o ambos" deja claro^{[ 35 ]} que se trata de una disyunción lógica , no de un " o" exclusivo , que es más común en inglés.

[46] El conjunto de premisas puede ser el conjunto vacío ;^{[ 38 ]}^{[ 39 ]} un argumento de un conjunto vacío de premisas es válido si, y solo si, la conclusión es una tautología .^{[ 38 ]}^{[ 39 ]}

[55] El torniquete, por su consecuencia sintáctica, tiene menor precedencia que la coma, que representa la combinación de premisas, la cual a su vez tiene menor precedencia que la flecha, utilizada para la implicación material; por lo tanto, no se necesitan paréntesis para interpretar esta fórmula.^{[ 45 ]}

[61] Aquí se da una sintaxis muy general y abstracta, siguiendo la notación en la SEP,^{[ 2 ]} pero incluyendo la tercera definición, que es dada explícitamente muy comúnmente por otras fuentes, como Gillon,^{[ 15 ]} Bostock,^{[ 38 ]} Allen & Hand,^{[ 39 ]} y muchas otras. Como se señala en otra parte del artículo, los lenguajes componen de diversas maneras su conjunto de variables proposicionales atómicas a partir de letras mayúsculas o minúsculas (a menudo centrándose en P/p, Q/q y R/r), con o sin numerales subíndices; y en su conjunto de conectores, pueden incluir el conjunto completo de cinco conectores típicos, $\{\neg ,\land ,\lor ,\to ,\leftrightarrow \}$ o cualquiera de sus subconjuntos completamente veritativos. (Y, por supuesto, también pueden usar cualquiera de las variantes notacionales de estos conectores).

[63] Nótese que la frase "principio de composición" se ha referido a otras cosas en otros contextos, e incluso en el contexto de la lógica, ya que Bertrand Russell la usó para referirse al principio de que "una proposición que implica cada una de dos proposiciones las implica a ambas".^{[ 53 ]}

[78] Algunos autores utilizan el término «interpretación» y otros el de «caso». Este artículo será indiferente y empleará cualquiera de los dos, dado que se trata de una edición colaborativa y no existe consenso sobre la terminología a adoptar.

[90] Un conjunto de conectivas completo en términos de la función de la verdad^{[ 2 ]} también se denomina simplemente completo en términos de la función de la verdad , o adecuado para la lógica de la función de la verdad ,^{[ 40 ]} o expresivamente adecuado ,^{[ 78 ]} o simplemente adecuado .^{[ 40 ]}^{[ 78 ]}

[91] Consulte una tabla con las 16 funciones de verdad bivalentes.

[94] Algunas de estas definiciones emplean el término «interpretación» y hablan de que las oraciones o fórmulas son verdaderas o falsas «bajo» ella, mientras que otras emplean el término «caso» y hablan de que las oraciones o fórmulas son verdaderas o falsas «en» ella. Fuentes fiables publicadas ( WP:RS ) han utilizado ambas convenciones terminológicas, aunque normalmente un autor determinado utiliza solo una de ellas. Dado que este artículo es una edición colaborativa y no existe consenso sobre qué convención utilizar, estas variaciones terminológicas se han mantenido.

[96] Convencionalmente $\models \varphi$ , sin nada a la izquierda del torniquete, se utiliza para simbolizar una tautología. Puede interpretarse como decir que $\varphi$ es una consecuencia semántica del conjunto vacío de fórmulas, es decir, $\{\}\models \varphi$ , pero omitiendo los corchetes vacíos por simplicidad; ^{[ 38 ]} lo cual es lo mismo que decir que es una tautología, es decir, que no hay ninguna interpretación bajo la cual sea falsa. ^{[ 38 ]}

[129] Para simplificar el enunciado de la regla, la palabra "negación" se usa aquí de esta manera: la negación de una fórmula $\varphi$ eso no es una negación es $-\varphi$ , mientras que una negación , $-\varphi$ , tiene dos negaciones , a saber: $\varphi$ y $--\varphi$ . ^{[ 39 ]}

[:1-1] 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 Klement, Kevin C. "Lógica proposicional" . En Fieser, James; Dowden, Bradley (eds.). Internet Encyclopedia of Philosophy . Recuperado el 7 de abril de 2025 .

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