Lógica de valor infinito

En lógica , una lógica de valores infinitos (o lógica de valores reales o lógica de valores infinitos ) es una lógica de muchos valores en la que los valores de verdad comprenden un rango continuo . Tradicionalmente, en la lógica de Aristóteles , la lógica distinta de la lógica bivalente era anormal, ya que la ley del tercero excluido impedía más de dos valores posibles (es decir, "verdadero" y "falso") para cualquier proposición . ^{[ 1 ]} La lógica trivalente moderna permite un valor de verdad posible adicional (es decir, "indeciso") ^{[ 2 ]} y es un ejemplo de lógica de valores finitos en la que los valores de verdad son discretos, en lugar de continuos. La lógica de valores infinitos comprende la lógica difusa continua , aunque la lógica difusa en algunas de sus formas puede abarcar además la lógica de valores finitos. Por ejemplo, la lógica de valor finito se puede aplicar en el modelado de valores booleanos , ^{[ 3 ] [ 4 ]} lógicas de descripción , ^{[ 5 ]} y defuzzificación ^{[ 6 ] [ 7 ]} de la lógica difusa.

Isaac Newton y Gottfried Wilhelm Leibniz utilizaron tanto infinitos como infinitesimales para desarrollar el cálculo diferencial e integral a finales del siglo XVII. Richard Dedekind , quien definió los números reales en términos de ciertos conjuntos de números racionales en el siglo XIX, ^{[ 8 ]} también desarrolló un axioma de continuidad que establece que existe un único valor correcto en el límite de cualquier aproximación por ensayo y error . Felix Hausdorff demostró la posibilidad lógica de un ordenamiento absolutamente continuo de palabras que comprenden valores bivalentes, cada palabra con una longitud absolutamente infinita , en 1938. Sin embargo, la definición de un número real aleatorio, es decir, un número real que no tiene ninguna descripción finita, permanece en cierto modo en el ámbito de la paradoja . ^{[ 9 ]}

Jan Łukasiewicz desarrolló un sistema de lógica trivalente en 1920. Generalizó el sistema a lógicas multivalentes en 1922 y continuó desarrollando lógicas con múltiples valores.${\displaystyle \aleph _{0}}$Valores de verdad (infinitos dentro de un rango). Kurt Gödel desarrolló un sistema deductivo , aplicable tanto a la lógica de primer orden de valores finitos como infinitos (una lógica formal en la que un predicado puede referirse a un solo sujeto ), así como a la lógica intermedia (una lógica intuicionista formal utilizable para proporcionar demostraciones como una prueba de consistencia para la aritmética ), y demostró en 1932 que la intuición lógica no puede caracterizarse mediante la lógica de valores finitos . ^{[ 10 ]}

El concepto de expresar valores de verdad como números reales en el rango entre 0 y 1 puede evocar la posibilidad de utilizar números complejos para expresar dichos valores. Estos valores de verdad tendrían una dimensión imaginaria , por ejemplo, entre 0 e i . La verdad bidimensional o de dimensiones superiores podría ser potencialmente útil en sistemas de lógica paraconsistente . Si surgieran aplicaciones prácticas para tales sistemas, la lógica multidimensional de valores infinitos podría desarrollarse como un concepto independiente de la lógica de valores reales. ^{[ 11 ]}

Lotfi A. Zadeh propuso una metodología formal de lógica difusa y sus aplicaciones a principios de la década de 1970. Para 1973, otros investigadores aplicaban la teoría de los controladores difusos de Zadeh a diversos procesos mecánicos e industriales. El concepto de modelado difuso que surgió de esta investigación se aplicó a las redes neuronales en la década de 1980 y al aprendizaje automático en la década de 1990. La metodología formal también condujo a generalizaciones de teorías matemáticas en la familia de lógicas difusas t-norma . ^{[ 12 ]}

La lógica difusa básica es la lógica de las t-normas continuas ( operaciones binarias en el intervalo unitario real [0, 1]). ^{[ 13 ]} Las aplicaciones que involucran la lógica difusa incluyen sistemas de reconocimiento facial , electrodomésticos , sistemas de frenado antibloqueo , transmisiones automáticas , controladores para sistemas de transporte rápido y vehículos aéreos no tripulados , sistemas de optimización de ingeniería y basados ​​en el conocimiento , pronóstico del tiempo , precios y sistemas de modelado de evaluación de riesgos , diagnóstico médico y planificación de tratamientos, sistemas de comercio internacional y más. ^{[ 14 ]} La lógica difusa se utiliza para optimizar la eficiencia en termostatos para el control de calefacción y refrigeración, para automatización industrial y control de procesos , animación por computadora , procesamiento de señales y análisis de datos . ^{[ 15 ]} La lógica difusa ha hecho contribuciones significativas en los campos del aprendizaje automático y la minería de datos . ^{[ 16 ]}

En lógica infinitaria , los grados de demostrabilidad de las proposiciones pueden expresarse en términos de lógica de valor infinito que puede describirse mediante fórmulas evaluadas, escritas como pares ordenados, cada uno de los cuales consta de un símbolo de grado de verdad y una fórmula. ^{[ 17 ]}

En matemáticas , la semántica sin números puede expresar hechos sobre nociones matemáticas clásicas y hacerlas derivables mediante deducciones lógicas en lógica de valores infinitos. Las lógicas difusas de norma T se pueden aplicar para eliminar referencias a números reales de definiciones y teoremas, con el fin de simplificar ciertos conceptos matemáticos y facilitar ciertas generalizaciones. Un marco empleado para la formalización sin números de conceptos matemáticos se conoce como teoría de clases difusas. ^{[ 18 ]}

Se han considerado cuestiones filosóficas, incluida la paradoja de Sorites , basándose en una lógica de valor infinito conocida como epistemismo difuso . ^{[ 19 ]} La paradoja de Sorites sugiere que si añadir un grano de arena a algo que no es un montón no puede crear un montón, entonces no se puede crear un montón de arena. Un enfoque gradual hacia un límite, en el que la verdad se va revelando poco a poco, tiende a refutar esa sugerencia. ^{[ 20 ]}

En el estudio de la lógica misma, la lógica de valores infinitos ha servido como ayuda para comprender la naturaleza de la comprensión humana de los conceptos lógicos. Kurt Gödel intentó comprender la capacidad humana de intuición lógica en términos de lógica de valores finitos antes de concluir que dicha capacidad se basa en la lógica de valores infinitos. ^{[ 21 ]} Persisten interrogantes sobre el manejo, en la semántica del lenguaje natural , de los valores de verdad indeterminados. ^{[ 22 ]}

• Lógica multivaluada
• Lógica de valores finitos
• Lógica intuicionista
• Intuición lógica
• lógica difusa
• Número difuso
• Construcción de t-normas
• teoría de conjuntos