Infinito absoluto

El infinito absoluto es una extensión de la idea de infinito propuesta por el matemático Georg Cantor . Cantor vinculó el infinito absoluto con Dios . ^{[ 1 ] [ 2 ] : 175 [ 3 ] : 556} Algunos vinculan el infinito absoluto con diversas propiedades matemáticas , incluido el principio de reflexión : toda propiedad que se puede atribuir al infinito absoluto la posee algún objeto más pequeño. ^{[ 4 ]}

Cantor dijo:

El infinito actual se distinguía por tres relaciones: primero, tal como se realiza en la perfección suprema , en la existencia extramundana completamente independiente, en Deo, donde lo denomino infinito absoluto o simplemente absoluto; segundo, en la medida en que se representa en el mundo dependiente y creado; tercero, tal como puede concebirse en abstracto en el pensamiento como una magnitud matemática, un número o un tipo de orden. En las dos últimas relaciones, donde obviamente se revela como limitado y capaz de una mayor proliferación y, por lo tanto, familiar a lo finito, lo denomino Transfinitum y lo contrasto fuertemente con lo absoluto. ^{[ 5 ]}

Al utilizar la expresión latina in Deo (en Dios), Cantor identifica el infinito absoluto con Dios (GA 175–176, 376, 378, 386, 399). Según Cantor, el infinito absoluto está más allá de la comprensión matemática y debe interpretarse en términos de teología negativa . ^{[ 6 ]}

Cantor también mencionó la idea en sus cartas a Richard Dedekind (el texto entre corchetes no aparece en el original): ^{[ 8 ]}

Una multiplicidad [parece referirse a lo que ahora llamamos un conjunto ] se llama bien ordenada si cumple la condición de que cada submultiplicidad tiene un primer elemento ; a dicha multiplicidad la llamo, para abreviar, "secuencia". ... Ahora visualizo el sistema de todos los números [ordinales] y lo denoto Ω . ... El sistema Ω en su orden natural según la magnitud es una "secuencia". Ahora agreguemos 0 como un elemento adicional a esta secuencia y coloquémoslo, obviamente, en la primera posición; entonces obtenemos una secuencia Ω ′ : 0, 1, 2, 3, ... ω ₀ , ω ₀ +1, ..., γ, ... de la cual uno puede convencerse fácilmente de que cada número γ que aparece en ella es del tipo [es decir, tipo de orden] de la secuencia de todos sus elementos precedentes (incluido 0). (La secuencia Ω tiene esta propiedad primero para ω ₀ +1. [ω ₀ +1 debería ser ω ₀ .]) Ahora bien, Ω ′ (y por lo tanto también Ω ) no puede ser una multiplicidad consistente. Porque si Ω ′ fuera consistente, entonces, como conjunto bien ordenado, le correspondería un número δ que sería mayor que todos los números del sistema Ω ; sin embargo, el número δ también pertenece al sistema Ω , porque comprende todos los números. Por lo tanto, δ sería mayor que δ , lo cual es una contradicción. Por consiguiente:

El sistema Ω de todos los números [ordinales] es una multiplicidad inconsistente, absolutamente infinita.

La idea de que el conjunto de todos los números ordinales no pueda existir lógicamente resulta paradójica para muchos. Esto se relaciona con la paradoja de Burali-Forti, que implica que no puede haber un número ordinal máximo . Todos estos problemas se remontan a la idea de que, para cada propiedad que puede definirse lógicamente, existe un conjunto de todos los objetos que poseen dicha propiedad. Sin embargo, como en el argumento de Cantor (mencionado anteriormente), esta idea genera dificultades.

En términos más generales, como señaló A.W. Moore , el proceso de formación de conjuntos no tiene fin , y por lo tanto, no existe la totalidad de todos los conjuntos ni la jerarquía de conjuntos . Cualquier totalidad de este tipo tendría que ser en sí misma un conjunto, ubicándose así en algún lugar dentro de la jerarquía y, por consiguiente, sin contener a todos los conjuntos.

Una solución estándar a este problema se encuentra en la teoría de conjuntos de Zermelo , que no permite la formación irrestricta de conjuntos a partir de propiedades arbitrarias. En cambio, podemos formar el conjunto de todos los objetos que poseen una propiedad dada y pertenecen a un conjunto determinado ( Axioma de Separación de Zermelo ). Esto permite la formación de conjuntos basados ​​en propiedades, en un sentido limitado, preservando (con suerte) la coherencia de la teoría.

Si bien esto resuelve el problema lógico, se podría argumentar que el problema filosófico persiste. Parece natural que un conjunto de individuos deba existir, siempre y cuando dichos individuos existan. De hecho, podría decirse que la teoría ingenua de conjuntos se basa en esta noción. Aunque la solución de Zermelo permite que una clase describa entidades arbitrarias (posiblemente "grandes"), estos predicados del metalenguaje pueden no tener existencia formal (es decir, como un conjunto) dentro de la teoría. Por ejemplo, la clase de todos los conjuntos sería una clase propia . Esto resulta filosóficamente insatisfactorio para algunos y ha motivado trabajos adicionales en teoría de conjuntos y otros métodos para formalizar los fundamentos de las matemáticas, como New Foundations de Willard Van Orman Quine .

• Absoluto (filosofía)
• Infinito real
• Inefabilidad
• Limitación de tamaño
• Monadología
• Principio de reflexión

• El papel del infinito absoluto en la concepción de conjunto de Cantor
• El infinito y la mente , Rudy Rucker , Princeton, Nueva Jersey: Princeton University Press, 1995, ISBN 0-691-00172-3; ed. original Boston: Birkhäuser, 1982, ISBN 3-7643-3034-1.
• El infinito , A.W. Moore, Londres, Nueva York: Routledge, 1990, ISBN 0-415-03307-1.
• Teoría de conjuntos, la paradoja de Skolem y el Tractatus , AW Moore, Analysis 45 , #1 (enero de 1985), pp.  13–20.