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Leyes de la forma

Leyes de la Forma (en adelante, LDF ) es un libro de G. Spencer-Brown , escrito en agosto de 1967 y publicado en 1969. El libro se sitúa en la frontera entre las matemáticas y l...

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Leyes de la Forma (en adelante, LDF ) es un libro de G. Spencer-Brown , escrito en agosto de 1967 y publicado en 1969. El libro se sitúa en la frontera entre las matemáticas y la filosofía . LDF describe tres sistemas lógicos distintos :

"Álgebra de frontera" es un término de Meguire (2011) para la unión del álgebra primaria y la aritmética primaria. Leyes de la Forma a veces se refiere de forma imprecisa tanto al "álgebra primaria" como a Leyes de la Forma .

Contenido

El prefacio indica que el trabajo se exploró por primera vez en 1959, y Spencer Brown cita a Bertrand Russell como partidario de su iniciativa. [ a ] También agradece a JCP Miller del University College London por su ayuda con la corrección de pruebas y por ofrecerle otras orientaciones. En 1963, Spencer Brown fue invitado por Harry Frost, profesor de ciencias físicas en el departamento de Estudios Extramuros de la Universidad de Londres , a impartir un curso sobre las matemáticas de la lógica.

LoF surgió del trabajo en ingeniería electrónica que su autor realizó alrededor de 1960. Las ideas clave de LoF se esbozaron por primera vez en su manuscrito de 1961, Design with the Nor , que permaneció inédito hasta 2021, [ 1 ] y se perfeccionaron durante las conferencias posteriores sobre lógica matemática que impartió bajo los auspicios del programa de extensión de la Universidad de Londres . LoF ha aparecido en varias ediciones. La segunda serie de ediciones apareció en 1972 con el "Prefacio a la primera edición estadounidense", que enfatizaba el uso de paradojas autorreferenciales, [ 2 ] y la más reciente es una traducción al alemán de 1997. LoF nunca ha dejado de publicarse.

La prosa mística y declamatoria de LoF , junto con su predilección por la paradoja , la convierten en una lectura desafiante para todos. Spencer-Brown recibió la influencia de Ludwig Wittgenstein y R. D. Laing . LoF también evoca varios temas presentes en los escritos de Charles Sanders Peirce , Bertrand Russell y Alfred North Whitehead .

La obra ha tenido efectos curiosos en algunos sectores de su público lector; por ejemplo, por razones poco claras, se ha afirmado que todo el libro está escrito de forma operativa, dando instrucciones al lector en lugar de decirle qué "es", y que, de acuerdo con el interés de G. Spencer-Brown por las paradojas, la única frase que afirma que algo es es la que dice que no se utilizan tales afirmaciones en este libro. [ 3 ] Además, la afirmación sostiene que, salvo esta frase, el libro puede considerarse un ejemplo de E-Prime . El motivo de tal afirmación es oscuro, ya sea en términos de incentivo, mérito lógico o simplemente porque el libro utiliza de forma rutinaria y natural el verbo " ser " en todas sus formas gramaticales, como puede verse tanto en el original como en las citas que aparecen a continuación. [ 4 ]

Recepción

Aunque aparentemente se trata de una obra de matemáticas formales y filosofía, LoF se convirtió en una especie de clásico de culto : fue elogiada por Heinz von Foerster cuando la reseñó para el Whole Earth Catalog . [ 5 ] Quienes coinciden señalan a LoF como la encarnación de una enigmática "matemática de la conciencia ", cuyo simbolismo algebraico captura una raíz implícita (quizás incluso "la") de la cognición : la capacidad de "distinguir". LoF argumenta que el álgebra primaria revela conexiones sorprendentes entre la lógica , el álgebra booleana y la aritmética, y la filosofía del lenguaje y la mente .

Stafford Beer escribió en una reseña para Nature en 1969: «Cuando uno piensa en todo lo que Russell pasó hace sesenta años para escribir los Principia , y en todo lo que nosotros, sus lectores, sufrimos al lidiar con esos tres vastos volúmenes, resulta casi triste». [ 6 ]

Banaschewski (1977) [ 7 ] argumenta que el álgebra primaria no es más que una nueva notación para el álgebra booleana. De hecho, el álgebra booleana de dos elementos 2 puede considerarse la interpretación prevista del álgebra primaria. Sin embargo, la notación del álgebra primaria:

Además, la sintaxis del álgebra primaria se puede extender a sistemas formales distintos de 2 y a la lógica proposicional, dando como resultado una matemática de frontera.

LoF ha influido, entre otros, en Heinz von Foerster , Louis Kauffman , Niklas Luhmann , Humberto Maturana , Francisco Varela y William Bricken . Algunos de estos autores han modificado el álgebra primaria de diversas maneras interesantes.

LoF afirmó que ciertas conjeturas matemáticas bien conocidas y de larga data, como el teorema de los cuatro colores , el último teorema de Fermat y la conjetura de Goldbach , son demostrables mediante extensiones del álgebra primaria. Spencer-Brown finalmente difundió una supuesta demostración del teorema de los cuatro colores, pero fue recibida con escepticismo. [ 8 ]

El formulario (Capítulo 1)

El símbolo:

También llamada "marca" o "cruz", es la característica esencial de las Leyes de la Forma. Al estilo inimitable y enigmático de Spencer-Brown, la Marca simboliza la raíz del conocimiento ; es decir, la Marca dualista indica la capacidad de diferenciar "esto" de "todo lo demás " .

En LoF , una cruz denota el trazado de una "distinción" y puede considerarse que significa lo siguiente, todo a la vez:

  • El acto de trazar un límite alrededor de algo, separándolo así de todo lo demás;
  • Aquello que se distingue de todo al trazar el límite;
  • Cruzando de un lado del límite al otro.

Las tres formas implican una acción por parte de la entidad cognitiva (por ejemplo, la persona) que realiza la distinción. Como lo expresa LoF :

"El primer comando:

  • Establezca una distinción

bien puede expresarse de maneras como:

  • Que haya una distinción,
  • Encuentra una distinción,
  • Ver una distinción,
  • Describe una distinción,
  • Defina una distinción,

O:

  • "Hagamos una distinción". ( LoF , Notas al capítulo 2)

El estado Marcado es, como contrapunto al estado No Marcado, simplemente la nada, el vacío o el infinito inefable representado por un espacio en blanco. Es, sencillamente, la ausencia de una Cruz. No se ha hecho distinción alguna ni se ha cruzado nada. El estado Marcado y el vacío son los dos valores primitivos de las Leyes de la Forma.

La Cruz puede interpretarse como la distinción entre dos estados, uno «considerado como un símbolo» y otro no considerado como tal. De este hecho surge una curiosa resonancia con algunas teorías de la conciencia y el lenguaje . Paradójicamente, la Forma es a la vez Observador y Observado, y también el acto creativo de realizar una observación. LoF (excluyendo el material final) concluye con las palabras:

...la primera distinción, la Marca y el observador no solo son intercambiables, sino que, en la forma, son idénticos.

CS Peirce llegó a una conclusión relacionada en la década de 1890; véase §  Trabajo relacionado .

La aritmética básica (Capítulo 4)

La sintaxis de la aritmética primaria es la siguiente. Solo hay dos expresiones atómicas :

  • La Cruz vacía ; 
  • La página en blanco, en su totalidad o en parte (el "vacío").

Existen dos reglas inductivas:

  • Se puede escribir una cruz sobre cualquier expresión;
  • Se pueden concatenar cualesquiera dos expresiones .

La semántica de la aritmética primaria no es quizás más que la única definición explícita en LoF : "La distinción es continencia perfecta".

Sea el «estado no marcado» sinónimo del vacío. Sea una cruz vacía el «estado marcado». Cruzar significa pasar de un valor, el estado no marcado o marcado, al otro. Ahora podemos enunciar los axiomas «aritméticos» A1 y A2, que fundamentan la aritmética primaria (y, por lo tanto, todas las Leyes de la Forma):

"A1. La ley de la llamada". Llamar dos veces desde un estado es indistinguible de llamar una vez. Hacer una distinción dos veces tiene el mismo efecto que hacerla una sola vez. Por ejemplo, decir "Hágase la luz" y luego decir "Hágase la luz" de nuevo, es lo mismo que decirlo una sola vez. Formalmente:

 ={\displaystyle \ =}

"A2. La ley del cruce". Después de cruzar del estado no marcado al marcado, cruzar de nuevo ("recruzar") partiendo del estado marcado devuelve al individuo al estado no marcado. Por lo tanto, recruzar anula el cruce. Formalmente:

 ={\displaystyle \ =}

Tanto en A1 como en A2, la expresión a la derecha del signo '=' tiene menos símbolos que la expresión a la izquierda. Esto sugiere que toda expresión aritmética primaria puede, mediante la aplicación repetida de A1 y A2, simplificarse a uno de dos estados: el marcado o el no marcado. De hecho, así es, y el resultado es la "simplificación" de la expresión. Los dos metateoremas fundamentales de la aritmética primaria establecen que:

  • Cada expresión finita tiene una simplificación única. (T3 en LoF );
  • Partiendo de un estado inicial marcado o no marcado, "complicar" una expresión mediante un número finito de aplicaciones repetidas de A1 y A2 no puede producir una expresión cuya simplificación difiera del estado inicial. (T4 en LoF ).

De este modo, la relación de equivalencia lógica divide todas las expresiones aritméticas primarias en dos clases de equivalencia : aquellas que se simplifican a la Cruz y aquellas que se simplifican al vacío.

A1 y A2 tienen analogías indirectas en las propiedades de los circuitos eléctricos en serie y en paralelo, así como en otras formas de diagramar procesos, incluyendo diagramas de flujo. A1 corresponde a una conexión en paralelo y A2 a una conexión en serie, entendiendo que hacer una distinción implica cambiar la forma en que se conectan dos puntos en un circuito, y no simplemente añadir cableado.

La aritmética básica es análoga a los siguientes lenguajes formales de las matemáticas y la informática :

La frase "cálculo de indicaciones" en LoF es sinónimo de "aritmética primaria".

La noción de canon

Si bien LoF no define formalmente el canon, los dos siguientes extractos de las Notas del capítulo 2 son pertinentes:

Las estructuras de mando más importantes se denominan a veces cánones . Son la forma en que las directrices parecen agruparse en constelaciones y, por lo tanto, no son independientes entre sí. Un canon se distingue por estar fuera del sistema en construcción (es decir, por describirlo), pero una orden de construcción (por ejemplo, «establecer una distinción»), aunque sea de vital importancia, no es un canon. Un canon es una orden, o un conjunto de órdenes, para permitir o autorizar, pero no para construir o crear.

...la forma primaria de comunicación matemática no es la descripción sino la instrucción... La música es una forma de arte similar, el compositor ni siquiera intenta describir el conjunto de sonidos que tiene en mente, y mucho menos el conjunto de sentimientos ocasionados por ellos, sino que escribe un conjunto de órdenes que, si son obedecidas por el intérprete, pueden resultar en una reproducción, para el oyente, de la experiencia original del compositor.

Estos fragmentos se refieren a la distinción en metalógica entre el lenguaje objeto, el lenguaje formal del sistema lógico en cuestión, y el metalenguaje , un lenguaje (a menudo un lenguaje natural) distinto del lenguaje objeto, empleado para exponer y analizar dicho lenguaje. La primera cita parece afirmar que los cánones forman parte del metalenguaje. La segunda cita parece afirmar que las afirmaciones en el lenguaje objeto son esencialmente órdenes dirigidas al lector por el autor. Ninguna de estas afirmaciones se sostiene en la metalógica estándar.

Álgebra básica (Capítulo 6)

Sintaxis

Dada cualquier expresión aritmética primaria válida, inserte en una o más posiciones cualquier número de letras latinas con subíndices numéricos opcionales; el resultado es una fórmula algebraica primaria . Las letras empleadas de esta manera en matemáticas y lógica se denominan variables . Una variable algebraica primaria indica una posición donde se puede escribir el valor primitivo o su complemento . Varias instancias de la misma variable denotan varias posiciones del mismo valor primitivo.

Reglas que rigen la equivalencia lógica

El signo '=' puede vincular dos expresiones lógicamente equivalentes; el resultado es una ecuación . Por "lógicamente equivalentes" se entiende que las dos expresiones tienen la misma simplificación. La equivalencia lógica es una relación de equivalencia sobre el conjunto de fórmulas algebraicas primarias, regida por las reglas R1 y R2. Sean "C" y "D" fórmulas, cada una de las cuales contiene al menos una instancia de la subfórmula A :

  • R1 , Sustitución de iguales . Reemplaza una o más instancias de A en C por B , dando como resultado E. Si A = B , entonces C = E.
  • R2 , reemplazo uniforme . Reemplaza todas las instancias de A en C y D con B. C se convierte en E y D se convierte en F. Si C = D , entonces E = F. Ten en cuenta que no es necesario que A = B.

La regla R2 se utiliza con mucha frecuencia en las demostraciones de álgebra básica (véase más abajo), casi siempre de forma implícita. Estas reglas se invocan habitualmente en lógica y en la mayor parte de las matemáticas, casi siempre de forma inconsciente.

El álgebra primaria consiste en ecuaciones , es decir, pares de fórmulas vinculadas por el operador infijo '='. R1 y R2 permiten transformar una ecuación en otra. Por lo tanto, el álgebra primaria es un sistema formal de ecuaciones , como muchas estructuras algebraicas , incluido el álgebra booleana , que son variedades . La lógica de ecuaciones era común antes de Principia Mathematica (por ejemplo, Johnson (1892) ) y tiene defensores en la actualidad ( Gries y Schneider (1993) ).

La lógica matemática convencional consiste en fórmulas tautológicas , señalizadas por un prefijo de signo negativo . Para indicar que la fórmula algebraica primaria A es una tautología , basta con escribir " A = ". Si se reemplaza el signo igual en R1 y R2 por la bicondicional , las reglas resultantes se cumplen en la lógica convencional. Sin embargo, la lógica convencional se basa principalmente en la regla modus ponens ; por lo tanto, es potencial . La dicotomía ecuacional-potencial resume gran parte de lo que distingue a la lógica matemática del resto de las matemáticas.

Iniciales

Una inicial es una ecuación algebraica primaria verificable mediante un procedimiento de decisión y, como tal, no es un axioma . LoF establece las iniciales:

La ausencia de cualquier cosa a la derecha del "=" de arriba es deliberada.

J2 es la conocida ley distributiva de la lógica proposicional y del álgebra booleana .

Otro conjunto de iniciales, más conveniente para los cálculos, es:

Gracias a C2 , el álgebra primaria es un retículo . En virtud de J1a , es un retículo complementado cuyo límite superior es . Por J0 , es el límite inferior correspondiente y el elemento identidad . J0 es también una versión algebraica de A2 y aclara el sentido en el que se asocia con la página en blanco.

T13 en LoF generaliza C2 de la siguiente manera. Cualquier fórmula de álgebra primaria (o lógica proposicional) B puede verse como un árbol ordenado con ramas . Entonces:

T13 : Una subfórmula A puede copiarse libremente en cualquier nivel de profundidad de B mayor que el de A , siempre que A y su copia estén en la misma rama de B. Además, si existen varias instancias de A en la misma rama de B , todas las instancias, excepto la más superficial, son redundantes.

Si bien una demostración de T13 requeriría inducción , la intuición subyacente debería ser clara.

Se denomina C2 o su equivalente:

  • "Generación" en LoF ;
  • "Exclusión" en Johnson (1892);
  • "Invasión" en la obra de William Bricken.

Quizás el primer ejemplo de un axioma o regla con el poder de C2 fue la "Regla de (De)Iteración", que combina T13 y AA=A , de los gráficos existenciales de CS Peirce .

LoF afirma que la concatenación puede interpretarse como conmutativa y asociativa por defecto y, por lo tanto, no es necesario asumirla ni demostrarla explícitamente. (Peirce hizo una afirmación similar sobre sus grafos existenciales ). Sea un punto una notación temporal para establecer la agrupación. Que la concatenación conmuta y asociativa puede demostrarse a partir de:

  • AC.D inicial = CD.A y la consecuencia AA = A. [ 9 ] Este resultado se cumple para todas las redes , porque AA = A es una consecuencia sencilla de la ley de absorción , que se cumple para todas las redes;
  • Iniciales AC.D = AD.C y J0 . Dado que J0 solo se cumple para retículos con un límite inferior, este método solo se cumple para retículos acotados (que incluyen el álgebra primaria y 2 ). La conmutatividad es trivial; simplemente establezca A = . Asociatividad: AC.D = CA.D = CD.A = A.CD .

Habiendo demostrado la asociatividad, el período puede descartarse.

Las iniciales en Meguire (2011) son AC.D = CD.A , llamadas B1 ; B2 , J0 arriba; B3 , J1a arriba; y B4 , C2. Por diseño, estas iniciales son muy similares a los axiomas para un grupo abeliano , G1-G3 abajo.

Teoría de la demostración

El álgebra primaria contiene tres tipos de afirmaciones demostradas:

  • Una consecuencia es una ecuación algebraica primaria verificada mediante una demostración . Una demostración consiste en una secuencia de pasos , cada uno justificado por una consecuencia inicial o previamente demostrada.
  • Un teorema es una afirmación en el metalenguaje verificada mediante una prueba , es decir, un argumento, formulado en el metalenguaje, que es aceptado por matemáticos y lógicos capacitados.
  • Un inicial , definido anteriormente. Las demostraciones y pruebas invocan un inicial como si fuera un axioma.

La distinción entre consecuencia y teorema se aplica a todos los sistemas formales, incluidas las matemáticas y la lógica, pero generalmente no se explicita. Un procedimiento de demostración o decisión puede llevarse a cabo y verificarse mediante una computadora. La prueba de un teorema no.

Sean A y B fórmulas algebraicas básicas . Una demostración de A = B puede realizarse de dos maneras:

  • Modificar A paso a paso hasta obtener B , o viceversa;
  • Simplifica tanto como a . Esto se conoce como un "cálculo".

Una vez que se ha demostrado A = B , se puede invocar A = B para justificar pasos en demostraciones posteriores. Las demostraciones y cálculos de álgebra primaria a menudo no requieren más que J1a , J2 , C2 y las consecuencias ( C3 en LoF ), ( C1 ) y AA = A ( C5 ).

La consecuencia , C7' en LoF , permite un algoritmo , esbozado en la demostración de T14 de LoF , que transforma una fórmula arbitraria de álgebra primaria en una fórmula equivalente cuya profundidad no excede dos. El resultado es una forma normal , el análogo en álgebra primaria de la forma normal conjuntiva . LoF (T14–15) demuestra el análogo en álgebra primaria del conocido teorema del álgebra booleana que establece que toda fórmula tiene una forma normal.

Sea A una subfórmula de alguna fórmula B. Cuando se combina con C3 , J1a puede considerarse como la condición de cierre para los cálculos: B es una tautología si y solo si A y ( A ) aparecen en profundidad 0 de B. Una condición relacionada aparece en algunas versiones de la deducción natural . Una demostración mediante cálculo suele ser poco más que:

  • Invocar repetidamente T13 para eliminar subfórmulas redundantes;
  • Borrar cualquier subfórmula que tenga la forma .

El último paso de un cálculo siempre invoca a J1a .

LoF incluye nuevas y elegantes demostraciones de la siguiente metateoría estándar :

  • Completitud : todas las consecuencias del álgebra primaria se pueden demostrar a partir de las iniciales (T17).
  • Independencia : J1 no se puede demostrar a partir de J2 y viceversa (T18).

Que la lógica sentencial es completa se enseña en todos los primeros cursos universitarios de lógica matemática . Pero los cursos universitarios de álgebra booleana rara vez mencionan la completitud de 2 .

Interpretaciones

Si los estados Marcado y No Marcado se interpretan como los valores booleanos 1 y 0 (o Verdadero y Falso ), el álgebra primaria interpreta 2 (o lógica sentencial ). LoF muestra cómo el álgebra primaria puede interpretar el silogismo . Cada una de estas interpretaciones se analiza en una subsección posterior. Aún no se ha extendido el álgebra primaria para que pueda interpretar la lógica estándar de primer orden , pero los grafos existenciales beta de Peirce sugieren que esta extensión es factible.

Álgebra booleana de dos elementos 2

El álgebra primaria es una notación minimalista elegante para el álgebra booleana de dos elementos 2 . Sea:

  • Una de las operaciones booleanas join (+) o meet (×) interpreta la concatenación ;
  • El complemento de A interpreta
  • 0 (1) interpretar la marca vacía si join (meet) interpreta la concatenación (porque una operación binaria aplicada a operandos cero puede considerarse igual al elemento identidad de esa operación; o dicho de otra manera, un operando que falta podría considerarse que actúa por defecto como el elemento identidad).

Si join (meet) interpreta AC , entonces meet (join) interpretaA|¯  do|¯|¯{\displaystyle {\overline {{\overline {A|}}\ \ {\overline {C|}}{\Gran |}}}}Por lo tanto, el álgebra primaria y 2 son isomorfos, salvo por un detalle: la complementación del álgebra primaria puede ser nula, en cuyo caso denota un valor primitivo. Salvo este detalle, 2 es un modelo del álgebra primaria. La aritmética primaria sugiere la siguiente axiomatización aritmética de 2 : 1+1=1+0=0+1=1=~0 y 0+0=0=~1.

El conjunto B={{\displaystyle \ B=\{},{\displaystyle ,} }{\displaystyle \ \}}es el dominio o portador booleano . En el lenguaje del álgebra universal , el álgebra primaria es la estructura algebraica.⟨B,− −,− |¯,  |¯⟩{\displaystyle \langle B,-\ -,{\overline {-\ |}},{\overline {\ \ |}}\rangle }de tipo⟨2,1,0⟩{\displaystyle \langle 2,1,0\rangle }. La adecuación expresiva del trazo de Sheffer apunta a que el álgebra primaria también es una⟨B,− − |¯,  |¯⟩{\displaystyle \langle B,{\overline {-\ -\ |}},{\overline {\ \ |}}\rangle }álgebra de tipo⟨2,0⟩{\displaystyle \langle 2,0\rangle }En ambos casos, las identidades son J1a, J0, C2 y ACD=CDA . Dado que el álgebra primaria y 2 son isomorfas , 2 puede verse como una⟨B,+,¬,1⟩{\displaystyle \langle B,+,\lnot,1\rangle }álgebra de tipo⟨2,1,0⟩{\displaystyle \langle 2,1,0\rangle }. Esta descripción de 2 es más simple que la convencional, a saber, una⟨B,+,×,¬,1,0⟩{\displaystyle \langle B,+,\times ,\lnot ,1,0\rangle }álgebra de tipo⟨2,2,1,0,0⟩{\displaystyle \langle 2,2,1,0,0\rangle }.

Las dos posibles interpretaciones son duales entre sí en el sentido booleano. (En álgebra booleana, intercambiar AND ↔ OR y 1 ↔ 0 a lo largo de una ecuación produce una ecuación igualmente válida). Las identidades permanecen invariantes independientemente de la interpretación elegida, por lo que las transformaciones o modos de cálculo siguen siendo los mismos; solo la interpretación de cada forma sería diferente. Ejemplo: J1a es . Interpretando la yuxtaposición como OR y como 1, esto se traduce en¬A∨A=1{\displaystyle \neg A\lor A=1}lo cual es cierto. Interpretando la yuxtaposición como Y y como 0, esto se traduce en¬A∧A=0{\displaystyle \neg A\land A=0}lo cual también es cierto (y el dual de¬A∨A=1{\displaystyle \neg A\lor A=1}).

Dualidad operador-operando

El estado marcado, , es a la vez un operador (por ejemplo, el complemento) y un operando (por ejemplo, el valor 1). Esto se puede resumir de forma concisa definiendo dos funciones.metro(incógnita){\displaystyle m(x)}ytú(incógnita){\displaystyle u(x)}para el estado marcado y no marcado, respectivamente: seametro(incógnita)=1−máximo({0}∪incógnita){\displaystyle m(x)=1-\max(\{0\}\cup x)}ytú(incógnita)=máximo({0}∪incógnita){\displaystyle u(x)=\max(\{0\}\cup x)}, dóndeincógnita{\displaystyle x}es un conjunto (posiblemente vacío) de valores booleanos.

Esto revela quetú{\displaystyle u}es el valor 0 o el operador OR, mientras quemetro{\displaystyle m}es el valor 1 o el operador NOR, dependiendo de siincógnita{\displaystyle x}es el conjunto vacío o no. Como se indicó anteriormente, existe una forma dual de estas funciones que intercambia AND ↔ OR y 1 ↔ 0.

Lógica proposicional

Sea la página en blanco la que denote Falso , y sea una Cruz la que se lea como No. Entonces, la aritmética primaria tiene la siguiente lectura proposicional:

 = Falso 
 = Verdadero = no Falso   
 = No es cierto = Falso   

El álgebra primaria interpreta la lógica proposicional de la siguiente manera: una letra representa cualquier expresión proposicional dada. Por lo tanto:

interpreta No es un
interpreta A o B
interpreta No A o B o Si A Entonces B .
interpreta No (No A o No B)
o no (Si A, entonces no B)
o A y B.

Así, cualquier expresión en lógica proposicional tiene una traducción algebraica primaria . De forma equivalente, el álgebra primaria interpreta la lógica proposicional. Dada una asignación de cada variable a los estados Marcado o No Marcado, esta traducción algebraica primaria se reduce a una expresión aritmética primaria, que puede simplificarse. Repitiendo este ejercicio para todas las posibles asignaciones de los dos valores primitivos a cada variable, se revela si la expresión original es tautológica o satisfacible . Este es un ejemplo de un procedimiento de decisión , más o menos en el espíritu de las tablas de verdad convencionales. Dada una fórmula algebraica primaria que contiene N variables, este procedimiento de decisión requiere simplificar 2N fórmulas aritméticas primarias. Para un procedimiento de decisión menos tedioso, más en el espíritu del "análisis de valores de verdad" de Quine , véase Meguire (2003) .

Schwartz (1981) demostró que el álgebra primaria es equivalente —sintáctica , semántica y teóricamente— al cálculo proposicional clásico . Asimismo, se puede demostrar que el álgebra primaria es sintácticamente equivalente a expresiones construidas de la forma habitual a partir de los valores de verdad clásicos verdadero y falso , los conectores lógicos NO, O y Y, y los paréntesis.

Interpretar el estado no marcado como falso es totalmente arbitrario; ese estado puede leerse igualmente como verdadero . Todo lo que se requiere es que la interpretación de la concatenación cambie de OR a AND. IF A THEN B ahora se traduce como en lugar de . De manera más general, el álgebra primaria es "autodual " , lo que significa que cualquier fórmula del álgebra primaria tiene dos lecturas sentenciales o booleanas , cada una dual de la otra. Otra consecuencia de la autodualidad es la irrelevancia de las leyes de De Morgan ; esas leyes están integradas en la sintaxis del álgebra primaria desde el principio.

Ahora emerge la verdadera naturaleza de la distinción entre el álgebra primaria , por un lado, y la lógica proposicional , por otro. En estos últimos formalismos, la complementación / negación que opera sobre "nada" no está bien formada. Pero una Cruz vacía es una expresión de álgebra primaria bien formada , que denota el estado Marcado, un valor primitivo. Por lo tanto, una Cruz no vacía es un operador , mientras que una Cruz vacía es un operando porque denota un valor primitivo. Así, el álgebra primaria revela que los conceptos matemáticos hasta ahora distintos de operador y operando son, de hecho, meras facetas diferentes de una única acción fundamental: establecer una distinción.

Silogismos

El Apéndice 2 de LoF muestra cómo traducir silogismos y sorites tradicionales al álgebra primaria . Un silogismo válido es simplemente aquel cuya traducción al álgebra primaria se simplifica a una Cruz vacía. Sea A * un literal , es decir, A oA|¯{\displaystyle {\overline {A|}}}, indiferentemente. Entonces, todo silogismo que no requiere que se suponga que uno o más términos no son vacíos es una de las 24 permutaciones posibles de una generalización de Barbara cuyo equivalente algebraico primario esA∗ B|¯  B|¯ do∗|¯ A∗ do∗{\displaystyle {\overline {A^{*}\ B|}}\ \ {\overline {{\overline {B|}}\ C^{*}{\Big |}}}\ A^{*}\ C^{*}}Estas 24 permutaciones posibles incluyen las 19 formas silogísticas consideradas válidas en la lógica aristotélica y medieval . Esta traducción de la lógica silogística al álgebra primaria también sugiere que el álgebra primaria puede interpretar la lógica monádica y la lógica de términos , y que el álgebra primaria tiene afinidades con los esquemas de términos booleanos de Quine (1982) , Parte II .

Un ejemplo de cálculo

El siguiente cálculo del no trivial Teorema Praeclarum de Leibniz ejemplifica el poder demostrativo del álgebra primaria . Sea C1A|¯|¯{\displaystyle {\overline {{\overline {A|}}{\Grande |}}}}= A , C2 serA A B|¯=A B|¯{\displaystyle A\ {\overline {A\ B|}}=A\ {\overline {B|}}}, C3 sea  |¯ A=  |¯{\displaystyle {\overline {\ \ |}}\ A={\overline {\ \ |}}}, J1a serA|¯ A=  |¯{\displaystyle {\overline {A|}}\ A={\overline {\ \ |}}}y sea OI el significado de que las variables y subfórmulas se han reordenado de una manera que la conmutatividad y la asociatividad lo permiten.

Relación con los magmas

El álgebra primaria incorpora un punto señalado por Huntington en 1933: el álgebra booleana requiere, además de una operación unaria , una, y no dos, operaciones binarias . De ahí el hecho, poco mencionado, de que las álgebras booleanas son magmas . (Los magmas se denominaban grupoides hasta que este último término fue adoptado por la teoría de categorías ). Para ver esto, observe que el álgebra primaria es conmutativa :

Los grupos también requieren una operación unaria , llamada inversa , la contraparte grupal de la complementación booleana . Sea la inversa de un . Sea el elemento identidad del grupo . Entonces los grupos y el álgebra primaria tienen las mismas signaturas , es decir, son ambas⟨− −,− |¯,  |¯⟩{\displaystyle \langle -\ -,{\overline {-\ |}},{\overline {\ \ |}}\rangle }álgebras de tipo 〈2,1,0〉. Por lo tanto, el álgebra primaria es un álgebra frontera . Los axiomas para un grupo abeliano , en notación frontera, son:

  • G1 . abc = acb (suponiendo asociación desde la izquierda);
  • G2 .
  • G3 . .

A partir de G1 y G2 , se pueden derivar la conmutatividad y la asociatividad de la concatenación, como se indicó anteriormente. Nótese que G3 y J1a son idénticos. G2 y J0 serían idénticos si = reemplazara a A2 . Esta es la identidad aritmética definitoria de la teoría de grupos, en notación de frontera.      

El álgebra primaria se diferencia de un grupo abeliano en dos aspectos:

  • De A2 se deduce que ≠ . Si el álgebra primaria fuera un grupo , = se cumpliría, y uno de a = o a = a tendría que ser una consecuencia del álgebra primaria . Nótese que y son complementos mutuos del álgebra primaria , como exige la teoría de grupos, de modo que                  |¯ |¯ |¯=  |¯{\displaystyle {\overline {\ {\overline {\ {\overline {\ \ |}}\ {\Big |}}}\ {\Bigg |}}}={\overline {\ \ |}}}Esto es cierto tanto para la teoría de grupos como para el álgebra primaria ;
  • C2 delimita de forma más clara el álgebra primaria de otros magmas, porque C2 permite demostrar la ley de absorción que define las redes y la ley distributiva central del álgebra booleana .

Tanto A2 como C2 se derivan de que B sea un conjunto ordenado .

Ecuaciones de segundo grado (Capítulo 11)

El capítulo 11 de LoF introduce ecuaciones de segundo grado , compuestas por fórmulas recursivas que pueden considerarse de profundidad "infinita". Algunas fórmulas recursivas se simplifican al estado marcado o no marcado. Otras "oscilan" indefinidamente entre los dos estados dependiendo de si una profundidad dada es par o impar. Específicamente, ciertas fórmulas recursivas pueden interpretarse como oscilando entre verdadero y falso en intervalos de tiempo sucesivos, en cuyo caso se considera que una fórmula tiene un valor de verdad "imaginario". Así, el flujo del tiempo puede introducirse en el álgebra primaria .

Turney (1986) muestra cómo estas fórmulas recursivas pueden interpretarse mediante la Aritmética Recursiva Restringida (ARR) de Alonzo Church . Church introdujo la ARR en 1955 como una formalización axiomática de autómatas finitos . Turney presenta un método general para traducir ecuaciones de segundo grado a la ARR de Church, ilustrando su método con las fórmulas E1 , E2 y E4 del capítulo 11 de LoF . Esta traducción a la ARR aclara los nombres que Spencer-Brown dio a E1 y E4 , a saber, "memoria" y "contador". De este modo, la ARR formaliza y clarifica la noción de valor de verdad imaginario de LoF .

Ediciones

  • 1969. Londres: Allen & Unwin, tapa dura. ISBN 0-04-510028-4
  • 1972. Crown Publishers, tapa dura: ISBN 0-517-52776-6
  • 1973. Bantam Books, edición de bolsillo. ISBN 0-553-07782-1
  • 1979. EP Dutton, edición de bolsillo. ISBN 0-525-47544-3
  • 1994. Portland, Oregón: Cognizer Company, edición de bolsillo. ISBN 0-9639899-0-1
  • Traducción al alemán de 1997, titulada Gesetze der Form . Lübeck: Bohmeier Verlag. ISBN 3-89094-321-7
  • 2008 Bohmeier Verlag, Leipzig, 5ª edición internacional. ISBN 978-3-89094-580-4

Véase también

Notas

  1. ↑ Esto también lo menciona Russell en su autobiografía, Russell (2014) , pág. 664.

Referencias

  1. ↑ Spencer-Brown (2021) .
  2. ↑ Schönwälder-Kuntze, Tatjana; Wille, Katrin; Hölscher, Thomas; Spencer Brown, George (2009). "George Spencer Brown: Eine Einführung in die Laws of Form , 2. Auflage" . Wiesbaden: VS Verlag für Sozialwissenschaften. ISBN 978-3-531-16105-1.
  3. ↑ Felix Lau: Die Form der Paradoxie , 2005 Carl-Auer Verlag, ISBN 9783896703521
  4. ↑ Spencer-Brown (1969) .
  5. ↑ Müller, Albert (2008). "Computing a Reality: Heinz von Foerster's Lecture at the AUM Conference in 1973" (PDF) . Constructivist Foundations . 4 (1): 62– 69.
  6. ↑ Beer, Stafford (1969). "Maths Created". Nature . 223 (5213): 1392– 1393. Bibcode : 1969Natur.223.1392B . doi : 10.1038/2231392b0 . S2CID 5223774 . 
  7. ↑ B. Banaschewski (julio de 1977). "Sobre las leyes de la forma de G. Spencer Brown" . Notre Dame Journal of Formal Logic . 18 (3): 507– 509. doi : 10.1305/ndjfl/1093888028 .
  8. ↑ Para una evaluación favorable, véase Kauffman (2001) .
  9. ↑ Byrne (1946) .

Obras citadas

  • Byrne, Lee (1946). "Dos formulaciones del álgebra booleana". Boletín de la Sociedad Matemática Americana : 268–71 .
  • Craig, William (1979). "Lógica booleana y el mundo físico cotidiano". Actas y discursos de la Asociación Filosófica Americana . 52 (6): 751– 78. doi : 10.2307/3131383 . JSTOR 3131383 . 
  • Gries, David ; Schneider, FB (1993). Un enfoque lógico de las matemáticas discretas . Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-94115-8.
  • Johnson, William Ernest (1892). "El cálculo lógico". Mind . 1 (ns): 3– 30.
  • Kauffman, Louis H. (2001). "Las matemáticas de CS Peirce" (PDF) . Cibernética y conocimiento humano . 8 : 79–110 .
  • Lakoff, George (1987). Mujeres, fuego y cosas peligrosas: lo que las categorías revelan sobre la mente . University of Chicago Press.
  • Lakoff, George; Núñez, Rafael E. (2000). De dónde vienen las matemáticas: cómo la mente encarnada da origen a las matemáticas . Basic Books. ISBN 978-0-465-03770-4.
  • Lenzen, Wolfgang (2004). «La lógica de Leibniz» (PDF) . En Gabbay, D.; Woods, J. (eds.). El auge de la lógica moderna: de Leibniz a Frege . Manual de historia de la lógica. Vol.  3. Ámsterdam: Elsevier. pp. 1–83 . ISBN  978-0-08-053287-5.
  • Lewis, CI (1918). Un estudio de la lógica simbólica . Berkeley: University of California Press.Republicado parcialmente por Dover en 1960.
  • Meguire, PG (2003). "Descubriendo el álgebra de frontera: una notación simplificada para el álgebra booleana y los functores de verdad". Revista internacional de sistemas generales . 32 : 25–87 . CiteSeerX 10.1.1.106.634 . doi : 10.1080/0308107031000075690 . S2CID 9460101 .  
  • Meguire, PG (2011). Álgebra de frontera: Un enfoque más sencillo de la lógica básica y el álgebra booleana . VDM Publishing. ISBN 978-3-639-36749-2.
  • Peirce, Charles S. (1976). «Lógica cualitativa, MS 736 (c. 1886)». En Eisele, Carolyn (ed.). Los nuevos elementos de las matemáticas por Charles S. Peirce . Vol.  4, Filosofía matemática. La Haya: Mouton.
  • Quine, Willard (1951). Lógica matemática (2.ª  ed.). Harvard University Press.
  • Quine, Willard (1982). Métodos de lógica (4.ª  ed.). Harvard University Press. ISBN 978-0-674-57176-1.
  • Rescher, Nicholas (1954). "La interpretación de Leibniz de sus cálculos lógicos". Journal of Symbolic Logic . 18 (1): 1– 13. doi : 10.2307/2267644 . JSTOR 2267644. S2CID 689315 .  
  • Russell, Bertrand (2014) [1967]. La autobiografía de Bertrand Russell . Taylor & Francis. ISBN 978-1-317-83504-2.
  • Schwartz, Daniel G. (1981). "Isomorfismos de las leyes de forma de G. Spencer-Brown y del cálculo de autorreferencia de F. Varela". International Journal of General Systems . 6 (4): 239– 55. doi : 10.1080/03081078108934802 .
  • Spencer-Brown, George (1969). Leyes de la forma . Londres: George Allen and Unwin Ltd. ISBN 978-0-04-510028-6.
  • Spencer-Brown, G. (2021). «Diseño con el NOR». En Roth, Steffen; Heidingsfelder, Markus; Clausen, Lars; Laursen, Klaus Brønd (eds.). «Diseño con el NOR» de George Spencer Brown: con ensayos relacionados . Emerald Publishing. pp. 7–22 . doi : 10.1108/9781839826108 . ISBN  978-1-83982-611-5.
  • Turney, PD (1986). " Leyes de la forma y autómatas finitos". Revista Internacional de Sistemas Generales . 12 (4): 307– 18. doi : 10.1080/03081078608934939 .
  • Whitehead, AN (1934). "Indicación, clases, número, validación". Mind . 43 (ns) (171): 281– 97, 543. doi : 10.1093/mind/XLIII.171.281 .Las correcciones de la página  543 son numerosas e importantes, y las reimpresiones posteriores de este artículo no las incorporan.

Lecturas adicionales

  • Baecker, Dirk, ed. (1999). Problemas de forma . Stanford University Press.
  • Baecker, Dirk, ed. (2013). "Prólogo: Una matemática de la forma, una sociología de los observadores" . Cibernética y conocimiento humano . 20 ( 3–4 ).
  • Bostock, David (1997). Lógica intermedia . Oxford University Press.
  • Kauffman, Louis H. (2006). "Reformulando el teorema del color del mapa". arXiv : math.CO/0112266 .
  • Kauffman, Louis H. (2006a). Leyes de la forma: una exploración en matemáticas y fundamentos (PDF) .
  • Kauffman, Louis H., ed. (2019). "Leyes de la forma: Spencer-Brown en Esalen, 1973" . Cibernética y conocimiento humano . 26 ( 2–3 ).
  • Leyes de forma , archivo del sitio web de Richard Shoup.
  • Charlas de Spencer-Brown en Esalen, 1973. Las formas autorreferenciales se introducen en la sección titulada "Grado de ecuaciones y teoría de tipos".
  • Grabación de audio de la sesión inaugural de la Conferencia AUM de 1973 en Esalen .
  • Louis H. Kauffman , " Álgebra de cajas, matemáticas de límites, lógica y leyes de la forma " .
  • Kissel, Matthias, " Una introducción no sistemática pero fácil de entender a las leyes de la forma . "
  • Una reunión con GSB. Archivado el 17 de febrero de 2012 en Wayback Machine por Moshe Klein.
  • La Marca Marcable , una introducción paso a paso a las ideas de las Leyes de la Forma.
  • El cálculo BF y la raíz cuadrada de la negación, de Louis Kauffman y Arthur Collings, amplía las leyes de la forma añadiendo un valor lógico imaginario. (Los valores lógicos imaginarios se introducen en el capítulo 11 del libro Leyes de la forma ).
  • Curso sobre las leyes de la forma: un curso online gratuito que guía a los participantes a través del cuerpo principal del texto de "Las leyes de la forma" de Leon Conrad, el último alumno de Spencer-Brown, quien estudió la obra con el autor.
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