Negación

En lógica , la negación , también llamada no lógica o complemento lógico , es una operación que toma una proposición.${\displaystyle P}$a otra proposición "no${\displaystyle P}$", escrito${\displaystyle \neg P}$,${\displaystyle {\mathord {\sim }}P}$,${\displaystyle P^{\prime }}$^{[ 1 ]} o${\displaystyle {\overline {P}}}$^{[ 2 ]} . Se interpreta intuitivamente como verdadero cuando${\displaystyle P}$es falso, y falso cuando${\displaystyle P}$es cierto. ^{[ 3 ] [ 4 ]} Por ejemplo, si${\displaystyle P}$es "El perro corre", entonces "no${\displaystyle P}$" es "El perro no corre". Un operando de una negación se llama negando o negatum . ^{[ 5 ]}

La negación es un conector lógico unario . Además, puede aplicarse no solo a proposiciones, sino también a nociones , valores de verdad o valores semánticos en general. En la lógica clásica , la negación se identifica normalmente con la función de verdad que transforma la verdad en falsedad (y viceversa). En la lógica intuicionista , según la interpretación de Brouwer-Heyting-Kolmogorov , la negación de una proposición${\displaystyle P}$es la proposición cuyas pruebas son las refutaciones de${\displaystyle P}$.

La negación clásica es una operación sobre un valor lógico , típicamente el valor de una proposición , que produce un valor verdadero cuando su operando es falso, y un valor falso cuando su operando es verdadero. Por lo tanto, la expresión if ${\displaystyle P}$Si es cierto, entonces${\displaystyle \neg P}$(pronunciado "no P") sería entonces falso; y a la inversa, si${\displaystyle \neg P}$Si es cierto, entonces${\displaystyle P}$sería falso.

La tabla de verdad de${\displaystyle \neg P}$es el siguiente:

La negación puede definirse en términos de otras operaciones lógicas. Por ejemplo,${\displaystyle \neg P}$puede definirse como${\displaystyle P\rightarrow \bot }$(dónde${\displaystyle \rightarrow }$es consecuencia lógica y${\displaystyle \bot }$es una falsedad absoluta ). Por el contrario, se puede definir${\displaystyle \bot }$como${\displaystyle Q\land \neg Q}$para cualquier proposición Q (donde${\displaystyle \land }$es una conjunción lógica ). La idea aquí es que cualquier contradicción es falsa, y si bien estas ideas funcionan tanto en la lógica clásica como en la intuicionista, no funcionan en la lógica paraconsistente , donde las contradicciones no son necesariamente falsas. Como ejemplo adicional, la negación puede definirse en términos de NAND y también en términos de NOR.

Algebraicamente, la negación clásica se corresponde con la complementación en un álgebra booleana , y la negación intuicionista con la pseudocomplementación en un álgebra de Heyting . Estas álgebras proporcionan una semántica para la lógica clásica e intuicionista.

La negación de una proposición p se representa de diferentes maneras, según el contexto de discusión y el ámbito de aplicación. La siguiente tabla documenta algunas de estas variantes:

La notación${\displaystyle Np}$es notación polaca .

En teoría de conjuntos ,${\displaystyle \setminus }$También se utiliza para indicar 'no pertenece al conjunto de':${\displaystyle U\setminus A}$es el conjunto de todos los miembros de U que no son miembros de A.

Independientemente de cómo se anote o simbolice , la negación${\displaystyle \neg P}$se puede leer como "no es el caso que P ", "no que P ", o generalmente más simplemente como "no P ".

Hay varias formas equivalentes de formular reglas para la negación. Una forma habitual de formular la negación clásica en un contexto de deducción natural es tomar como reglas primitivas de inferencia la introducción de la negación (a partir de una derivación de${\displaystyle P}$a ambos${\displaystyle Q}$y${\displaystyle \neg Q}$inferir${\displaystyle \neg P}$; esta regla también se llama reducción al absurdo ), eliminación de la negación (de${\displaystyle P}$y${\displaystyle \neg P}$inferir${\displaystyle Q}$; esta regla también se llama ex falso quodlibet ), y eliminación de la doble negación (de${\displaystyle \neg \neg P}$inferir${\displaystyle P}$). Las reglas para la negación intuicionista se obtienen de la misma manera, pero excluyendo la eliminación de la doble negación.

La introducción de la negación establece que si se puede extraer una conclusión absurda de${\displaystyle P}$entonces${\displaystyle P}$no debe ser el caso (es decir,${\displaystyle P}$es falso (clásicamente) o refutable (intuicionistamente), etc.). La eliminación de la negación afirma que cualquier cosa se deduce de un absurdo. A veces, la eliminación de la negación se formula utilizando un signo de absurdo primitivo.${\displaystyle \bot }$. En este caso la regla dice que desde${\displaystyle P}$y${\displaystyle \neg P}$Se deduce de un absurdo. Junto con la eliminación de la doble negación, se puede inferir nuestra regla formulada originalmente, a saber, que todo se deduce de un absurdo.

Típicamente la negación intuicionista${\displaystyle \neg P}$de${\displaystyle P}$se define como${\displaystyle P\rightarrow \bot }$. Entonces, la introducción y eliminación de la negación son solo casos especiales de la introducción de la implicación ( prueba condicional ) y la eliminación ( modus ponens ). En este caso, también se debe agregar como regla primitiva ex falso quodlibet .

Al igual que en matemáticas, la negación se utiliza en informática para construir enunciados lógicos.

if ( ! ( r == t )) { /*...instrucciones ejecutadas cuando r NO es igual a t...*/ }

El signo de exclamación " !" significa NOT lógico en B , C y lenguajes con una sintaxis inspirada en C como C++ , Java , JavaScript , Perl y PHP . " NOT" es el operador utilizado en ALGOL 60 , BASIC y lenguajes con una sintaxis inspirada en ALGOL o BASIC como Pascal , Ada y Eiffel . Algunos lenguajes (C++, Perl, etc.) proporcionan más de un operador para la negación. Algunos lenguajes como PL/I y Ratfor usan ¬para la negación. La mayoría de los lenguajes modernos permiten que la instrucción anterior se acorte de if (!(r == t))a , lo que a veces permite, cuando el compilador/intérprete no puede optimizarla, programas más rápidos.if (r != t)

En informática también existe la negación bit a bit . Esta toma el valor dado y cambia todos los 1 binarios por 0 y los 0 por 1. Esto se usa a menudo para crear el complemento a uno (o " ~" en C o C++) y el complemento a dos (simplemente simplificado a " -" o el signo negativo , ya que esto es equivalente a tomar la negación aritmética del número).

Para obtener el valor absoluto (equivalente positivo) de un entero dado, lo siguiente funcionaría ya que " -" lo cambia de negativo a positivo (es negativo porque " x < 0" da verdadero)

entero sin signo abs ( int x ) { if ( x < 0 ) return -x ; else return x ; }

Para demostrar la negación lógica:

entero sin signo abs ( int x ) { if ( ! ( x < 0 ) ) return x ; else return -x ; }

Invertir la condición y revertir los resultados produce un código lógicamente equivalente al código original, es decir, tendrá resultados idénticos para cualquier entrada (dependiendo del compilador utilizado, las instrucciones reales ejecutadas por el ordenador pueden diferir).

En C (y en otros lenguajes derivados de C), la doble negación ( !!x) se utiliza como modismo para convertir xa un booleano canónico, es decir, un entero con un valor de 0 o 1 y ningún otro. Aunque cualquier entero distinto de 0 es lógicamente verdadero en C y el 1 no es especial en este sentido, a veces es importante asegurar que se utilice un valor canónico, por ejemplo, para imprimir o si el número se utiliza posteriormente para operaciones aritméticas. ^{[ 8 ]}

En la semántica de Kripke, donde los valores semánticos de las fórmulas son conjuntos de mundos posibles , la negación puede interpretarse como una complementación en teoría de conjuntos (véase también la semántica de mundos posibles para más información).

• Gabbay, Dov y Wansing, Heinrich, eds., 1999. ¿Qué es la negación ?, Kluwer .
• Horn, L. , 2001. Una historia natural de la negación , University of Chicago Press .
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• Wansing, Heinrich, 2001, "Negación", en Goble, Lou, ed., The Blackwell Guide to Philosophical Logic , Blackwell .
• Tettamanti, Marco; Manenti, Rosa; Della Rosa, Pasquale A.; Falini, Andrea; Perani, Daniela; Cappa, Stefano F.; Moro, Andrea (2008). "Negación en el cerebro: representación de la acción moduladora". NeuroImagen . 43 (2): 358– 367. doi : 10.1016/j.neuroimage.2008.08.004 . PMID 18771737 . S2CID 17658822 .  

• Horn, Laurence R.; Wansing, Heinrich. "Negación" . En Zalta, Edward N. (ed.). Enciclopedia de Filosofía de Stanford . ISSN 1095-5054 . OCLC 429049174 .  
• "Negación" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• NO , en MathWorld

Tablas de verdad de cláusulas compuestas

• Tabla de verdad para una cláusula NOT aplicada a una oración END . Archivado del original el 1 de marzo de 2000.
• "Cláusula NOT de una oración END" . Archivado del original el 1 de marzo de 2000.
• "Cláusula NOT de una oración OR" . Archivado del original el 17 de enero de 2000.
• "Cláusula NOT de un período IF...THEN" . Archivado del original el 1 de marzo de 2000.